1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (Кудрявцев 2003 Сборник задач по математическому анализу т3), страница 2

гб) Одномерный шар 1г~(а;6) = 1х е Й: ~х — а~ < 6) представляет собой интервал длины 26 с центром в точке а Е Й; двумерный шар 1г' (а;6) = (х е Йг: (х1 — а~)г+ (хг — аг)г < 6) является кругом радиуса д с центром в точке а = (а~, .аг) Е Й . дй Различныв типы множеств в п-мерном пространстве Множество Е с Й" называют ограниченным, если существует и-мерный шар, содержащий это множество. Пусть каждому нату- ральному числу т поставлена в соответствие точка х~ ~ простран- ства Й".

Упорядоченное множество точек ОО ОО ОЩ ) называют последовательностью точек пространства Й" и обозна- чают хбь~, гп Е Ш, или )х~"О). Последовательность )у~к~) назы- вают подпоследовательностью последовательности (х~"О), если су- ществует такая строго возрастающая последовательность пьь Е Ш, что х~ 1О = у~Щ, К Е Ш.

Последовательность (х~"О) называют огра- ниченной, если множество точек х~ ~, т Е Ш, ограниченно. Точку а Е Й" называют пределом последовательности )х~ ~), ес- ли р(х~"О; а) — ь О при т — ь сю. В этом случае пишут х~"О = а т -~ьь и говорят, что последовательность хр'~ сходится к точке а.

После- довательность, которая сходится к некоторой точке, называют сходя- щейся. Если последовательность не является сходящейся, ее называ- ют расходящейся. Последовательность хй"~ е Й" сходится к точке а тогда и только тогда, когда для любого о > О существует число гпг такое, что для всех т > пм верно включение х~ ~ е Г" (а; д), Теорема (Больцано — Вейерштрасса).

Иг любой ограниченной по- следовательности точек пространства Й" можно выделить сходя- щуюся подпослвдовательность. Последовательность )х~ ~) точек пространства Й" называют стремящейся к бесконечности и пишут хр"~ = т — ~ьь если р(гцю~;0) — ь +ос при т — ь оо, где О начало координат.

Точку множества Е С Й" называют внутренней точкой этого лгножества в Й", если в Й" существует д-окрестность этой точки, содержащаяся в множестве Е. Другими словами, если х внутрен- няя точка множества Е е Й", то существует шар Г" (х; о) такой, что Г" (х;д) С Е. Множество, каждая точка которого является его внутренней точ- кой в Й", называют открытьям в Й" множеством.

Пространство Й" и пустое множество щ являются открытыми множествами. Любое открытое в Й" множество, содержащее некоторую точку, называют окрестностью этой точки в пространстве Й"'. В частности, всякая 6-окрестность точки является окрестностью этой точки. Точку х Е Й" называют точкой прикосновения множества Е Е Й", если любая окрестность этой точки содержит хотя бы одну точку 10 Гл. Е Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных мноькества Е.

Точку х Е Е с й" называют изолированной точкой множества Е, если существует окрестность точки х, не содержащая никаких других точек множества Е, кроме самой точки х. Точку х е К" называют предельной точкой множества Е, если любая окрестность точки х содержит хотя бы одну точку множества Е, отличную от точки х. Точку х Е й" называют грани ~ной точкой множества Е С й", если любая ее окрестность содержит точку, принадлежащую множеству Е, и точку, не принадлежащую множеству Е. Множество всех граничных точек множества Е называют его границей и обозначают дЕ. Множество называют замкнутым, если оно содержит все свои точки прикосновения. Множество всех точек прикосновении множества Е называют замыканием множества Е и обозначают Е.

