1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (Кудрявцев 2003 Сборник задач по математическому анализу т3), страница 4

Указать точки х Е Гг и у 6 Гг такие, что р(х;у) = сг(Гг, Гг). 59. Найти расстояние между прямыми Гг С Я" и Гг С Я", заданными параметрическими уравнениями х! — ь хз — 1~ хз — 1~ " 1 хп — й , = 1- й *. = О, ...,..„= О, уб Я. Указать точки х Е Гг и у 6 Гг такие, что р(х;у) = с((Гг, Гг). 60. Доказать, что множество Е С Я" ограниченно тогда и только тогда, когда его диаметр удовлетворяет условию В(Е) < +со. 61. Найти диаметр множества точек пространства Яг, удовлетворяющих условию: 1) 4хг + Зхгг~ < 2; 2) 4х- "— Зхг = 2; 3) (тг + х.-',)(хг + х-, '+ 2хг + 2тг + 1) = 0; 4) хг = з1п(1/х,)., ~х1~ < 2/к.

62. Найти диаметр множества точек пространства Яз, удовлетворнющих условию: 1) Зхг+ 2хг+хгз+ 2хз 1 < О; 2) Зхг+ 2хг+хзг+ 2хз+ 1 ( О 3) Зх', — 2хг+х, '+2хз — 1= 0; 4) Зх', +х-, '+2хз — 1(0. 63. Найти диаметр и-мерного куба с ребром а. 64. Доказать, что объединение линейно связных множеств, имеющих общую точку, является линейно связным многкеством. 65. Доказать, что если множество Е с Я линейно связно, то Е нвляетсл промежутком.

66. Доказать, что если линейно свнзное множество пересекается с некоторым мнонсеством и с его дополнением в Я", то оно пересекается и с границей этого множества. 67. Построить область, замыкание которой не является линейно 91. Различные типы множеств в п.-мерном пространстве 19 свнзным множеством. 68. Доказать, что всякое линейно связное множество Е С й" является связным. 69. Построить множество Е с 1?з, являющееся связным, но не линейно связным.

70. Доказать, что всякое связное открытое в ?7" множество является линейно свнзным. 71. Доказать, что если Е С 17" связное множество, то его замыкание .Е тоже связное множество. Привести пример несвязного множества, замыкание которого связно.

72. Является ли связным множество всех точек плоскости, у которых: 1) хотя бы одна координата рациональна; 2) обе координаты иррациональны? 73. Вынснитзч является ли множество Е в пространстве й~: а) связным; б) линейно связным; в) открытым; г) областью; если: 1) Е = (х + хг г> Ц; 2) Е = (хг + хг = Ц; 3) Е=(хг+хгт=Ц 4) Š— (хг+хг=О): 5) Е=(.,'+..',<Ц'и((., ) +х.„'г Ц, ' 6) Е = (х1+х3 < ЦЬЗ((х~ — 2)з+х, '< Ц; 7) Е=(х,— хг<Ц; 8) Е=(х,— хз=Ц; 9) Е = (х~г — хг г> Ц; 1 .

и 11 10) Е = (хг б (О; 1), ~хз — — зш — < — ): 2 2х~ 4)' 11) Е = (хг = з1п(1гхг)) 'сг (хг = О, !хз! < Ц; 12) Е = (5хс~+ 12хгхз — 22тг — 12тг > 19). 74. Вынснить, является ли множество Е в пространстве кз областью: 1) Е = (х, + хз < 1, хз = О); 2) Е = (х', + 2хз+ Зх, < 4); 3) Е = (х-', +х-' — хз < Ц; 4) Е = (ха+ х." Ь1 < хз); 5) Е = (хг + хг > хз); 6) Е = (хг + хг < хз)' 7) Е = (хг — хг ~< хз); 8) Е = (х'-' + хг < Ц; 9) Е = (хгхз > Ц; 10) Е=Я вЂ” х„х — х хз+ з>., —. ). 75. Доказать, что любые две точки произвольной области можно соединить ломаной линией с конечным числом звеньев, целиком ей принадлежащей.

