1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (Кудрявцев 2003 Сборник задач по математическому анализу т3), страница 8

70. Доказать, что если функция г"(х;у) в некоторой области С непрерывна по х и равномерно относительно х непрерывна по у, то Г(х; у) непрерывна в С. 71. Доказать, что если функция г"(х;у) в области С непрерывна по х, а по у удовлетворяет условию Лапшина, т. е. '01(х;Р) — У(х;д )~ < В~у — ун~, Е сонат, то 1(х: у) непрерывна в С. 72. Доказать, что если функция Г'(х:у), (ьс;у) Е Е, непрерывна по х, а по у непрерывна и монотонна, то г'(х;у), (х; у) Е Е, непре- рывна. 73.

Пусть функции иь — †.(1(Х1,'Хх', ....',Хп)~ ...,ит = (т(Х1, 'Хз, '..., 'Хо) т < И, НЕПрЕрЫВНЫ В ТОЧКЕ (ХО; Х02; ...; ХО), а фуНКцИя Е(иь, их,, ит) НЕПрЕ- рывна в точке (11(Х1~Х2~" Хо)~" ~ 1т(Х1,Х2, ". Хп)). Доказать, что композиция и = ЕУ1 (Х1, Х2, ..., .Х ):, ...; у (Х1, Х21 .. 4 х и непрерывна в точке (хо; хо; ...; х„). 74. Пусть функция г"(х) непрерывна на линейно связном множестве Е (01, п. 2), и пусть Г(а) = А, г(6) = В, А < В, а,б 6 Е.

Доказать, что для любого числа С Е [А; В) существует точка с 6 Е такая, что 1(с) = С. 75. Дана функция 2(Х) х +тз+ +хь хьз 1 ° ° х 1 < с < 42. Функции нескольких нереленнжх. Предел. Отображения 41 Доказать, что на сфере х~ + хз ~+ ... + х"„ = 1 суп1ествует такая точка с, что ?(с) = 1/.г. 76. Пусть функция 1 непрерывна и принимает как положительные, так и отрицательные значения на открытом множестве Е с й'. Явллетсн ли множество точек х 6 Е, в которых Дх) ф 0: 1) открытым в й" множеством: 2) областью'? 77. Исследовать на равномерную непрерывность функцию ?(х; д) на множестве Х: 1) 1 = 2х+ Зд+ 4, Х = йз: 2) 1 = 1п(ха+де), Х =(ха+де > Ц; 3) ?=а1п ь ь .

Х=1сХз+дь<Ц; хе+де 1' 4) ? = агса1п(д,?х), Х = ~!д! < х). 78. Доказать, что если функция 1 определена в области С с й" и 1пп ' ' = О, .то 1 - постоянная функция. б — ь-со о 79. Доказать, что длл равномерной непрерывности функции 1(х), х 6 Е С й", на множестве Х С Е необходимо и достаточно, чтобы 11ьп х(о;1;Х) = О. а- ео 80. Найти модуль непрерывности и исследовать на равномерную непрерывность функцию 1 на ее области определения: 1) ? = пх + Ьд + с; 2) ~ = ус?хз + дз; 3) 1 = а1п; 4) 1 = 1 1 хе -Ь уе ' хь + де ' 81.

Найти колебание функции 1 на множестве Х: Ц У = х+2д+3, Х = Щ+ ~д~ < Ц; 2) ~=ха+да — 2х+4д — 1, Х=~хх+дз=Ц; 3) ?' = „, а) Х = й, б) Х = 1хз + д~ > 2); 4) лс 1д з+ д+„з 2 „+2) Х йг 5) ? = х+ !х — д!, Х = ~!х/ < 1, /д! < 2);. 6) 1 = (х+ д)е'", Х = 10 < х+ д < Ц; 7) ? = у?1 — хе+ т??4 4— де+ к/9 — х'-', Х область определения функции; 8) ? = 144(1 — х~~) — 36хз~ — 16х~ ~— 9хл, Х область определения функции. 82.

Доказать, что если функция 1 непрерывна в пространстве й", то при любом неотрицательном а множество Е = 1х 6 й": ьо11: йн) > > е) замкнуто. 83. Найти образ окружности хз + да = 1 при отображении: 1) и = 2х, а = Зд; 2) и = ах+ ао, и = Ьд+ Ьо. 42 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций нескольких перененньт 84. Найти образ прямой х = а при отображении: 1) и = у, у = ху; 2) и = х соз у, ю = х айп у. 85.