Множество всех предельных точек множества Е называют его производнььл< множеством и обозначают Ер~. Множество Е называют соверщенкылц если Ерч = Е. Множество всех предельных точек множества Е~Ы называют вторым производным множеством множества Е и обозначают ЕЩ~. По индукции определяют производное множесгпво порядка и и обозначают Е~"~. Расстопние й между непустыми множествами Еь и Ез в пространстве Й" определяется формулой й = й(ЕВЕ ) = ш1 р(х;у). ьЕЕ, иене В частности, длп расстоянии а между точкой х Е Я" и непустым множеством Е С гч" получаем й = й(х; Е) = ш1 р(х; д).

рек Диаметром Х)(Е) множества Е с Яп называют ацр р(х; х'). жыее Множество Г точек х = (хщхг,...,.хо) пространства йп таких, что х1 — х~ (Г1, хз = хам, ..., хо — хо(С), 1 Е ~о; д~, (10) где функции х;(1), ь = 1, 2, ..., п, непрерывны на отрезке [о; Я, называют иепрерьчвиой кривой в пространстве Я".

Уравнении (10) называют параметрическими уравненикми кривой Г, аргумент 1 назынают параметром. Если уравнения (10) линейны, т. е. х1 = ат ч- Ь,1, з,г = аз+ Ьзс, ..., хо = ао+ Ь$., 41. Различные типы множеств в п-мерном пространстве 11 ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ Пример 1. В пространстве й дано множество Е = (О;1) 0 [2).

Указать внутренние точки мнол!ества Е в пространстве Е, а также точки прикосновения, изолированные, предельные и граничные точки множества Е. А Внутренними точками являются все точки интервала (О;1), точкал!и прикосновения все точки отрезка [О;1) и точка х = 2. Множество Е иьлеет одну изолированную точку х = 2. Предельньжли точками являются все точки отрезка [О;.Ц, граничными точки х=О, х=1, х=2. й П р и мер 2.

Найти расстояние между прямыми Г! С й~ и Гз С С Й, заданными параметрическими уравнениями х! = 1+ 21, ха = — 21, хз = 2+ 21, хл = 21 х! =1, ха =1., хе =1+21, хе =1, 1Е ГГ. и Указать точки хо Е Г! и Уо Е Га такие, что р(х";ус) = й(Г1,Г ). А Найдем расстояние между двумя произвольными точками данных прямых: р(х; у) = 41з + (21+ т)з + (1 + 21 — 2т)з + (21 — т)а = 161з — 81т + бтз + 41 — 4т -~- 1.

и причем ~ Ь! ) О, то Г называют прямой в пространстве и'", если !=1 1 Е Й, и отрезком в пространстве йн, если 1 Е [сй Д). Множестно Е С Я", любые две точки которого можно соединить непрерывной кривой, принадлежащей этому множеству, называют линейно связным. Множество, состоящее из одной точки, также считают линейно связным.

Множество Е С й" называют областью в пространстве й", если Е открытое в й" линейно связное множество. Если Е область, то ее замыкание Е называют замкнутой областью. Мно!кества Е! с Ян и Еи с Е" называют отделимыми, если ни одно из них не содержит точек прикосновения другого. Множество Е С йн называют связныл!, если оно не может быть представлено в виде объединения двух отделимых множеств. Множество Е С Й", любые две точки которого можно соединить отрезком, принадлежащим этому множеству, называют выпуклым. Множество, .содержащее только одну точку, также считают выпуклым. Пересечение всех выпуклых множеств, содержащих мно!кество Е с С й", называют вьтунлой оболочкой множества Е. 12 Гл.

П Дифференциальное исчисление функций нескольких перелчеччннх Преобразовав подкоренное выражение, получим р(х;у) = (41 — т+ 1/2)з+ бтг — 3т+ 3/4 = Следовательно, с((Г1, Га) = шр р(х; у) = Х/3/10. лег, рать Решив систему < 41 — т + 1/2 = О, т/бт — 3/(2х/3) = О, найдел1 г = -1/20, т = 3/10, .и, следовательно, х" = (9/10; -1/10;19/10;1/10), до = (113/10:,8/5;3/10). а ЗАДАЧИ 1. Доказать, что расстояние р(х; у) между точками пространства Й", определенное формулой (1), обладает свойствами: 1) р(х; у) > О, причем р(х; у) = 0 тогда и только тогда, когда х = у; 2) р(х; у) = р(у; х) для любых х, у Е Й"; 3) р(х; з) < р(х; у) + р(д; г) для яюбых х, у, Е Й ~ (нераоенстоо треугольника).

