1610912308-c2bec5dd8b772d8e0a64c945e7c7f8d8 (Спивак М. Математический анализ на многообразиях 1968u)

М. Спивак МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НА МНОГООБРАЗИЯХ Перевод с английского И. А. БЕРЕЗАНСКОГО Под редакцией Л. А. РАЙКОВА ИЗЛАТЕЛЬСТВО „МИР" Москва 1968 Книга представляет собой современное введение в многомерный анализ. Автор последовательно знакомит читателя с тзкимн понятиями, как отображения многомерных иростраиств и их дифференциалы, дифференциальные формы и действия над ними, многообразия в евклидовом пространстве.

Лалее доказывается общая теорема Стокса лля дифференциальных форм на многообразиях и из нее выводится ряд классических результатов: формулы Грина, обычная формула Стокса и т, д.; от читателя требуется знание основ анализа п злементов линейной алгебры. Книга доступна студентам физико-математических факультетов университетов и пединститутов; читатель, имеющий математическую полготовку в объеме втуза и желающий углубить свои знания, извлечет иа знакомства с ней немалую пользу. Она заинтересует и математиков, преподающих анализ. Редакция литературы по математическим наукам Инд. 2-2-3 от редлкторл пйреволл Стиль изложения дифференциального и интегрального исчислений для функций нескольких переменных, принятый в большинстве существующих руководств, довольно архаичен.

Достаточно сказать, что в этих руководствах отсутствует общее понятие дифференцируемого отображения и его произвощюй (для случая конечномерных евклидовых пространств). Многое излагается недостаточно строго. Особенно это относится к теоремам Грина, Стокса и Гаусса — Остроградского. Их доказательства и сами формулировки существенно основываются на интуитивных представлениях о „поверхности, ограничивающей тело" или „линии, ограничивающей поверхность". Отсутствие же соответствующих точных общих понятий, з также необходимого аппарата дифференциальных форм, не позволяет установить, что три упомянутые теоремы — просто частные случаи „абстрактной теоремы Стокса" об интегрировании ()е — 1)-формы по границе я-цепи.

До недавнего времени все это можно было найти лишь в специальных работах или монографиях. Но в последние годы стали появляться учебные руководства, адресованные студентам-математикам старших курсов и имеющие своей задачей изложение различных разделов общего курса математического анализа на более современном научном уровне (см.. например, недавно переведенную у нас книгу Рудина [21]).

Одним из таких руководств является и книга М. Спивака, русский перевод которой предлагается читателю, Название книги может создать впечатление, что предмет ее довольно специальный. На самом деле „многообрааия", рассматриваемые в первых главах, — это просто открытые подмножества и-мерного евклидова пространства. От редактора перевода Во второй главе изучаются свойства нх дифференцнруемых отображений в евклидовы пространства, включая теоремы об обратимых отображениях и неявных функциях, В третьей главе интеграл (Римана), определяемый вначале на п-мерных параллелепипедах, распространяется с помощью „разбиений единицы' на функции, заданные на произвольных открытых множествах. Устанавливаются важнейшие его свойства, включая теорему о замене переменной (к сожалению, автор впоследствии упускает случай отметить тесную связь ее с интегрированием внешних дифференциальных форм).

Ввеление множеств лебеговой меры нуль позволяет не только придать изложению теории интеграла Римана завершенную форму, но и доказать впоследствии теорему Сарда о том, что образ множества точек вырожденности дифференцируемого отображения имеет меру нуль.

Анализу на многообразиях в собственном смысле посвящены последние две главы. В четвертой главе, после необходимых сведений из полилинейной алгебры, вводятся дифференциальные формы и их дифференцирование, затем цепи „сингулярных кубов' (многомерных аналогов дуг Жордана) и их границы; кульминационным пунктом главы (и всей книги) является упомянутая, абстрактная теорема Стокса', Наконец, в пятой главе определяются многообрззия и многообразия с краем, вложенные в и-мерное евклидово пространство, для них показывается общая теорема Стокса и в завершение из нее выводятся классические теоремы Грина, Стокса и Гаусса — Остроградского, Некоторых, возможно, затруднит непривычная система обозначений, безусловно более точная, чем общепринятая, но шюгда и более громоздкая.

Рассуждения и особенно вычисления проведены местами излишне сжато. Кроме того. некоторые доказательства опираются на результаты, приведенные лишь в задачах. Таким образом, усвоение материала книги потребует от читателя довольно активной работы, но результаты окупят ее. Д. А. Райков ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА В этой небольшой книге нас интересуют главным образом те разделы „высшего анализа", тонкость понятий и методов которых делает трудным строгое изложение на элементарном уровне.

Подход, набранный здесь, состоит в применении элементарных версий методов современной утонченной математики. Формально предполагаются только анание семестрового курса линейной алгебры, шапочное знакомство с теоретико.множественнымн обозначениями н владение сносным начальным курсом анализа (в котором по крайней мере упоминается о верхней и нижней гранях числового множества). Сверх этого, пожалуй, наиболее существенным является (иногда неявное) использование абстрактной математики. Первая половина книги охватывает ту простую часть повышенного курса анализа, которая обобщает элемен.

