1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (Решетняк Ю. Г. Курс математического анализа Ч2 книга 1 (1999)u)

РОССИЙСКАЯ АКАЛЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТЛЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ им. С. Л. СОБОЛЕВА Современная математика — студентам и аспирантам КЭ. Г. Р Е Ш Е Т Н Я К К У Р С МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ',:. Часть П * Книга 1 Основы гладкого анализа в многомерных пространствах. Теория рядов \" 1 Новосибирск Издательство Института математики 2000 УНК 517 ББК 22.16 Р47 Решетняк Ю.

Г. 18ВХ 5-86134 †086 в. Учебник «Курс математического анализа» в двух частях написан на основе лекционного курса, читавшегося автором в Новосибирском государственном университете, и отражает опыт работы кафедры математического анализа по совершенствованию преподавания этого предмета. Лается оригинальное изложение ряда тем, составляющих традиционное содержание курса.

Читатель найдет также изложение отдельных интересных вопросов, примыкающих к основному материалу. Книга 1 части 11 учебника предназначена для студентов второго курса математических факультетов университетов. Учебник может быть полезен преподавателям математики в университетах и в других высших учебных заведениях, где читается математический анализ. 02лветстееяныа редактор Водопьянов Сергей Константинович Издание осуществлено при финансовой поддержке Р И Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 99-01-14013) Я82~02~-2000 1602070000-13 18В11 5-86134-086-2 © Решетняк Ю. Г., 2000 © Институт математики им. С.

Л. Соболева СО РАН, 2000 Курс математического анализа. Ч. 11, кн. 1. — Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2000. — 440 с. — (Современная математика — студентам и аспирантам). ОГЛАВЛЕНИЕ От автора Предисловие Глава 9. Компактные множества и топологические пространства Обзор некоторых основных утверждений главы 6 («Курс математического анализа», часть |, книга 2), а также глав 2 и 3 (часть 1, книга 1) . Общие сведения о метрических пространствах ..........

Векторные пространства. Норма в векторном пространстве ....................... Понятия предела и непрерывности. Сводка определений и основных результатов .................... Открытые и замкнутые множества в метрических пространствах Компактные множества и компактные пространства ... Критерий предкомпактности, Теоремы Лебега и Бореля Понятие вполне ограниченного множества ..............

Компактность произведения компактных множеств ..... Теорема Лебега об открытом покрытии ................. Теорема Бореля об открытом покрытии Понятие топологического пространства .......... 16 16 1.1 1.2 20 1.3 27 40 43 1.5 32 45 45 53 55 56 60 2.1. 2.2. 2.3.

2.4. ~3. 3.1. Вспомогательные теоретико-множественные соотношения Определение понятия топологического пространства ... 60 66 3.2. КХРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА с1асть П я Книга 1 Основы гладкого анализа в многомерных простпранстпвах. Теория рядов Оглавление Непрерывные отображения топологических пространств 4.1. Определение понятий непрерывности и предела для отображений топологических пространств 4.2. Понятие компактного множества в топологическом пространстве . Задачи Глава 1 1 1.

1.1. 1.2. з2, 2.1. О. Основы гладкого анализа 2.2 2.3 зЗ 3.1 3,2 3.3 3.4 3.5 4.1 4.2 4.3 4.4 Общая теорема о разрешимости уравнений Принцип сжимающих отображений .................... Абстрактнав теорема об обратной функции ............ Теорема об обратной функции ...............,..... Теорема о локальной обратимости гладкого отображения дифференциальные свойства обратного отображения .. Понятие о произвольной системе координат в пространстве К" Следствия теоремы об обратной функции ....... Теорема о неявных функциях Первая теорема о выпрямляющем диффеоморфизме ....

Вторая теорема о выпрямляющем днффеоморфизме .... Теорема о ранге . Понятия функционально зависимых и независимых систем функций . Многообразия и системы уравнений в пространстве К" Понятие к-мерного подмногообразия пространства К" . Понятие касательной плоскости в точке многообразия . Строение множества решений системы уравнений с условием невырожденности ...........................

Множества, определяемые системой уравнений и одним неравенством Примеры подмногообразий пространства К" ........... 73 85 88 91 92 92 98 101 101 106 109 118 119 122 128 131 136 142 143 149 155 159 162 Оглавление 3 5. Условные экстремумы 5.1. Необходимые условия условного экстремума. Метод множителей Лагранжа 5.2. Распознавание точек условного экстремума ............. 5.3. Приложения к задаче о собственных значениях симметрической матрицы 3 6, Теорема Морса 6.1. Предварительные сведения о матрицах .............. 6.2. Доказательство теоремы Морса .............;...........

