1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (Кудрявцев 2003 Сборник задач по математическому анализу т3), страница 9

Йбл; 46 Гл. Д Дифференциальное исчисление функций нескольких перельенньт 18) объединение открытых горизонтальных полуполос х > О, 2кй < у < (2й+ 1)к, й Е Е; 19) объединение концентрических открытых колец с центром в точке (0,0)., пересекающих полуось х > 0 по интервалам (чс2гн У2гь+1), и = 0,1.,2, ...; 20) объединение открытых углов, ограниченных лучами у = йх, х>0 и у=(21+1)х/2, х>0, йЕ7; 21) замкнутая горизонтальная полоса, ограниченная прпмыми у = = — 1 и у=1; 22) замкнутая полоса, ограниченная прнмыми х+ у = х1; 23) объединение двух тупых углов, ограниченных прямыми д = 0 и у = — 2х, включая границу углов, за исключением точки (О, :0); 24) открытая правая полуплоскость х > О.

9. 1) а) Нет, б) да, в) нет, г) нет, д) нет, е) нет; 2) а) да, б) нет, в) да, г) нет, д) да, е) нет; 3) а) нет, б) да, в) да, г) да, д) нет, е) да; 4) а) нет, б) нет, в) нет, г) нет, д) нет, е) нет; 5) а) да, б) нет, в) да, г) нет, .д) нет, е) нет; 6) а) нет, б) нет, в) нет, г) нет, д) нет, е) нет; 7) а) да, б) нет, в) да, г) пет, д) да, е) нет.

10. 1) [ — 4;+со); 2) [О;3/2); 3) [1п3;+со): 4) ( — оо; — 2) ьо [2, +со); 5) [7/4;+ос); 6) [ — 1:9); 7) [ — 15;15), 8) (О,"г). 11. 1) [ — 5; — 2); 2) [1/4;1]: 3) [ — 50;150[; 4) [1п(24/5);1п12); 5) [4'2;+со). 12. 1) Открытое полупространство, ограниченное плоскостью, проходящей через точки (1;0;0), (О; 1;0), (О;0;1), и содержащее точку (О;0;0); 2) замкнутый выпуклый восьмигранник с вершинами в точках (~1;0;0), (О; х1;0), (0,0; ~1); 3) открытый двугранный угол, ограниченный плоскостями х = 0 и з = 0 и содержащий точку (1; 0; 1); 4) открытый шар с центром в точке (О; 0; 0) с радиусом, равным 1; 5) замкнутая область, содержащая точку (О: 0; 0), ограниченная цилиндрической поверхностью: направляющая цилиндрической поверхности окружность радиуса 1 с центром в точке (О;0;0), лежащая в плоскости у = 0; образующая — прямая, параллельная оси 9, проходящая через точку (1; 0; 0); 6) замкнутая область, ограниченная двумя цилиндрическими поверхностями: направляющие цилиндрических поверхностей окружности радиусов 2 и 3 с центром в точке (О;0;0), лежащие в плоскости х = О, образующие прямые, параллельные оси х и проходящие через точки (О; 2; 0), (О; 3; 0); 7) внутренность эллипсоида с центром в точке (О;0;0) с осями, принадлежащими осям координат, и с полуосями, соответственно ух.

