1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (Кудрявцев 2003 Сборник задач по математическому анализу т3), страница 5

Первое определение предела функции (определение Ге й не). Пусть область определения функции Дх) содержит окрестность 11"(х") точки х" Е Й', кроме, быть может, самой точки хе. Число а называют пределом функции Д(х) в точке хо, если для любой последовательности точек хбч1 6 11к(х"), х1 1 ~ хе, сходящейся к хо, числовая последовательность Д(х1"О) сходится к а. Для того чтобы доказать, что функция 1(х) не илчеет предела в точке хо, достаточно указать две последовательности точек: х1 1 6 6 11"(х ) и у1 1 6 П"(х ), х1"О ~ х, у1 1 ~ х, сходящиеся к х, такие, что 1пп 1(х1 1) ф 1пп г"(у1 1). ю-чж ш-чу Второе определение предела функции (определение Коши). Число а называют пределом функции 1(х) в точке хе 6 П", если для каждого числа в > О существует такое число б > О, что для всех х, удовлетворяющих условию О < р(х; хо) < б, выполняется неравенство 1Д(х) — а/ < в.

24 Гл. д дифференциальное исчисление функций нескольких перемеНных пишут (3) 1пп «(х) = а или 1цп г"(х) = а. х-охо л1хьо~1 — ьо Понятие предела функции в точке обобщаетсн на тот случай, когда функция рассматривается не на всей окрестности точки, а только на некотором ее подмножестве. Определение Гейне. Число а называют пределом функции ф(х), х е Е с й", по множеству Х с Е в точке хе, являю- шейся предельной точкой множества Х, если для любой последовательности точек х««е Х, х«д ф х", сходящейся к хс, числовая последовательность ф(х1т1) сходится к а. Для того чтобы доказать, что функция у(х), х б Е С й", не имеет предела по множеству Х в точке хе, достаточно указать две последовательности х««Е Х и у««Е Х, х«1 ф- хс, у««ф хо, сходящиеся к точке хс, такие, что «(х«'п1) л 1««п ~(у1т«) т — ьто т — «~ Определение Коши. Число а называют пределол«функции ф(х), х Е Е С й", по множеству Х С Е в точке х", если для каждого числа е > О существует такое число д > О, что длн всех х б Х, удовлетворяющих условию О < р(х;хе) < й, выполняется неравенство 'л((х) — а~ < е.

Если число а являетсн пределом функции 1(х), х Е Е С й', по л«ножеству Х с Е в точке хо, то пишут 1пп 1(х) = а. (4) л — «х сен В тех случаях, когда из контекста бывает ясно, по какому множеству берется предел, указание т С Х часто опускают и пишут 1ш««(х) = а. , о Если множество Х содержит окрестность точки хо, кроме, быть может, самой точки х", то предел функции 1(х) по множеству Х в точке хс совпадает с обычным пределом функции «(х) в этой точке. Если множество Х состоит из точек некоторой непрерывной кривой Г (з1, (10)), проходящей через точку хо, то 1пп «(х) называют х — «х сех пределол«функции «(х), х Е Е С й", по кривой Г в точке хе. ПРедел фУнкции и = ф(х; У) двУх пеРеменных в точке (хс«.до) обы «но обозна «ают 1ш«у(х;у) или 1пп и,. х ,.о ' «-охо Р оуо у-оуо Аналогично случаю фувкций одного переменного (см. [1, з 9, п. 3, 4)) для функций нескольких переменных 1(х), х Е й", п > 1, вводятся понятия предела функции при х — ~ со и бесконечного предела.

ук. Функции нескольких переменных. Предел. Отображения Зб Для функций нескольких переменных справедливы теоремы о пределе суммы (разности), произведения и частного функций, аналогичные соответствуюшим теоремам для функций одного переменного (см. (1, ~ 9, и. 2)). Длл функций и > 1 переменных можно рассматривать и! так называемых повторных пределов. В частности, в случае функции двух переменных и = 1(х; у) можно рассматривать два повторных предела в точке (хо'уо) 1пп ( 11ш г'(х;у)) и 1пп ( 1пп г"(х;у)). о'-око у — оуо и — 'Ро л — оло Например, для функции и = (х — у)/(х+ у) имеем 11ш(11ш ' )=1 и 1пп(11ш '1= — 1.

