1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (Решетняк Ю. Г. Курс математического анализа Ч2 книга 2 (1999)u)

РОССИЙСКАЯ АКАЛЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТЛЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ им. С. Л. СОБОЛЕВА Современная математика — студентам и аспирантам 10. Г. Р Е Ш Е Т Н Я К К У Р С МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ;:. 'Часть 11 * Книга 2:,', :', .,';::.;:„,., :„.: Интпееральное исчисление фуннций мноеих переменных. Интпееральное исчисление на мноеоооразиях. Внешние дифференциальные формы Новосибирск Издательство Института математики 2001 УЛК 517 ББК 22.16 Р47 Решетняк Ю. Р. Курс математического анализа. Ч. П, кн. 2. — Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2001.

— 444 с. — (Современная математика — студентам и аспирантам). 18ВХ 5-86134 †0-7. Ответственный редактор Водопьянов Сергей Константинович Издание осуществлено при финансовой поддержке Р И Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 99-01-14013) р е8~~~1 е- 6 1602070000-06 1ЯВМ 5-86134 — 089-7 © Решетняк Ю. Г., 2001 © Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 2001 Учебник «Курс математического анализа» в двух частях написан на основе лекционного курса, читавшегося автором в Новосибирском государственном университете, и отражает опыт работы кафедры математического анализа по совершенствованию преподавания этого предмета. Лается оригинальное изложение ряда тем, составляющих традиционное содержание курса.

Чита тель найдет также изложение отдельных интересных вопросов, примыкающих к основному материалу. Часть Н, книга 2 учебника предназначена для студентов второго курса математических факультетов университетов. Она может быть полезна преподавателям математики в университетах и в других высших учебных заведениях, где читается математический анализ. КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Часть П а Книга 2 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие . Глава 13. Интегральное исчисление функций многих переменных (теория кратных интегралов) 3 1. Интегрирование ступенчатых функций .

11 12 1.1. Вспомогательные сведения . 1.2. Двоичное подразделение пространства И" 1.3. Определение и основные свойства ступенчатых функций 1.4. Определение интеграла ступенчатой функции 1.5. Теорема о предельном переходе .......................... з 2. Определение и простейшие свойства интеграла Лебега 12 16 21 23 28 32 2.1.

Понятие системы с интегрированием .................... 2.2. Понятие Ьз-нормы функции и ее простейшие свойства 2.3. Свойство субаддитивности Ьгнормы ................... 2.4. Определение понятий интеграла и интегрируемой функции . 2.5. Свойства, выполняющиеся почти всюду 'з 3. Примеры систем с интегрированием .............. 3.1. Системы с интегрированием в К ........................ 3.2. Мера на кольце множеств. Понятия о-кольца и меры на о-кольце 3.3. Сумма значений функции на произвольном множестве как интеграл 34.

Теоремы о предельном переходе под знаком интеграла 32 35 39 42 48 56 56 70 4.1. Теорема о нормально сходящемся ряде ............. 4.2. Нижняя и верхняя огибающие последовательности интегрируемых функций 4.3. Теоремы Фату и Лебега о предельном переходе .... 70 76 79 Интееральное исчисление функций мноеих переменных. Интееральное исчисление на мноеообразиях. Внешние дифференциальные формы Оглавление з 5. Измеримые функции и множества .................

5.1. Определения н простейшие свойства измеримых функций 5.2. Теорема о пределе последовательности измеримых функций 5.3. Распространение интеграла на измеримые функции .... 5.4. Понятие измеримого множества. Интеграл как аддитивная функция множества ........................ 5.5. Системы с интегрированием, счетные в бесконечности .

5.6. Общая теорема об операциях над измеримыми функциями . з 6. Измеримые множества и функции в пространстве К" 6.1. Кубическое подразделение открытого множества 6.2. Измеримость открытых и замкнутых множеств в пространстве К" 6.3. Внешняя мера множества. Геометрическая характеристика внешней меры множеств в К" .......... 6.4.

Измеримость некоторых классов функций в К" ......... 6.5. Сопоставление различных теорий интегрирования в К 3 7. Теорема Фубини и ее следствия .................... 7.1. Теорема Фубини 7.2. Теорема Тонелли 7.3. Формула Кавальери — Лебега з 8. Формула замены переменной в кратном интеграле 8.1. Интегрируемые функции на открытых множествах пространства К" 8.2. Формулировка результата 8.3. Леммы о редукции 8.4. Лемма о представлении диффеоморфизма как суперпозиции диффеоморфизмов специального вида ....