2. Доказать, что скалярное произведение в евклидовом пространстве Й", определенное формулой (3), обладает свойствами (х,у,г Е е Й", Л е Й): 1) (х,х) > О, причем (х,.х) = 0 тогда и только тогда, когда х-- нулевой вектор; 2) (х,у) = (у,х); 3) (Лх, Лу) = Л(х,у); 4) (х+ у,г) = (х,г) + (у,г). 3. Доказатьн 1) длн длины вектора х = (х1; хг..ц х„) в евклидовом пространстве Й" верна формула )х( = ~/~ х,; 1=1 2) длн скалярного произведения векторов х, у е Й" справедливо ((х., у) ( < (х! .

(у(. 4. Найти Л Е Й, при котором векторы а и а+ ЛЬ ортогональны: 1) а = (1; 2;1;3), Ъ = (4; 1;1;1); 2) а = (1; 2; 3;..ли), Ь = (пеа — 1;и — 2;..ц 1), и > 1. уй Различные типы множеств в п-мерном пространстве 1з 5. В п-гиерном евклидовом пространстве дан куб с ребром а. Найти: 1) длину д„диагонали куба; 2) 1цп с1„, п-н,н 3) угол усн между диагональю куба и его й-мерной гранью, .1с < и; 4) 1нн ~р„; 5) число вершин куба; и-нос 6) число диагоналей куба, ортогональных данной диагонали. 6. Пусть а = (аы ая,, ан) Е П" и 5, > О, 1 = 1, 2, ..., и. Множество всех точек х = (х~, .хя, ..., х„) пространства йн, для которых ~хе — а,~ <д,, 1=1,2,...,и, называют»,-мерным прямоугольным параллелепипедом с ребрами 2б, н с центром в точке а,.

Доказать, что: 1) для любого в-мерного шара с центром н точке а существует в-мерный прямоугольный параллелепипед с центром в точке а, содер- жашийся в шаре, и, наоборот, длн любого и-мерного прямоугольного параллелепипеда с центром в точке и существует п-гнерный шар с центром в точке а, содержащийся в параллелепипеде; 2) квадрат диагонали и-мерного прямоугольного параллелепипе- да равен сумме квадратов его ребер, выходнших из одной вершины (обобщение теоремы Пифагора).

7. Доказать, что для сходимости последовательности х~ = (х,;хя;...;хо ) Е й к точке а = (имая,...,а„) Е Й необхоОн) (т) (т) и и димо и достаточно., чтобы 1цп х, ~ = аи 1=1,2,...,и. ля-нес 8. Найти 1ив х1"'~, если: 1) хб"~ = (~т+ 1 — х/т;; „; (1+ — ) ); 2) хбн~ = (~ ':( — 1)т); / соя ссп яШ Ио Х 3) х~ ~ = ~; И ), где: а) сс„бесконечно большая по'Рп ясн следовательностяб б) ~рн бесконечно малая последовательность, р„~о; 4) х~ ~ = (г"" соят1с;г я1птф, г, ус Е Й:, 5) х~ ~ = (яи( отсея — — 11; т тсгя1п — 1., г,~р Е Й, с > О.

т т)' 9. Последовательность х~ ~ е П" называют фундамента ьной., ес- ли она удовлетворяет условию Боши: для каясдого я > О существует такое натуральное число Х, что для любого ьн > Х и люоого й > Х верно неравенство р(х~ ~;хбб) < я. Доказать, что для сходимости последовательности точек прост- ранства Й" необходимо и достаточно, чтобы последовательность бы- 14 Гл. и Дифференциальное исчисление функций нескольких перелче1чних ла фундаментальной. 10.