Функции нескольких переменных. Предел. Отображения 47 равными 1, 2, 3; 8) внутренность параболоида вращении, получающегося при вращении параболы х = хз, у = 0 вокруг оси х; 9) внутренность двуполостного гиперболоида с центром в точке (О; 0; 0), главные плоскости гиперболоида совпадают с осями координат, полуоси равны соответственно 1, хУ2, ~/3; 10) йз; 11) множество точек, расположенных внутри сферы радиуса 4 с центром в точке (О; 0; 0) и на атой сфере, но вне сферы радиуса 2 с центром в точке (О; 0; 0); 12) сфера радиуса 1 с центром в точке (О; 0; 0): 13) открытая пирамида с вершинами в точках (4;1;0), (О;1;0), (О;5;0), (О;1;4); 14) замкнутая пирамида с вершинами в точках (О;0; 0), (1;0;0), (О; 1; 0), (1; 0; 1), (О; 1; 1/3); 15) множество точек, расположенных внутри сферы радиуса 1 с центром в точке (О;0;0) и внутри конической поверхности, направляющей которой является окружность ха + уз = 1, х = 1, а вершина находится в точке (О; 0; 0); 16) множество точек, расположенных вне сферы радиуса 2 с центром в точке (О; 0; 0) и внутри цилиндрической поверхности, направляющая которой окружность радиуса 2 с центром в точке (О: 0; 0), лежащая в плоскости х = О, а образующая пряман, параллельная оси х и проходящая через точку (2: 0: 0); 17) множество точек, расположенных внутри сферы радиуса 2 с центром в точке (О; 0; 2) и внутри параболоида вращения, образованного врашением параболы х = 4 — хз, у = 0 вокруг оси ш 18) замкнутая ограниченная область, заключенная между конической поверхностью (вершина в точке (О;0;1), направляюшап-- окружность радиуса 1 с центром в точке ~0;0;0), лежащая в плоскости х = 0) и гиперболическим параболоидом х = ху; 19) замкнутая область, ограниченная сферами с радиусами 1 и ъ'3 и с центрами в точке»0; 0; 0); 20) внутренность конуса (вершина в точке (О;0; 1), направляющан окружность радиуса 1 с центром в точке (О;0;0), лежащая в плоскости х = 0) вместе с границей, за исключением вершины конуса: 21) замкнутая ограниченная область, расположенная между сферой (центр в точке (О; 0; 0), радиус 2) и цилиндром (направляюшая цилиндра окружность радиуса у'3 с центром в точке (О;0;0), лежащая в плоскости х = 0; образующая прямая, параллельная оси х и проходящая через точку (тсЗ; 0; 0) ).

13. (1; — 1; — 2), (1, — 3; 2), ( — 1;1;0), (-1: 3; -4), (»; — 1; 0), 1»; -3; 4), 1-1; 1; 2), (- »: 3; -2). 48 Гл. Д Дифференциальное исчисление функций нескольких переменньт 14. 1) а) Нет, б) да, в) да, г) да, д) нет, е) нет; 2) а) да, б) нет, в) да, г) нет, д) да, е) да; 3) а) нет, б) да, в) нет, г) пет, д) пет, о) нет; 4) а) да, б) нет, в) да, г) нет, д) нет, е) нет; 5) а) да, б) нет, в) пег, г) нет, д) нет, е) нет; 6) а) нет, б) да, в) да, .г) да, д) нет, е) нет; 7) а) пет, б) да, в) нет, г) нет, д) нет, е) нет: 8) а) нет, б) нет, в) нет, г) нет, д) нет, е) нет; 9) а) нет, б) да, в) нет, г) нет, д) нет, е) нет; 10) а) нет, б) да, в) да, г) да, д) нет, е) да.

15. 1) [ — 100;+ж); 2) [ — со;+ос); 3) [5:,+ос); 4) [1;+со); 5) [1п27;+со). 16. 1) [12;+со); 2) [О; 1/2); 3) [10:+со); 4) [ — со;к/4 — [1п2)/2). 17. 1) 14~, за исключением точек 3-мерной сферы [см. 1.22, 3)) радиуса 1 с центром в точке [О; 0; 0; 0), множество значений: [ — со; — Ци [О;+ ); 2) замкнутый параллелепипед с центром в точке [О;0;0:0) и с ребрами, параллельными осям координат и равными 2, 4, 6, 8; множество значений: [О; 10); 3) замкнутый шар радиуса 3 с центром в точке (О; 0; — 1; — 1), множество значений; [О; 3); 4) внутренность эллипсоида с центром в точке [О; 0; 0: 0), с осями, принадлежащими осям координат, и с полуосями, соответственно равными 1, 2, 3, 4, множество значений; ( — оо;2!п12).