76. Выяснить, какие из множеств, заданных в задачах 73 и 74, являются выпуклыми. 20 Гл. Е Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 77. Найти выпуклую оболочку множества Е: 1) Е = ((О; 0), (О: 1)): 2) Е = ((О; 0), (О; 1), (1; 0) );. 3) Е=(хЕй': х',=хД; 4) Е=(хай хг+хг~+2хь+1=0); 5) Е = ~х Е йг: хг + 4х.-, '= 4); 6) Е=(хЕйг: х — 4хг —— 4); 7) Е = й'сг ((О; Ц); 8) Е = Ех Е й': туг+ха+хе > 1); 9) Е множество в пространстве й", состоящее из точек (О;0; ...

...; 0), (1; 0; ...; 0), (О; 1; ...; 0), ..., (О; 0; ...; 1) . 78. Доказать, что пересечение выпуклых множеств является выпуклым множеством. 79. Симялексом в пространстве й" с вершинами в точках г = = 1, 2, ..., и + 1 называют множество точек чьЫ и;-ч х=~ ссигч, оч>0, ~ се,=1. ч=1 Доказать, что симплекс -- выпуклое множество. 80. Доказать, что выпуклая оболочка произвольного открытого в йн множества открыта в й". 81. Доказать, что выпуклая оболочка произвольного замкнутого ограниченного множества замкнута.

г 82. Построить в пространстве й замкнутое множество, выпуклая оболочка которого не замкнута. 83. Доказать, что замыкание выпуклой оболочки произвольного ограниченного множества совпадает с выпуклой оболочкой его замыкания. ОТВЕТЫ 4. 1) — 3/2; 2) — (2п, +1Яв+ 2). 5. 1) афь; 2) +со; 3) агссоч Язг; 4) к/2: 5) 2"; 6) О, если и = 25 — 1, С~' ~ы если н = 25. 8. 1) (О, 1; 2, с); 2) предел не существует; 3) а) (О, :0), б) предел не существует; 4) (О; 0), если ~г~ < 1, (1; 0), если г = 1,:р = 2.гк, й Е л, в остальных случаях предел не существует; 5) (1пг; уг).

12. Только в пространстве йг. 17. х = (О., тг), хг Е [ — 1;1). 20. 1) Неверно; 2) неверно. 4Е Различные типы множеств в п.-мерном пространстве 21 21. Таким множеством, например, пвляется числовая последоват тельность х~ /с ь=з 23. п(4. 33. 1) Да; 2) нет, если последовательность дь ограничена; да, если последовательность не ограничена. 34. Нет, если последовательность дь ограничена; да, если последовательность дь не ограничена.

39. 4) Е открытое множество; 5) Š— замкнутое множество: 6) Е - произвольное множество; 7) Е произвольное множество: 8) Е замкнутое множество. 46. Е = Есз'Р, где Р множество точек, расположенных на параллели, удаленной от Северного полюса на 7 км (Р ф Е); ЕО~ = = Ез~Ро, где Рв точка Южного полюса. 52. О. 55.,з:Ь. 56. Ц 7Л/8; 2) 4//Гз; 3) 1/Л. 58. т/Г62/55, х = (89/55;131/55; -42/55), р = (8/55; 86/55; -24/55). ее чт — зн(з с *=(1!;и;1!;- 1сс р = (1/2; 1/2, 0; ...; 0).

61. 1),/2/3; 2) +ос; 3) 1+ т/2; 4) (2/л)ч/4+ пз. 62. 1) 2ч/2; 2) 0; 3) +со; 4) жоо. 63. ачтгс, 72. 1) Да; 2) нет. 73. 1) а) Да, б) да, в) да, г) да; 2) а) да, б) да, в) нет, г) нет; 3) а) нет, б) нет, .в) да, г) нет; 4) а) да, б) да, н) нет, г) нет; 5) а) нет, б) нет, в) да, г) нет; 6) а) да, б) да, в) нет, г) нет; 7) а) да, б) да, в) да, г) да; 8) а) нет, б) нет, в) нет, г) нет; 9) а) нет, б) нет, в) да, г) нет; 10) а) да, б) да, в) да, г) да; 11) а) да, б) нет, в) нет, г) цет; 12) а) нет, б) нет, в) да, г) нет. 74.

