1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (Решетняк Ю. Г. Курс математического анализа Ч1 книга 1 (1999)u)

РОССИИСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ им. С. Л. СОБОЛЕВА Современная математика — студентам и аспирантам Ю. Г. РЕШЕТНЯК К У Р С МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА 'Часть | * Книга 1 Введение в математпический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной иеременной Новосибирск Издательство Института математики 1999 УЛК 517 ВБК 22.16 Р47 Решетняк КЭ. Г. Курс математического анализа. Ч. 1, кн. 1. — Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1999. — 454 с. — (Современная математика — студентам и аспирантам). 18ВМ 5 — 86134 — 066 — 8. Ответственные редакторы ШВЕЛОВ Игорь Александрович ИОНИН Владимир Кузьмич Издание осуществлено при финансовой поддержке Р (.Ц ~ И Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 99-01-14013).

Р 1602070000 06Б б Я62(ОЗ) — 99 © Решетняк Ю. Г., 1999 © Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 1999 1БВМ 5 †86134 †066 Учебник «Курс математического анализа» в двух частях написан на основе лекпионного курса, читавшегося автором в Новосибирском государственном университете, и отражает опыт работы кафедры математическою анализа по совершенствованию преподавания этого предмета. Лается оригинальное изложение ряда тем, составляющих традиционное содержание курса.

Читателю также представлены отдельные интересные вопросы, примыкающие к основному материалу. Часть 1, книга 1 учебника предназначена для студентов первого курса математических факультетов университетов. Она может быть полезна преподавателям математики в университетах и в других высших учебных заведениях, где читается математический анализ. КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА часть 1 * книга 1 Введение в матпематпичесний анализ.

Дифференциальное исчисление фуннций одной переменной ОГЛАВЛЕНИЕ .7 .9 От автора Предисловие .. 11 20 21 22 25 25 3.1. Алгебраическая структура множества вещественных чисел..... 27 3.2. Порядковая структура множества И. 28 3.3. Расширенная числовая прямзл. Промежутки (отрезки) ......... 29 30 3 4. Точные границы числового множества. Аксиома непре- рывности.

Натуральные, целые и рациональные числа . 32 .. 33 35 .. 37 ..38 48 .. 50 Глава 1. Введение в математический анализ 3 1. Понятие множества 1.1. Множество и его элементы 1.2. Логическая символика. 1.3. Кванторы 1.4. Операции над множествами 1.5. Прямое произведение множеств 3 2. Функции 2.1.

Понятие функции или отображения 2.2. Образ и прообраз. Накрывающее и взаимно однозначное отображения 2.3. Суперпозиция отображений 2.4. Обратное отображение . 2.5. Сужение и продолжение функции . 2.6. График функции. 3 3. Вещественные числа и числовые множества 3.4. Абсолютнал величина.

Положительная и отрицательнал части числа . 4.1. Понятия точной верхней и точной нижней границ числового множества. Аксиома непрерывности.......... 4.2. Признаки точной верхней и точной нижней границ числового множества 4.3. Свойство монотонности относительно включения точной верхней и точной нижней границ................ 4.4. Множества натуральных, целых и рациональных чисел... 4.5.

Существование квадратного корня . 4.6. Сокращенные обозначения для суммы и произведения.... .. 12 12 14 16 16 17 . 19 19 Курс математического анализа, ч. 1, кн. 1 3 5. Вещественные числовые функции....................... 52 5.1. Алгебраические операции над вещественными функциями. Монотонные функции . 52 5.2. График вещественной числовой функдии...................... 53 5.3. Точные границы вещественной функции...................... 55 3 6. Комплексные числа . 58 6.1. Понятие комплексного числа.

Определение и основные свойства . 58 6.2. Вещественная и мнимая части комплексного числа. Модуль. Сопряженное число . 6.3. Геометрическое представление комплексных чисел............. 3 7. Счетные множества. 7.1. Определение счетного множества 7.2. Операции над счетными множествами........................ Задачи . 62 64 67 67 71 75 Глава 2. Теории предела 81 155 156 161 31.

Определение и простейшие свойства предела........... 82 1.1. Понятие предельной точки числового множества............... 82 1.2. Определение предела функции на произвольном подмножестве Ж. 87 1.3. Понятие непрерывной функции . . 94 1.4. Теорема о предельном переходе в неравенстве. Единственность предела. .95 1.5. Существование предела и асимптотическзя ограниченность..... 98 1.6. Теорема о зажатой переменной и ее следствия................

100 1.7. Характеристика предельных точек числового множества....... 105 1.8. Понятия непрерывности и предела для комплексных функций .. 107 32. Теоремы об операциях над пределами..................109 2.1. Операции с бесконечно малыми. 109 2.2. Теоремы об операциях с пределами. Случай конечных пределов. 112 2.3.

Правила замены переменной под знаком предела.............. 114 2.4. Теоремы о пределах суммы, произведения и частного. Случай бесконечных пределов . 119 3 3. Признаки сугцествования предела...................... 125 3.1. Теорема о существовании предела монотонной функции........