18. 1) Замкнутый и-мерный куб с центром в начале координат с ребрами, параллельными осям координат и равными 2; 2) замкнутый симплекс в пространстве Яи (см. 1.79) с вершинами в точках [О;0:..40), [1;0; ...,0), [О;1; ..40), ..., [О;0;,.41); 3) открытый шар радиуса 1 с центром в точке [1; 2; ...; и); 4) Йо, за исключением начала координат; 5) если а > 1, то замкнутая внешность сферы радиуса 1 с центром в начале координат; если 0 < а < 1, то замкнутый шар радиуса 1 с центром в начале координат, за исключением центра шара; 6) замкнутый и-мерный куб с центром в точке [1; '2; ...; п) с ребрами, параллельнылчи осям координат и равными 2.

19. 1) Прямая, проходящая через точки (О; с) и [1; 1+ с): 2) прямая, проходящая через точки [О сз) и [1;1+ сз), если с > 0; О, если с < 0; 3) окружность радиуса 1/чгс с центром в точке [О;0), если с > 0; и, если с<0; 4) окружность радиуса ./Т вЂ” е" с центром в точке [О; 0), если с < < 0:, точка [О;0), если с = 0; О, если с > 0; 5) эллипс [центр в точке [О:0), фокусы на оси х, полуоси равны ~'36 — сз/2 и зЛб — сз/3), если с е [О;6]; точка [О:0), если с = 6; ув. Функции нескольких нерешенных. Предел.

Отображения 49 о, если с к ~0;6); 6) гипербола (центр в точке (О; 0), фокусы на оси х, полуоси равны 1/с),если с>0: И, если с<0; 7) ветви параболы дз = х/сз (если с > О, то у > 0: если с < О, то д < 0), ось д без точки (О;0), если с = 0; 8) дуга параболы дз = сд1х — сз/4), х ( сз/2, если с > 0; точка (О;0), если с = 0; а, если с < 0; 9) окружность радиуса 2т/сД1 — с! с центром в точке ц1+ с)/(1— — с);0), если с > О, с ~ 1; ось д, если с = 1; точка (1;0), если с = 0; ~, если с<0; 10) окружность радиуса 1Д аЬ с! с центром в точке ( — сЖ с; 0), если с д= 0; ось д, если с= 0; 11) кривая д = (1п с)/1п х, если с > О, с ~ 1; луч у = О, х > О, и прямая х = 1, если с = 1; Э, .если с < 0; 12) окружность радиуса 1Д 1пс~ с центром в точке (1/1пс; 0), за исключением точки (О; 0), если с > О, с ~ 1; прямая х = О, за исключением точки (О;0), если с = 1; О, если с < 0; 13) синусоида д = сз + сйпх, если с > 0; И, осли с < 0; 14) дуги синусоиды х = ее зшд, у Е (2к1; 2к)с+ к), к Е У; 15) прямая д = (зшс)х, за исключением точки (О;0), если ~с~ < < .г/2; о, если Ц > к/2: 16) окружность радиуса 1/~а1пс( с центром в точке (О;1/18с), кроме точек 1х1; 0), если )с~ < я/2, с ф 0; ось х, кроме точек х = х1, если с = 0; И, если ~с( > к/2, 17) граница ромба с вершинами в точках ((1 — сз)/2; 0), (О;1 — сз), Исз — Ц/2;0)., (О;сз — 1), если с е ~0;1); точка (О;0), если с = 1; ~, если с К ~0;Ц; 18) объединение двух перпендикулярных лучей с вершиной в точке ( — с/2;с/2), расположенных но втором квадранте, и двух перпендикулярных лучей с вершиной в точке (с/2, :— с/2), расположенных в четвертом квадранте, если с > 0; объединение первого и третьего квадрантов вместе с границей, если с = 0; О, если с < 0; 19) два луча, исходящие из точки (с;с) в напранлении координатных осей; 20) граница квадрата с вершинами в четырех точках (хс; хс), если с > 0; точка (О;0), если с = 0; ш, если с < 0; 21) объединение двух перпендикулярных лучей, исходящих из точки (с;сз) и лежащих н первом квадранте, и двух перпендикулярных лучей, исходящих из точки ( — с;сз) и лежащих во втором кнадранте, если с > 0; объединение прямой у = 0 и луча х = О, д>0, .если с=О; прямая у=с, если с<0; 22) прямые х = Ы, д = я1, й,1 6 л, если с = 0; квадраты яй < < х < я11+ 1), к1 < д < к~1+ 1), 131 6 х, 1+1 четное, если с = 1; ~, если с ф О, с р'= 1.