Найти образ квадрата 0 < х < 1, О < у < 1 при отображении и=х — ху, ь=ху. 86. Найти образ области С с й, заданной неравенствами ху<2, ху>1, у<х+1, д>х — 1, при отображении и = хд, о = х — у. 87. 1) Найти образ окружности ха + ух = 2х при отображении У х. + у- хе+ у- доказать, что образом каждой прямой и каждой окружности при этом отображении является либо окружность, либо прнмая; 2) найти образ окружности хх + уз = 4 при отображении х 4-У вЂ” 1 2У (х -~- 1)е ж уе ' (х -~- 1)е -~- уе 88. Найти образы: 1) прямой х = а; 2) прямой у = Ь; 3) области хо+ у < 1, х > О, у > 0; при отображении и = х' — дз, ю = 2ху.

89. Найти образы: 1) окружностей: а) хо + уз = 1, б) хз + ух = 1/4, в) хх + уо = 4; 2) кривой у = ~х~, у ф 0; при отображении и = — ~1+ 2 1 хе 4- уе / ' 90. Найти образы: 1) прямой х = а; 2) отрезка х = а, ~у~ <.т; 3) прямой у = Ь, ~Ь~ < к/2; 4) прямой у = ах+ Ь, а ф 0; при отображении и = с* сазу, о = ех айву. 91. Найти образы: 1) прямой х = а; 2) прямой у = Ь; 3) полуполосы О<х<х, у>О; 4) полосы О<к<к; при отображении и = соахс1ту, о = ашха1чд. 92. Найти образ пространства й при отображении: 1) и = е1пх, о = соя 2х; 2) и = ах+ ао е = Ьх+ Ьо, ю = ох+ со.

з 93. Найти образ пространства й при отображении: 1) и = у + 2, о = Зх + 4у + 5, чо = бх + 7у + 8; 2) и = соех саад, и = соя хашу, ш = ашх; 3) и = (2+ саад) соах, о = 12+ сазу) ешх, ю = ашу. ух. Функции нескольких переменных. Предел. Отображения 1З 94. Найти образ прямой х = а при отображении и = х сов д, и = хзш р, и = у.

95. Найти образ пространства Й при отобраясении хо -Ь уе + 1 ' хе + уе + 1 хе + уе + 1 Доказать, что при этом отображении образом каждой окруекности является окружность. 96. Найти образ куба О < х < 1, О < д < 1, О < х < 1 при отображении и = х(1 — р), и = хд(1 — х), ш = хдх.

9Т. Доказать, что отображение 1: Е -ь Й, Е С Й", непрерывно в точке х1о1 Е Е тогда и только тогда, когда для любой окрестности Н(и1о1) точки и1о1 = 1(х1о1) существует такая окрестность Г(х1о1) точки х1о1, что Г(Ос(х®)) С Г(х1о1). 98. Доказать, что отображение У = (Л; Ь; ..ц дт); Š— ь Й непрерывно в точке х = (хы хз,, хя) Е Е С Й" тогда и только тогда, когДа в этой точке непРеРывны все кооРДинатные фУнкЦии ~ы дл, ..., Гт. 99. Пусть 1 отображение пространства Й" в пространство Й'". Доказать, что для непрерывности отображения 1 необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из условий; 1) прообраз каждого замкнутого множества есть замкнутое множество; 2) прообраз каждого открытого в Й'" множества есть множество, открытое в Й".

100. Доказать, что осли при отображении г' пространства Й" в пространство Йт прообраз каждого открытого шара является открытым в Й" множеством, то отображение 1 непрерывно. 101. Доказать, что если отображение г' непрерывно на ограниченном замкнутом множестве, то оно равномерно непрерывно на этом мноькестве. 102. Пусть отображение г" проектирование точек плоскости (х; д) на прямую д = О. Доказать, что: 1) г" равномерно непрерывно на любом плоском множестве Е; 2) если Е открытое множество, то г'(Е) открытое на прямой д = О множество; 3) если Е - - замкнутое множество, то 1(Е) не обязательно замкнуто.

103. Доказать, что при непрерывном отображении: 1) образ каждого ограниченного замкнутого множества ограничен и замкнут, 2) образ каждого связного множества есть связное множество: 44 Гл. Е Дифференциальное искьсление функций нескольких переменных 3) образ каждого линейно связного множества есть множество линейно связное. 104.