1) Нет; 2) да; 3) да; 4) нет: 5) да; 6) нет; 7) да; 8) да; 9) нет; 10) нет. 76. 4) из задачи 73 и 1), 2), 8) из задачи 74. 77. 1) Отрезок с концами в точках, образующих множество Е; 2) замкнутый треугольник с вершинами в точках, образующих множество Е; 3) Я~; 4) ( — 1;0); 5) (х ~ Я'; х,'+4х~ ~(4); 6) Я~: 7) объединение полосы 0 ( хз < 1 и точки (О;1); 8) Яз; 9) симплекс (см.

задачу 79) с вершинами в точках, образующих множество Е. 22 Гл. Ь Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 2 2. Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность функций нескольких переменных. Отображения СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ 1. Функции и переменных. Пусть дано множество Е с Й", .и пусть каждой точке х Е Е поставлено в соответствие число и Е Й; тогда говорят, что на множестве Е определена числовая функция.

Правило, устанавливающее соответствие, обозначают некоторой буквой, например 1, и пишут и=7(х), АТЕЕ, или, подробнее, и = 2(хцхз;..цх„), (хцхь; ..цхи) Е Е. Множество Е называют областью онределенил функции, точку х аргументом или независимой переменной, ее координаты ХЫ Хх, ..., Хи Нсзаоие МЫМи ЛЕРЕМЕННЫМи, ФУНКЦИЮ и = Г(Х,: Ха, ... ...; х„) функцией п переменных. Если и, > 1, то функцию называют также функцией нескольких переменных. Число ио, соответствующее значению аргумента хо = (х": хо; ...; хо ), называют значением функции а точке хо и обозначают 7(х~) или 7(хчфх~з, ...,хо). Функцию Г(хнха, ..., х„), которая может быть задана с помощью конечного числа арифметических операций и композиций элементарных функций одного переменного (см.

[1, 2 7, и. 2)) от переменных хы х, ..., хи, называют элементарной функцией и переменных. Под функцией, заданной формулой, понимают функцию, областью определения которой являются все значения аргумента, для которых эта формула имеет смысл, и результатом каждой операции, указанной в формуле, является действительное число.

Независимые переменные функции двух переменных обычно обозначают буквами х и у, а трех переменных х, у и Графиком функции двух переменных и = 7" (х; у), (х; у) 6 Е С Й называют множество всех точек (х;у;Г(х;у)), (х;у) Е Е, пространства Й . Например, из курса аналитической геометрии известно, что графиком функции и = 4хз + уз, (х;у) Е Й, являетсн эллиптический параболоид. Аналогично можно определить понятие графика функции трех и более переменных. Если область определения функции двух переменных и = 7"(х;у) состоит только из тех точек, координаты которых являются натуральными числами х = т, у = и, т, п Е 'ччч, то функцию и называют Уу.

Функции нескольких переменных. Предел. Отображения ЗЗ (2) Определения Коши и Гейне равносильны. Если число а является пределом функции г'(х) в точке хо, то двойной последовательностью. Значение функции в точке (т; и) называют членом последовательности и обозначают и „, а саму последовательность обозначают (и к), Уровнем (г;уровнем, с 6 Л) функции Дх), х 6 Е С Я", называют множество точек х 6 Е, удовлетворяющих уравнению г(х) = с. Уровни функции двух переменных часто называют линиями уровня, уровни функции трех переменных поверхностями уровня. Функцию г"(х), определенную в области С с й", называют однородной степени а в области С, если для любых х е С и Л с П таких, что Лх е С, верно равенство У(Лх) = Л"У(х). (1) Если при тех же предположениях имеет место равенство У(Л*) = ~Л! У(х), то функцию называют положительно однородной степени о.

Например, функция 1(х) = х, х Е й, является однородной степени 1; функция Д(х) = ~х~, х б Я, положительно однородной степени 1; функция, заданная формулой г"(х:у) = у/х, однородной и положительно однородной степени О. Функцию назынают локально однородной степени а в области С, если она является однородной функцией степени а в некоторой окрестности каждой точки области С. Из локальной однородности функции в области не следует ее однородность в этой области (см. задачу 36). 2. Предел функции.