20. 1) Плоскость х -~- 2д+ Зз = с; 4 Под ред. Л.д.нудрявиевв, д.З ЛО Гл. й Дифференциальное исчисление функций нескольких перелченньт 2) плоскость х+ 2у+ Зе = 1пс, если с > 0; о, если с < 0; е 3) эллипсоид — + У + — = 1, если с > О, точка (О;0;0), есс с с/4 лис=О; И,еслис<0; ч) ЬР е у чть'чь "ь ' (-1;0|ы, < — 1 или с > 0: точка ( — 1;0:0), если с = — 1; о, если — 1 < с < 0; 5) сфера радиуса ее|а с центром в точке (О; 0; 0); 6) однополостный гиперболоид хе/с+уз/с — еа/с = 1, если с > > 0; двуполостный гиперболоид ха/( — с) + уз/( — с) — еа/( — с) = — 1, если с < 0; конус х" + у' = се, если с= 0; 7) двуполостный гиперболоид ха/е' -|- уз/е' — еа/е' = — 1; 8) эллиптический цилиндр с осью у = х, е = 0 и с направляющей у = — х, 4х~+ за = с, если с> 0; прямая у =х, е = О, если с=О; йч, если с<0; 9) гиперболический цилиндр е = а|/(сх — 1), за исключением оси у, если с ф 0; плоскость х + = О, за исключениеы оси у, если с=О; 10) плоскость от+ су+ (с — 1) = с, за исключением прямой х+ +у=1, с=О; 11) сфера радиуса 1Дс~ с центром в точке (О;0;1/с), за исключением точки (О; 0; 0), если с ф 0; плоскость е = О, за исключением точки (О; 0; 0), если с = 0; 12) эллиптический параболоид е = (с/2) (ха + уа), за исключением вершины параболоида, если с ф 0; плоскость е = О, за исключением точки (О; 0; 0), если с = 0; 13) сфера радиуса гй (с/2) с центром в точке (О;0: 0), если с > 0; точка (О;0;0), осли с = 0', И, если с < 0:, 14) васек|ь точек (х1;*1;*1), если с = 0; а, если с ф 0; 15) эллипсоид, + „= 1, если с > 2; отрезок [ — 1; 1) оси т, если с = 2; о, если с < 2; 16) поверхность октаэдра с верп|инами в точках (х(1 — е');0;0), (О: х(1 — е'); 0), (О; 0; х(1 — е')), если с < 0; точка (О; 0; 0), если с = 0; й|, если с > 0; 17) множество точек, расположенных между сферами радиусов т/2тй и х/2тй+х с центром в точке (О;0;0), если с = 1; сферы радиуса ч/т'к с центром в точке (О; 0; 0), если с = О, 1 = О, 1, 2, ...; йч, если сфО, сф1; 18) конус (хз + уз)/шпа с = ез, за исключением вершины конуса, если 0 < с < к/2; ось е, за исключением точки (О; 0; 0), если с = 0; О, если с ф (О;.т/2].