3 7. Вычисление частных производных функций, заданных неявно. Примеры 7.1. О вычислении производных функций, заданных неявно . 7.2. Примеры качественных особенностей множества решений системы уравнений Задачи ............... Глава 11.Теория рядов 3 1. Определения.

Общие сведения о рядах .......... 1.1. Определение и простейшие свойства сходящихся рядов 1.2. Примеры сходящихся и расходящихся рядов .......... 1.3. Признак Коши — Больцано сходимости ряда ......... 1.4. Свойство ассоциативности суммы ряда ............... 3 2. Признаки сходимости рядов 2.1. Условия сходимости ряда с неотрицательными членами 2.2. Теоремы сравнения для распознавания сходящихся и расходящихся рядов ..

2.3. Признаки Коши — Адамара и Даламбера сходимости и расходимости ряда 2.4. Интегральный признак Коши сходимости и расходимости ряда 2.5. Признак Раабе сходимости ряда 168 168 173 177 181 182 188 194 194 200 211 219 220 220 227 228 232 233 233 235 239 242 245 Оглавление З 3.

Признаки Лирихле и Абеля сходимости ряда .... 3.1. Тождество Абеля. Признаки Дирихле и Абеля сходимости ряда 3.2. Пример на приложение признака Дирихле сходимости ряда . Сумма значений функций на произвольном бесконечном множестве 4.1. Определение суммы значений на произвольном бесконечном множестве и ее своиства .................. 4.2. Критерий суммируемости функции по произвольному множеству 4.3. Суммирование вещественных функций 4.4. Суммируемость функций и понятие коммутативно сходящегося ряда 4.5.

Теорема об ассоциативности суммирования (теорема о суммировании пачками) . 4.6. Кратные ряды 3 5, Бесконечные произведения 5.1. Определение бесконечного произведения 5.2. Признаки сходимости и расходимости бесконечного произведения 5.3. Формула Валлиса . з 6. Цепные дроби 6.1. Определение и простейшие свойства цепных дробей . 6.2.

Признак Зейделя сходимости цепной дроби 6.3. Примеры цепных дробей . Задачи Глава 12. Функциональные ряды и интегралы, зависящие от параметра 3 1. Понятие равномерной сходимости для семейства функций 1.1. Равномерная норма функции. Пространство Ь„(М) ... 1.2. Определение и простейшие свойства равномерно сходящегося семейства функций 1.3. Критерий Коши — Больцано равномерной сходимости . 1.4.

Теорема о равенстве повторных пределов ............... 1.5. Следствия теоремы о повторных пределах. Пространство в (М) 247 247 250 252 252 257 262 267 270 277 280 280 282 286 280 289 298 303 308 315 316 316 320 325 327 331 Оглавление 1.6. Теорема Дини 333 335 341 функционального ряда 344 последовательности и суммы функционального ряда ....

350 33. Степенные ряды ....... 353 353 3.2. Разложения в степенные ряды элементарных функций .. 358 3.3. Вторая теорема Абеля для степенных рядов ............ 366 3.4. Функциональные свойства суммы степенного ряда ...... 370 З4. Критерии интегрируемости функции в замкнутом промежутке . 376 4.1. Признак Коши — Больцано сходимости интеграла ..... 376 380 384 386 5.1.

Достаточное условие непрерывности функции, представимой интегралом, зависящим от параметра .... 386 389 396 403 405 1.7. Теорема о произведении рядов 3 2. Равномерно сходящиеся функциональные ряды 2.1. Понятие равномерно сходящегося ряда ............... 2.2. Признаки Дирихле и Абеля равномерной сходимости 2.3. Теоремы об интегрировании функциональных рядов и последовательностей 2.4. О дифференцируемости предела функциональной 3.1. Первая теорема Абеля для степенных рядов (теорема Абеля о радиусе сходимости степенного ряда) .........

4.2. Признаки сравнения сходимости и расходимости интеграла 4.3. Признак Дирихле сходимости интеграла 3 5. Функции, представимые интегралами, зависящими от параметра 5.2. Теоремы о дифференцировании и интегрировании функций, представимых интегралами .............. 5.3. Теоремы о дифференцировании и интегрировании функций, представимых несобственными интегралами 5.4. Теорема о монотонной последовательности интегрируемых функций 5.5.