1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (Решетняк Ю. Г. Курс математического анализа Ч1 книга 2 (1999)u)

РОССИЙСКАЯ АКАЛЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТЛЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ им. С. Л. СОБОЛЕВА Современнаа математика — студентам и аспирантам Ю. Г. РЕШЕТБЯК К У Р С МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА к4асть 1 * Книга 3 Интееральное исчисление фуннций одной пер еменно б. Дифференциальное исчисление фуннциб мноеих переменных Новосибирск Издательство Института математики 1 9 9 9 УДК 517 ББК 22.16 Р47 Решетняк 1О. Г.

Курс математического анализа. Ч. 1, кн. 2. — Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1999. — 512 с. — (Современная математика — студентам и аспирантам). 18ВМ 5-86134 †067 в. Ответственные редакторы ШВЕДОВ Игорь Александрович ИОНИН Владимир Кузьмич Издание осуществлено при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 99 — 01 — 14013). 1602070000-07 Без объявл. ® Решетняк Ю.

Г., 1999 ® Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 1999 1ЯВг1 5 †861-067 †Учебник «Курс математического анэлизаз в двух частях написан на основе лекционного курса, читавшегося автором в Новосибирском государственном университете,и отражает опыт работы кафедры математического анализа по совершенствованию преподавания этого предмета. Лается оригинальное изложение ряда тем, составляющих традиционное содержание курса.

Читателю также представлены отдельные интересные вопросы, примыкающие к основному материалу. Часть 1, книга 2 учебника предназначена для студентов первого курса математических факультетов университетов. Она может быть полезна преподавателям математики в университетах и в других высших учебных заведениях, где читается математический анализ. КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА часть 1 * книга 2 Интпееральное исчисление функций одноз1 гзеременной.

Дифференциальное исчисление функций многих иеременньах ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Глава 5. Интегральное исчисление функций одной переменной. 3 1. Определение понятий интеграла и интегрируемой функции 1.1. Понятие первообразной . 1.2. Интегрируемость линейной комбинации интегрируемых функций. 1.3. Первообразная функции постоянного знака. Произвол в определении первообразной. Определенный и неопределенный интегралы 1.4. Интегрируемость по объединению промежутков......... .

18 . 20 .. 26 3 2. Определенные интегралы и их простейшие свойства.... 28 3 3. Достаточные условия интегрируемости .. 3.1. Понятие аддитнвной функции отрезка.......... 3.2. Понятие нижнего интеграла. 3.3. Основная теорема об интегрируемости функции по промежутку . 49 .60 . 63 3 4. Техника неопределенного интегрирования .. ..68 .. 74 .. 85 4.1.

Общие сведения о неопределенных интегралах...... 4.2. Интегрирование рациональных функций........... 4.3. Примеры неопределенных интегралов ............. 3 5. Интегральные теоремы о среднем значении .. 2.1. Линейность определенных интегралов........................ 28 2.2. Свойство монотонности интеграла . . 30 2.3. Свойство аддитивности интеграла . 34 2.4. Критерий интегрируемости функций по замкнутому отрезку.... 37 2.5.

Правило интегрирования по частям . . 41 2.6. Правило замены переменной интегрирования.................. 45 2.7. формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме .. 47 Курс математического анализа, ч. 1, кн. 2 Первая интегральная теорема о среднем значении.............. 95 Лемма о приближении монотонных функций ступенчатыми..... 98 Вторая интегральная теорема о среднем значении............. 101 3 6.

Интегралы и суммы. Формулы численного интегрирования. .. 104 .. 104 в смысле Римана . ....................... 109 Численное интегрирование функций. Формула трапедий....... 113 6.4. Формула Симпсона численного интегрирования .. 3 Т. Приложения интегрального исчисления....

.. 119 .. 126 Задачи. 154 Глава 6. Непрерывные отображении метрических пространств. 3 1. Общие свойства метрических пространств..... .163 .. 164 Определение и простейшие свойства метрических пространств . 164 .. 168 ..170 1.4. Понятие подпространства. .........172 3 2. Общие сведения о векторных пространствах........... 1ТЗ 2.1 Понятие векторного пространства 2.2 2.3 ... 190 34.

Понятия предела и непрерывности дли отображений метрических пространств . 204 4.1 .. 205 212 ..... 219 ..... 223 ..... 226 ..... 229 231 5.1 5.2 5.3 6.1 6.2 6.3 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 1.1 1.2 1.3 3.1 3.2 З.З 3.4 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 Интегралы и неравенства, содержащие суммы........ Римановы суммы и понятие функции, интегрируемой . Площадь плоской фигуры Объемы тел вращения.