126 3.2. Критерий Коши — Больцано существования конечного предела 130 3.3. Критерий Гейне существования предела..................... 135 3.4. Несчетность множества вещественных чисел й............... 137 3.5. Понятие одностороннего предела и классификация точек разрыва функции на отрезке. 138 34. Теорема о разрешимости уравнения г(в)=а и ее следствия .143 4.1. Теорема Коши о промежуточных значениях..................

144 4.2. Теорема о существовании непрерывной обратной функции..... 147 3 5. Основные теоремы о непрерывных функциях.......... 151 5.1. Теорема выбора Вейерштрасса . 152 5.2. Теорема Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем значениях непрерывной функции. 5.3. Понятие равномерно непрерывной функции................... 5.4. Топологические отображения отрезков в множество 11.........

Оглавление 3 6. Верхний и нижний пределы последовательности . 6.1. Определение и простейшие свойства верхнего и нижнего пределов 6.2. Критерий существования предела последовательности .. 6.3. Понятие частичного предела последовательности....... 6.4. Характеристика верхнего и нижнего пределов последовательности . Задачи. .... 163 163 .. 167 .. 170 174 . 176 Глава 3. Элементарные функции. .187 3 1. Показательная, логарифмическая и степенная функпи Некоторые замечательные пределы.................. 1.1.

Существование и конечность предела 1пв (1+-„)" ........... 1.2. Свойства функции ехр. 1.3. Функция — натуральный логарифм . 1.4. Операция возведения в степень. Степенная функция. Показательная функция 3 2. Тригонометрические функции. Общее понятие элементарной функции 2.1. Синус, косинус н тангенс 2.2. Предел йга "'„*................. я 0 2.3. Обратные тригонометрические функции....................

2.4. Показательная функция комплексного аргумента............. 2.5. Общее понятие элементарной функции...................... 2.6. Гиперболические функции 3 3. Сравнение поведения элементарных функций вблизи концов области определения 3.1. Понятие об асимнтотических соотношениях................. 3.2. Сравнение поведения основных элементарных функций в концах области определения 3 4. Некоторые дополнительные сведения об элементарны функциях 4.1. О функции ехр в комплексной плоскости...................

4.2. Функциональные уравнения элементарных функций......... Задачи и. .. 188 189 194 199 204 211 211 219 223 226 228 229 234 235 238 х 241 .. 242 .. 251 261 3 1. Определение и простейшие свойства производной...... 264 1.1. Понятие функции, дифференцируемой в точке. Определение производной. 1.2. Правила дифференцирования . 1.3. дифференцирование основных элементарных функций......... 3 2. Некоторые приложения понятия производной.......... 2.1. Касательная графика функции. 2.2. Понятие параметризованной кривой. Касательная к параметризованной кривой. .279 2.3. Полярная система координат на плоскости. Графики функций в полярной системе координат. .297 2.4. Приложения понятия производной в физике и механике ........ 301 Глава 4.

Дифференциальное исчисление функций одной переменной .................... 263 Курс математического анализа, ч. 1, кн. 1 303 304 306 Лейбница . ... 309 3.4. Теоремы об операциях над функциями классов Р~ и С ...... 312 315 4.1. Точки экстремума функции. Теорема Ферма................. 316 4.2. Теоремы Коши и Лагранжа о среднем значении.............. 319 4.3. Теорема Парбу о производной . ..

324 4.4. Критерий монотонности функции . 326 ... 329 3 5. Правила Лопиталя раскрытия неопределенностей...... 336 5.1. Неопределенность типа — . О О ' 5.2. Неопределенность типа ~~ 36. Формула Тейлора....... 336 341 .. 344 345 350 354 358 уравнений . 361 3 7. Точки экстремума дифференцируемой функции........ 369 370 374 исчисления. .. 406 407 417 ..423 .433 Указатель обозначений Предметный указатель 443 445 3 3. Производные высших порядков....................... 3.1. Определение производной высшего порядка................ 3.2. Производные высших порядков некоторых элементарных функций. 3.3. Теорема о произведении функций классов З~ и С .

Формула 3 4. Теоремы о среднем значении 4.5. Ослабленный критерий монотонности функции .. 6.1. Некоторые сведения о долиномах одной переменной 6.2. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано ...... 6.3. Оценки остаточного члена формулы Тейлора...............

6.4. Новое доказательство формулы Лейбница.................. 6.5. Метод Ньютона (метод касательных) приближенного решения 7.1. Необходимые условия экстремума. 7.2. Лостаточные условия экстремума. 7.3. Лостаточные условия экстремума для функции, п-кратно дифференцируемой в точке. 3 8. Выпуклые функции 8.1. Определение выпуклой функции. Неравенство Йенсена...... 8.2. Критерий выпуклости функции 8.3. Основные неравенства анализа . 8.4.