Пусть 1 отображение множества Е С ??и в пространство Е"', Х с Е, У' с ДЕ). Верны ли равенства: 1) Г' ь®Х)) = Х: 2) Г'11 ~(??)) =??2 105. Доказать, что если 1 --- взаимно однозначное отображение множества Е на множество Г?Е), то для любой последовательности множеств Хь С Е, й Е И, верны равенства: Ц ф()) Х,) = 0??Х,); 2) ф()) Хь) = П аХ,). Верны ли эти равенства, если ? не является взаимно однозначным отображением' ? 106.

Пусть 1 взаимно однозначное непрерывное отображение множества Е С??" па множество?? С??"". Верны ли следующие утверждения; 1) если Е не имеет изолированных точек, то и ?? не имеет изолированных точек: 2) если?? не имеет изолированных точек, то и Е не имеет изолированных точек? 107. Построить взаимно однозначное непрерывное отображение Г", для которого обратное отображение не является непрерывным. 108.

Доказать, что если Г" взаимно однозначное непрерывное отображение ограниченного замкнутого множества Е с ??" на множество ?? С ??, то обратное отображение 1 ' непрерывно на ??, т. е. 1 являетсн гомеоморфизмом. и 109. Доказать, что?и — 1)-мерпая сфера ~х~ = 1 с выброщопг=-! ной точкой гомеоморфна пространству ??" 110. Построить отображение отрезка О < х < 1 на квадрат О < <х<1, 0<у<1.

111. Построить непрерывное отображение отрезка О < х < 1 на квадрат О < х < 1, 0 < у < 1 ?кривая Пеоне). 112. Доказать, что не существует взаимно однозначного непрерывного отображения отрезка О < х < 1на квадрат О < х < 1, О < < у < 1, т. е.

что отрсзок и квадрат нс гомсоморфны. ОТВЕТЫ 1. е = (4уз — хз)?16, 15,?16. ь.е =иьън' — ь'ь д ° =ьцьь ь,Д "7Т:Ф. 3. о = ((8у ?у)/(Зь?к)) 18 х сове(х/2). ух. Функции нескольких переменных. Предел. Отображения 4В = — ьь. — )* — ь), ) —, б) . у т +У 2 3Л5 4 4 1 5. е = — 1х + д + х)(х + у — 2Иу+ 2 — х)12 + х — у). 4 ь О= -)е +ь)~Л гь))* — р)т 3 2 1 ., з 7. е = — х41х2 + тз + х4) — х) х 3 8. 1) Замкнутый угол, ограниченный лучами у = х, х > 0 и у = =-х, х>0; 2) замкнутый круг с центром в точке 10;0) и с радиусом, равным 1; 3), 4) внешность окружности с центром в точке 10; 0) и с радиусом, равным 1; 5) внешность параболы с вершиной в точке 12;0) и с фокусом в точке 13:0): 6) внешность эллипса с центром в точке 11) 0), с фокусами, расположенными на оси х, с полуосями, равными 2 и 1; 7) внутренность гиперболы с центром в точке 10;0) с фокусами на оси х, действительная полуось равна 4, мнимая — 1; 8) область, ограниченная окружностями с центрами в точках 11/2; 0) и 11, 0) и с радиусами, соответственно равными 1))2 и 1; 9) замкнутый квадрат с вершинами в точках 11;0), 10; 1), 1 — 1;0), 10; — Ц; 10) к~; 11) открытый треугольник с вершинами в точках 10;0), 11,:0), 10; 1); 12) объединение замкнутой левой полуплоскости х < 0 и прямой х=2; 13) если а > 1, то замкнутый круг с центром в точке 10;0) и с радиусом, равным 1; если 0 < а < 1, то концентрическое кольцо с центром в точке 10;0), ограниченное окружностями с радиусами 1 и ь)2, причел4 большая окружность не входит в множество существования функции, а меньшан входит; 14) если а > О, то замкнутое концентрическое кольцо с центром в точке 10;О), образованное окружностями с радиусами /а и ч)2а; если а = О, то точка 10, :0); если а < О, то пустое множество; 15) открытый треугольник с вершинами в точках 10; 3), 13; 15))2), 13; — 6); 16) замкнутый четырехугольник с вершинами в точках 11:2), (2; 1), (35)) 6; 1), (1; 36)) 7); 17) объединение замкнутых вертикальных полуполос 2яй < х < (к12Й+1), у>0 и(2Й вЂ” 1)л(х(2кй, у(0.