Длина кривой и площадь поверхности вращения .. Некоторые физические приложения интеграла.... Доказательство трансдендентности числа С ...... Произведение метрических пространств....... Шары и сферы в метрических пространствах .. Общий принцип построения векторных пространств .. Линейные отображения векторных пространств....... Нормированные векторные пространства .. Понятие нормы в векторном пространстве............ Нормы в пространстве Ж~ Некоторые специальные подмножества пространства К~ Норма линейного отображения. Понятие предела относительно оценочной функции .

Общие свойства предела . Определение предела для отображений метрических пространств Теоремы о пределе сложной функции.............. Понятие полною метрического пространства........... Предел и непрерывность для функций со значениями в Рв Определение и простейшие свойства асимптотических соотношений . 126 . 130 ..

134 .. 141 .. 147 .174 .. 179 ..182 190 193 198 200 Оглавление 236 .. 236 .. 241 . 248 . 251 .. 254 .. 257 . 260 .. 263 . 267 .. 269 Задачи Глава 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных 279 3 1. Понятие частной производной и дифференциала....... 280 1.1. Дифференцирование и интегрирование вектор-функций одной . 281 1.2 284 1.3. Понятие дифференцируемой функции многих переменных ...... 290 3 2. Общие свойства дифференцируемых функций ......... 295 2.1.

Лемма об опенке приращения функции...................... 296 2.2. Лемма об интегрировании асимптотических соотношений...... 298 2.3. Достаточное условие дифференцируемости функции в точке.... 302 2.4. Теорема о дифференцируемости сложной функции............ 303 2.5. Признак постоянства функции. .305 2.6. Теорема Эйлера об однородной функции... .. 308 3 3.

Производные высших порядков .. 310 311 Классы С" . 321 4.1. Полиномы и переменных . 324 4.2. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано........ 331 4.3. Асимптотическзя характеристика полинома Тейлора.......... ЗЗЗ 4.4. Формула для производной произвольного порядка функции з-7(я+за). понятие дифференциала г-го порядка............. 335 5.1 5.2 5.3 5.4 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 Открытые и замкнутые множества в метрических пространствах Определения открытых и замкнутых множеств......... Операции над открытыми и замкнутыми множествами.

Замыкание, внутренность и граница множества ........ Непрерывные отображения и открытые и замкнутые множества . Относительно открытые и относительно замкнутые множества . Компактные множества в метрических пространствах. 254 Определение и общие свойства компактных множеств... Критерий компактности множества в й~ .............. Теорема Вейерштрасса для непрерывных функций на компактных множествах Некоторые приложения теоремы Вейерштрасса........ Теорема о равномерной непрерывности непрерывного отображения Модуль непрерывности отображения.................. переменной Понятие производной функции вдоль данного вектора.

Частные производные Определение производных выше первого порядка Свойство симметричности производных второго порядка.......314 Теорема о симметричности производных высших порядков..... 317 Мультииндексные обозначения . 318 Формула Тейлора для функций многих переменных.... 324 Курс математического анализа, ч. 1, кн. 2 338 ..

368 .374 Задачи. Глава 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых в м~. 387 3 1. Понятие интеграла дифференциальной формы вдоль кривой . 388 1.1. Свойства функций, представленных интегралами, зависящими от параметра . 389 1.2. Определение интеграла линейной дифференциальной формы вдоль кривой. .392 1.3. Понятия точной и замкнутой дифференциальной формы.......

400 1.4. Общая теорема о представимости дифференциальной формы как дифференциала функции . . 407 3 2. Приложения понятия интеграла дифференциальной формы вдоль кривой 417 417 424 427 434 442 453 454 458 465 471 475 Задачи. 488 . 491 . 492 .495 Послесловие.

Указатель обозначений Предметный указатель 3 5. Вычисление частных производных 5.1. Применение формулы Тейлора к вычислению частных производных 5.2. Исчисление полиномиальных форм 3 6. Экстремум функций многих переменных........ 6.1. Необходимые условия экстремума функции............ 6.2. Достаточные условия экстремума функции............ 3 7. Теорема о неявных функциях и ее приложения .. 7.1. Простейшая теорема о неявных функциях............. 7.2.