8.5. Доказательство теоремы 8.1 . 8.6. Вычисление некоторых мер и интегралов ............... з 9. Сходимость в Ьз. Пространство Ед 9.1. Сходимость в Ь| 9.2. Пространство То 9.3. Достаточные условия непрерывности и дифференцируемости функций, представленных интегралами, зависящими от параметра ................ Задачи 85 86 89 93 96 103 105 108 108 112 117 119 124 124 132 136 141 141 144 146 149 151 158 165 166 172 175 180 Оглавление Глава 14. Ряды Фурье и преобразование Фурье 31. Ряды Фурье. Определение и предварительные результаты .

1.1. Тригонометрические полиномы 1.2. Понятие тригонометрического ряда. Ряд Фурье интегрируемой функции 1.3. Теорема Римана — Лебега и ее следствия З 2. Общее понятие ортогональной системы функций 2.1. Понятие гильбертова пространства. Пространство 7'2(~') 2.2.

Ортогональные системы векторов гильбертова пространства 2.3. Полнота ортогональной тригонометрической системы функций 2.4. Примеры ортогональных систем функций ............... ~ 3. Основные теоремы о сходимости ряда Фурье в точке 186 187 187 192 197 202 203 210 215 220 3.1. Теорема о поточечной сходимости рядов Фурье ......... 3.2.

Достаточное условие равномерной сходимости ряда Фурье З 4. Разложения в ряд Фурье функций ограниченной вариации 4.1. Теорема Дирихле о поточечной сходимости ряда Фурье 227 232 237 237 4.2. Теорема о равномерной сходимости ряда Фурье для функции ограниченной вариации ........................ 243 4А. Примеры разложений функций в ряды Фурье 249 259 з 5.

Преобразование Фурье 5.1. Определение и простейшие свойства преобразования Фурье 5.2. Правило обращения преобразования Фурье 5.3. Инъективность преобразования Фурье на Ь|(К) Задачи 259 267 271 276 Глава 15. Интегральное исчисление на многообразиях. Внешние дифференциальные формы 3 1. Полилинейные функции и поливекторы 1.1. Понятие полилинейной функции 279 280 280 1.2.

Понятие кососимметрической полилинейной функции ... 284 1.3. Понятие поливектора. Интегрирование по й-мерной плоскости 288 4.3. Интегрирование и дифференцирование рядов Фурье .... 247 Оглавление з 2. Исчисление внешних дифференциальных форм . 2.1. Определение понятия внешней дифференциальной формы 2.2. Умножение внешних дифференциальных форм ........ 2.3. Операция дифференцирования внешней дифференциальной формы 2.4. Операция переноса внешней дифференциальной формы гладким отображением 2.5.

Вторая теорема Пуанкаре 'З 3. Дополнительные сведения о гладких подмногообразиях пространств К" ................ 3.1. Отображения класса Ж" с произвольной областью определения . 3.2. Понятие диффеоморфизма 3.3. Понятие й-мерного подмногообразия пространства К" .

3.4. Понятие края многообразия 3.5. Касательная плоскость и касательное пространство в точке многообразия 3.6. Множества, задаваемые системой уравнений ........... з 4. Площадь й-мерного многообразия 4.1. Меры на й-мерных плоскостях 4.2. Определение площади а-мерного многообразия ........ З 5. Внешние дифференциальные формы на многообразиях 5.1. Определение понятия внешней дифференциальной формы 5.2. Понятия ориентации и ориентируемого многообразия .

5.3. Индуцированная ориентация края многообразия 5.4. Пример неориентируемого многообразия ............... з 6. Обобщенная интегральная теорема Стокса ...... 6.1. Лемма о разбиении единицы 6.2. Определение интеграла по произвольному й-мерному многообразию 6.3.

Обобщенная интегральная теорема Стокса ............ 6.4. Интегральные формулы Остроградского и Гаусса ..... 6.5. Общая теорема Браузра о неподвижной точке Задачи Заключение Список основных обозначений Предметный указатель Именной указатель . Содержание предыдущих книг КМА 297 297 301 307 311 317 320 321 326 331 335 338 341 344 344 348 359 359 365 371 375 380 381 386 388 395 403 409 413 414 416 421 431 ПРЕДИСЛОВИЕ Книга вторая, часть 11 «Курса математического анализа» (КМА) предназначена студентам-математикам второго курса университетов.