1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (Кудрявцев 2003 Сборник задач по математическому анализу т3), страница 3

Доказать, что если последовательность (х1 1) точек пространства Йи стремится к бесконечности, то: 1) р(хаий;а) э +со при гп — ь со. где а, . любая фиксированная точка пространства Й"; 2) может не существовать координата х, , 1 < 1 < п, такая, что би) 1пп тро = со. т — ьос 11. Доказать, что следующие множества являются открытыми в Й": 1) произвольный п-мерпый шар: 2) произвольный и-мерный куб; 3) произвольный п-мерный примоугольный параллелепипед (см.

задачу 6); 4) внешность (п — 1)-мерной сферы радиуса б с центром в точке а, т. е. множество Е = (х е Й": р(х; а) > д). 12. Является ли открытым в Й", п > 1, множество всех точек круга Е=(хбЙ": х~+х~~<б~, х;=О, 1=3,...,п)? 13. Пусть 1(х), т, Е Й, — непрерывная функция, до — произвольное фиксированное число. Доказать, что множество решений нсРавенства 1(х) > Уо ЯвлЯетсЯ откРытым в Й. 14. Пусть С„16 Х, произвольные открытые в Й" множества. т, Доказать, что в Й" множества П С, и О С, являются открытыми.

1=1 ~=1 15. Построить последовательность открытых множеств, пересечение которых не является открытым. 16. Доказать, что для того, чтобы точка а б Й' была точкой прикосновения множества Е с Й", необходимо и достаточно, чтобы существовала последовательность точек хчоб Е Е, сходящаяся к и. 17. Найти все точки прикосновения множества Е = (х 6 Йл: ха —— = з1п(1/х1)), не принадлежащие Е. 18. Построить множество, все точки которого изолированные, а множество его предельных точек непустое. 19. Доказать, что множество изолированных точек произвольного мноькества не более чем счетно. 20. Верны ли утверждения: 1) всякая граничная точка множества является его предельной точкой; 2) любая окрестность граничной точки множества содержит как внутренние точки, так и внешние точки этого множества (енешними точками множества называют внутренние точки его дополнения)? уз.

Различные типы множеств в п-мерном пространстве 15 21. Построить множество Е, удовлетворяющее следующим трем условиям; 1) все точки Е изолированные; 2) предельных точек множество Е не имеет, 3) 1пГ р(х;д) = О. с,уея 22. Доказать, что следующие множества являются замкнутыми: 1) пространство Й":, 2) произвольный и-мерный замкнутый шар, т.

е. зиножество всех точек и Е Й" таких, что р(тли) < 6; 3) произвольная (гс — 1)-мерная сфера радиуса д > О с центром в точке п, .т. е. множество всех точек х б Й" таких, что р(щ;а) = д. 23. Даны и-мерный куб с ребром а и и-мерный замкнутый шар радиуса а (см. задачу 22, .2)). Центр куба совпадает с центром шара. При каких значениях и, куб содержится в шаре? 24. Доказать равносильность следующих определений замкнутого лзножества: множество называется замкнутым, если оно содержит все свои: 1) точки прикосновения; 2) предельные точки; 3) граничные точки.

25. Доказать, что дополнение замкнутого множества до всего пространства открыто, .а дополнение открытого множества замкнуто. 26. Доказать, что если мноясество С с Й" открытое, а Е с Й" замкнутое, то С 1 Е открытое, а Г з, С замкнутое. 27. Пусть Гз с Й", з' е 1ч', .-- произвольные замкнутые множества. Доказать, что множества й Ес и й Е, являются замкнутыми. 28. Построить последовательность замкнутых множестн, объеди- нение которых не является замкнутым.

29. Пусть г(т), л Е Й, непрерывная функция, до произ- вольное фиксированное число. Доказать, что мно'кество решений не- равенства Г'(щ) > до является замкнутым. 30. Пусть )'(х), х Е [О; Ц непрерывная функция и Ен мно- жество решений неравенства и < г" (х) < п+ 1, и е 1ч'. Доказать, что множество сз Езь, замкнуто.

ь=з 31. Пусть для функции г'(т), з е (а;Ь], Ь > а, множества точек, в которых Г(х) > д и 1(и) < д, при любом д замкнуты. Доказать, что г(х) непрерывна на отрезке (а;Ь). 32. Доказать, что при отооражении, задаваемом непрерывной функцией 1(х), и Е (а;Ь)., произвольное замкнутое множество Е С С (о;Ь) переводится в замкнутое. 16 Гл. Е Дифференциальное исчисление функций нескольких перелче1чних 33. В пространстве 17" дана последовательность концентрических и-мерных шарон радиусов 41 < бз « ... 41 < ...

Является ли их объединение: 1) открытым множеством; 2) замкнутым множеством? 34. В пространстве Йп дана последовательность концентрических (и — 1)-мерных сфер (см. задачу 22, 3)) радиусов д1 < бз « ... 31 < ... Является ли их объединение замкнутым множеством'? 35. Доказать, что замыкание Е произвольного множества Е С й" замкнуто. 36. Доказать, что граница дЕ произвольного множества Е С 17" является замкнутым множеством. 37.