к †'и — ьо х '-у/ и — ьо 'ь о — ьо х -~- у / Отсюда следует, что изменять порядок следования предельных переходов по разным переменным, вообше говоря, нельзя. Связь предела функции в точке с ее повторными пределами в той же точке иллюстрируют задачи 37 — 39. 3. Непрерывность и равномерная непрерывность.

Функцию 7(х), определенную в окрестности точки х Е Й, называют непрерывной в точке хо, если л(, О) ~со Теорелоа Кантора. Функция, непрерывная на ограниченном замкнутом множестве, равномерно непрерывна на этом множестве. Пусть д произвольное положительное число. Модулем нвпре; рывности функции г(х), х Е Е С Й"', на множестве т. С Е называют ы(6; д"; Х) = апр (((х) — 7(х')). р1жх'1<б жл'е Х В тех случаях, когда ясно, о каком множестве Х и о какой функции идет речь, модуль непрерывности оо(6; 7"; Х) обозначают ио(б). Значение модуля непрерывности оо(б; 7'; Х) функции Г'(х), х Е Е С с Й', при 3 = Р, где Р -- диаметр множества Х с Е, называют колебанием функции 7" на множестве Х и обозначают оо(Г;Х).

Из этого определения следует, что У;Х) = Ч Фх) — У(х')). (7) жс' ех Если функции 7"(х) и д(х) непрерывны в точке хо Е Й", то функции с7(х) (с постоянная), ((х) + ((х), ((х) . д(х), а если д(хо) ~ ф О, то и — также непрерывны в точке х . У(х) .о д(х) Функцию Г'(х) называют непрерывной в области С С Й", если она непрерывна в каждой точке области С. 26 Гл. Е Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Пусть функция г'(х) определена в окрестности точки хо Е Я", кроме, быть моокет, самой точки хе.

Точку хе называют точкой раз- рыва функции Г" (х) в следующих случаях: 1) функция Г" (х) пе определена в точке хе; 2) функция Г" (х) определена в точке хе, но: а) 1пп Г'(х) не существует; ь о б) 11т Г(з:) существует, но не равен Г"(хе). охо Если 1цп Г" (х) существует, но или Г" (х) не определена в точке хо, о .о или 11пь Г(х) ф Г"(х ), то точку хе называют точкой устраннмого х-охо разрыва. Понятие непрерывности функции в точке обобщается на тот слу- чай, когда функция рассматриваетсн не на всей окрестности точки, а только на некотором ее подмножестве.

Функцию Г" (х), определенную на множестве Е с Я", называют непрерывной по множеству х С Е в точке хв 6 Е, если 1пп ф(х) = ф(х'). х -о х хСХ В случае, когда Х = Е, говорят о непрерывности в точке по мно- жеству (области) определения функции.

Например, функция двух переменных ) у 61п(1/х), если хг + уз ф О, О, если хо+уз = О, не является непрерывной в точке (О; О), так как не определена в ее окрестности, но она является в этой точке непрерывной по множеству определения функции. Непрерывной по множеству Е в точке хе считается фунь- ция Г'(х), х Е Е С Я"', если хо изолированная точка множества Е.

Всякая элементарная функция п переменных (см. п. 1) непрерыв- на в каждой точке, в которой она определена. Функцию г(х)о х е Е с Я" о называют непрерывной на множест- ве Х с Е, если она непрерывна по множеству Х в каждой его точке. Функцию Г" (х), х Е Е С Я"', называют равномерно непрерывной на. множестве Х с Е, если для каждого числа е > О существует такое число б > О, что длн любых х, х' е Х, удовлетворяющих условию р(х:х') ( б, верно неравенство ~У(х) з (х )( С е.