тарный анализ па функции многих переменных. Глава 1 содержит предварительные сведения, а в гл. 2 и 3 рассматриваются соответственно дифференцирование и интегрирование. Остальная часть книги посвящена научению кривых, поверхностей и их многомерных аналогов. Здесь современный и классический методы изложения совершенно различны, хотя н имеют много точек соприкосновения, что особенно отчетливо показано в последнем параграфе. Вполне классическим результатом является теорема, практически завершающая книгу. Эта теорема (теорема Стокса) Предисловие автора имела любопытную историю и претерпела разительные метаморфозы. Впервые формулировка теоремы появилась в зиле приписки к письму сэра Уильяма Томсона(лорда Кельвина) к Стоксу, датированному 2 июля 1850 г. Опубликована она была в качестве восьмого вопроса к экззменам на смитовскую премию 1854 г.

Этот конкурсный экзамен, которому ежегодно подвергались лучшие студенты-математики Кембриджского университета, с 1849 по 1882 г. проводился проф. Стоксом. Ко времени его смерти результат был повсеместно известен каь теорема Стокса. Современнвьами Стокса были даны по крайней мере трн доказзтельства: олно опубликовал Томсон, другое было изложено в ,Трактате о натуральной философии" Томсона и Тейта и третье предложил Максвелл а „Электричестве и магнетизме" 181. С тех пор именем Стокса были нззваны значительно более общие результаты, сыгравшие столь заметную роль в развитии некоторых разделов математики, что теорема Стокса вполне может дать материал для размышлений о пенности обобщения.

В этой книге имеются три формы теоремы Стокса. Вариант, известный Стоксу, появляется в последнем пзраграфе вместе со своими неразлучными спутниками — теоремами Грина и Гаусса — 'Острогралского. Эги три классические теоремы весьма просто выволятся из современной теоремы Стокса, рассматриваемой перел этим в гл. 5. То, что классические теоремы утвержлают лля кривых и поверхностей, эта теорема устанавливает для их многомерных аналогов (многообразий), полробно изучаемых в первой части гл.

5. Изучение многообразий, которое могло бы быть оправдано уже одной их важностью в современной математике, в лействительности требует не больше усилий, чем нужно затратить за аккуратное изучение только кривых и поверхностей. Предисловие автора Читатель, вероятно. подумает. что современная тео. рема Стокса по нрайней мере столь же трудна, как и получаемые из нее классические теоремы. Однако это пе так: она является очень простым следствием еще одного варианта теоремы Стокса; этот весьма абстрактный вариант является конечным н основным результатом гл.

4. Естественно предположить, что трудности, которых мы избежали, таятся именно здесь. Однако доказательство этой теоремы с точки зрения математика есть совершенная тривиальность — прямое вычисление. С другой стороны, даже формулировка этой тривиальной теореиы не может быть понята без вереницы трудных определений из гл. 4. Имеются веские причины, в силу которых теоремы должны быть легкими, а определения трудными. Как покааывает эволюция теоремы Стокса, за несколькими трудными результатами может скрываться один простой принцип; доказательство многих теорем состоит просто .в его обнажении. С лругой стороны, определения служат двоякой цели: они являются и строгой заменой расплывчатых понятий, и аппаратом для изящных докааательств.

В первых двух параграфах гл. 4 даны точные определения и доказаны прзвила обращения с тем, что в классической математике называют дифференциальными выражениями типа Р дх+ Я ~у+ гс Иг илн Рдхйу+Я ФуИг+ гг дмдх. Цепи, определяемые в третьем пзраграфе, и разбиение единицы, ранее введенное в гл. 3, освобождают наши доказательства от необходимости раскраивания многообразий на мелкие части; они сводят вопросы, относящиеся к многообразиям, где все представляется трудным, к задачам в евклидовом пространстве, где все просто. Концентрация глубоких идей в определениях несо- мненно экономна, но она создает некоторые трудности для изучающего. Надеюсь, что читателя поощрит к осно- Предисловие автора вательному изучению гл. 4 уверенность в том, что результаты оправдают его усилия.

Классические теоремы последнего параграфа являются лишь немногими и ни в коем случзе не самымн главными приложениями гл. 4; многие другие приведены в качестве задач,,а указания на дальнейшее рззвитие можно найти в списке литературы. Несколько слов о задачах и списке литературы. Задачи помещены после каждого параграфа и (подобно теоремам) имеют сквоаную нумерацию внутри каждой из глав. Задачи, результаты которых используются в основном тексте, помечены звездочкой, но желательно, чтобы эта предосторожность оказалась ненужной — задачи составляют важнейшую часть книги, и читателю следовало бы по крайней мере попытаться решить их все.

Список литературы нужно было делать либо очень неполным, либо громоздким, поскольку добрую половину основных разделов математики можно с полным правом рекомендовать в качестве естественного продолжения материала книги. Я попытался сделать его неполным, но заннтересовывающим. Во время написания этой книги было высказано немало критических замечаний и предложений. Я особенно благодарен Ричарду Пелейсу, Хью Росси, Роберту Снли и Чарлзу Стенарду за их многочисленные полезные аамечания.