Привести пример замкнутого множества Е, не равного замы- канию множества внутренних точек Е. 38. Привести пример открытого в 1чз множества С, не равного множеству внутренних точек его замыкания С. 39. Для каких множеств Е с Я" (открытых, замкнутых, произ- вольных) верны следующие утверждения: 1) Е С Е; 2) Е = Е; 3) дЕ С Е; 4) Е г1 дЕ = и; 5) д(дЕ) = дЕ; 6) д(дЕ) с дЕ; 7) д(д(дЕ)) = д(дЕ): 8) если х1ж1 Е Е и 11ш хб"1 = а, то и Е Е7 оьеос 40. Доказать, что для произвольных множеств Еч С 17"', 1 Е И, верна формула: 1) ))Е1= 0Е' 2) 0Е ).)Е1.

ч=1 ч=1 1=1 ь=1 41. Построить последовательность множеств, для которых замы- кание их объединения не равно объединению замыканий. 42. Доказать, что мнолсество является совершенным тогда и толь- ко тогда, когда оно замкнуто и не имеет изолированных точек. 43. Доказать, что производное множество любого множества замкнуто. 44. Построить множество Е, для которого производное мно- жество Е60 непустое, а второе производное множество Ебй пустое. 45. Доказать, что для любого множества Е верны включения Е1" ЗЕР" З ... ЗЕ'и' З..., где Е1Ю производное множество порядка Й.

46. Пусть Е множество всех точек х поверхности Земли (Зем- ля считается шаром), которые обладают свойством: если из точки х пройти 7 км на север, затем 7 км на запад и, наконец, 7 км на юг, то 4Н Различные типы множеств в п-мерном пространстве 77 окажешься снова в точке рь Доказать, что множество Е не является замкнутым. Найти замыкание Е и производное множество ЕОЦ 47. В пространстве Я построим множество С следующим обра- зом. Из отрезка [О; Ц удалим интервал [1/3,2/3). Каждый из двух оставшихся отрезков разделим на три равные части и удалим сред- ние интервалы (1/9;2/9) и (77'9;8/9). Затем каждый из останшихся четырех интервалов делим на три равные части и средние интерва- лы удаляем. В результате неограниченного продолжения этого про- цесса делении оставшихся отрезков на три равные части и удаления средних интервалов получим подмножество С точек отрезка [О; Ц, которое называют панторовым множеством.

Доказать, что; 1) множество С является замкнутым и совершенным; 2) сумма длин интервалов, удаленных при построении множест- ва С, .равна длине отрезка [О; Ц; 3) множество С имеет мощность континуума. 48. Пусть С' ---. дополнение канторова множества С [см. зада- чу 47) до отрезка [О, Ц. Доказать, что мно кество Я = [[О; Ц х [О; Ц) 1 (С' х С'), называемое ковром Серпинсяого, совершенно.

49. Доказать, что множество всех чисел я Е [О; Ц, в представле- нии которых десятичной дробью отсутствуют цифры 4 и 5, является совершенным. 50. Доказать, что если множества Г, и Гз непустые, замкнутые и хотя бы одно из них ограничено, то существуют такие точки к Е Гс 1%'Гг) = р[я'р) 51. Доказать, что если множества Гз и Е непустые, замкнутые, непересекающиеся и хотя бы одно из них ограничено, то с1[Г~, .Гз) > О. 52. Найти расстояние между непустыми замкнутыми непересе- кающимися множествами: гиперболой Гз — ]т Е Я: хзшг = 1) и прямой Г,=1 ~Я': з=О).

53. Доказать, что для любого непустого множества Е Е Я" и любого числа в > 0 множество всех точек х Е Я", для которых с1[л; Е) < < в, является открытым в Я". 54. Доказать, что для любых непустых множеств Ез С Я" и Ез С С Я верны равенства с1[Е,; Е ) = с1[Е,;Ее) = с1[Е,; Ез) = с1[Е,; Ел). 2 Под ред. Л.д.нудрввиева, з.л га Гл. Е Дифференциальное исчисление функций нескольких перелсегсннх 55. Найти расстояние от точки х = (1, 1; ...; 1) с Я" до множества Ьь = (х С Я": х; = О, с > Ц, 1 < й < и. 56.

Найти с~(Ег, Ег), если: 1) Ег = (х б Я: хз = хг), Ег = (х 6 Я: хг = хг — 2); 2) Ег = (х Е Я: х-,' + 4хг = 4), Ег = (х 6 Я': хг + 2ч/Зхз = 8); 3) Е, = ( б Я: = х = , ) Е = (х б Яз; + = 1, , = О). 57. ПУсть Еь = (хб Я: х1+4хг =4) и Ег =(хб Я; хсхз =4). Доказать, что д(Ег,.Ег) > 1. 58. Найти Расстонние междУ пРЯмыми Гг С Яз и Гг С Яз, заданньвли параметрическими уравнениялчи хг =3+1, ха=1 — 1, хз=2+2й хг = -1, хг =2+31, хз =31, 1Е Я.