4. Отображения. Пусть дано множество Е С Я", и пусть каж- дой точке х Е Е поставлена в соответствие точка и Е Я'"; тогда го- ворят, что на множестве Е определено отображение или функция со значениями в пространстве Я б2. Функции нескольких переменных. Предел.

Отображекия 27 Правила, устанавливаюшее соответствие, обозначакзт некоторой буквой, например г", и пишут ЕьЙ, ЕСЙ", или и=у(х), хсЕСЯ", исЙ . (8) В частном случае т = 1, т. е. когда и е Я., отображение г" представляет собой числовую функцию п переменных. В общем случае задание (9) равносильно заданию т функций и переменных иг = Л(ХОХ2;. ~Хп), 1 = 1,2,...,1П. (10) функции (10) называют координатными функциями отображе- ниЯ Г" и пишУт 1 = 1®;Л; ...; Го,). Если пРи отобРажении 1 точке х Е Й ставитсн в соответствие точка и С Й .

то точку и называют образом точки х при отображении г' или значением функции 1 в точке х. Множество всех образов при отображении 1(х), х Е Е, называют образом множества Е и обозначают 1(Е). Если точка и я Я является значением функции 1, то множество всех точек х Е Е С Й" таких, что 1(х) = и, называют прообразом точки и и обозначают 1(и). Через 1 1(Г) обозначают объединение множеств всех прообразов точек множества Г С 1(Е). Отображение Дх), х С Е С Й', называют непрерььвным в точке х~о~ Е Е, если для каждого числа г > 0 существует такое число б > О, что длн всех точек х С Е, удовлетворяющих условию р(х:х~ ~) < б, верно неравенство р(Д(х): ((хйй)) < г. Отображение 1(х), х Е Е С Й", называют непрерывным на множестое Х С Е, если оно непрерывно в каждой точке множества Х.

Отображение Г"(х), х Е Е С Й", называют равномерно непрерывным на множестве Х С Е, если для каждого числа г > 0 существует такое число б > О, что для любых х, х' 6 Х, удовлетворяющих условию р(х; х') < б, верно неравенство р(У(х); У(х')) < (11) Отображение 1: Š— ь Й'", Е С Й", цазыва|от взаимно однозначным, если разным точкам множества Е соответствуют при этом отображении разные точки пространства Я'", т. е.

если из равенства Д(х) = г"(х') длн х,х' е Е следует равенство х = х'. В этом случае говорят, что множество Е взаимно однозначно отображается на лзнозкество Д(Е). Если Е взаимно однозначно отображается на 1(Е), то на множестве ДЕ) существует однозначное отображение (обратная функция) Г" ': 1(Е) ь Е, при котором каждой точке и Е Д(Е) ставится в соответствие точка х Е Е такая, что г'(х) = и. Если отображение 1: Е ь Й~, Е С Я", взаимно однозначно и непрерывно на множестве Е, а обратное отображение 1 1 непрерывно на множестве 1(Е), то Г" называют гомеоморфным огпображвнием или гомеолеорфизл~ом. 28 Гл.

1. Дифференциальное исчисление функций нескольких перелче»»них Если для множеств Е с Я" и Ел с йп' существует гомеоморфизм, отооражающий Е на Еы то мнолкества Е и Еч называют гомеоморфными. ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ П р и мор 1. Найти область определения и с-уровни функции, за- » = (»»н~»»' ») Л Функпия определена в тех и только в тех точках (х,у) плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству (2у)/1х + у — 1) > О. Это неравенство равносильно совокупности систелч неравенств Первой системе неравенств удовлетворяют координаты всех точек, расположенных в полуплоскости у > 0 и вне окружности радиуса 1 с центром в начале координат. Второй системе удовлетворяют все точки плоскости, лежащие в полуплоскости у < 0 и внутри окружности радиуса 1 с центром в начале координат.