1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (Кудрявцев 2003 Сборник задач по математическому анализу т3), страница 10

21. 1) (п — 1)-мерная плоскость (1+ с)х| + с~ х, = с, за исклю- ух. Функции нескольких нереженнжх. Предел. Отображения ВГ п чением (и — 2)-мерной плоскости хг = О, ~ х, = 1; 2) (п — Ц-хиернан сфера радиуса г/игг — сг с центром в начале координат, если с Е [О; гг]; И, если с 9 [О; и): 3) (и — Ц -мсрнан сфера радиуса 1/(2[с[) с центром в точке (1/(2с); 0; ..; 0), за исключением начала координат, если с ~ 0; (и— — Ц-мернан плоскость хг — — О, за исключением начала координат, если с=О; 4) (и — Ц-мернан сфера радиуса 2;/с/[1 — с[ с центром в точке ((1 + с)/(1 — с); 0; ...; О), если с > О, с ф 1:, (и — Ц-мернан плоскость хг =О, если с=1; ~и, если с<0.

22. Ц Неверно; 2) верно. 23. Ц (х/2)(гс — у); 2) х/у — ху. 24. к/у+ х — 1. 25. (а18пх),/хг+ уг. 26. х. 27. з1п(кх/2у). 28. з1п(х — 2 /у) — 2а1п(х/2) ьбп у. 29. хг+ (ее+у — Цг. 30. и = х+ (х — у)/х. 31. и = (2хг — 2уг + хг)/хг. 32 и = хггух+ х/х — х/у. ЗЗ. и = (1 — х/х)(1 — хс "). 34 ЦО;2) 1;3) ь/2;4) 4/3.5) 1.6) — 1;7) 2:8)0;9) т;10)пу. 37. Ц а) 1, б) — 1, в) не существует; 2) а) О, б) О, в) нс сущестнует; 3) а) — 1, б) 1, в) не существует, 4) а) О, б) О, в) 0; 5) а) О, б) О, в) не существует; 6) а) 1, б) 1, в) 1; 7) а) О, б) не существует., в) 0; 8) а) не существует, б) не существует, в) 0; 9) а) О, б) 1, в) не существует; 10) а) 1, б) ж, в) не существует.

40. Ц а) О, б) 1, н) не существует,: 2) а) О, б) сс, в) не существует; 3) а) т/3/2, б) О, в) не существует; 4) а) О, б) О, в) О. 41. Ц а) 1/2, б) 1, в) 1/2, г) О. 42. х б Г',Г. 43. Ц 1, если ~3 ~ 0; 2, если,З = 0; 2) О. 44. О. 45. О. 46. Ц О, если р Е (л/2;Зк/2); 1, если уг = О, гг/2, гг, Зк/2; +ос, если р е (О; л/2), уг е (Зл/2; 2л); 2) О, если р Е (Зк/4; 7к/4); +ос, если р Е (О;Зл/4), ус Е (7т/4; 2к); не существует, если гр = Зк/4, гр = 7к/4; 3) О, если гр Е (к/4;Зк/4), гр Е (л/4;Зк/4), гр Е (Зк/4;7к/4), гр = О, уг = к; не существует при остальных значонинх уг; 4) совр+ зшр, если гр ф О, т/2, гг, Зт/2; не существует, если |р = О, к/2, .г, Зк/2.

47. О, 48. Ц -3; 2) 6; 3) 1; 4) О; 5) т/2/8; 6) О; 7) О; 8) 1; 9) 1; 10) не существует; 1Ц 1; 12) т/е. 49. Ц 1; 2) 2; 3) е; 4) гг, 5) — 2: 6) 13/4. 51. Ц да; 2) да; 3) нет. 52. Ц 1; 2) — 1: 3) — 1; 4) не существует. ВВ Гл. д дифференциальное исчисление функций нескольких перелсеьснььх 53.1) 0; 2) О. 54.1) 0; 2) ссДоз+1); 3) несуществует. 55.Да. 56.О. 57. а=у'о, Ь= — чЛ. 58.

абй, Ь=О. 59. а = — 1, Ь = О. 62. 1) (О;0) точка устранимого разрыва; 2) (О;0); 3) (1;2); 4) (0,0); 5) все точки прямой х+д = О, кроме двух ес точек (1: — 1) и ( — 1; 1); это точки устранимого разрыва; 6) (кЬ:кгь), Ь,гьйло; 7) (х;0), хфО; 8) (яИ.;кп), 1',пЕУ: 9) (О;0) точка устранимого разрыва; 10) точек разрыва цет; 11) все точки прямой у = х, кроме двух се точек (2; 2) и (3; 3); это точки устрацимого разрыва; 12) все точки двух эллипсов ха + 4уа = 1, ха/2+ 2уа = 1 и точ- ка (О; 0), в точках эллипса ха + 4да = 1 разрыв устранимый; 13) все точки границы ромба с вершинами (1;0), (О; 1/2), ( — 1;0), (О; — 1,12), 14) все точки окружностей радиусов и Е 7ч' с центром в точ- ке (О;0); 15) все точки прямых х = 0 и у = их, .и е Я; 16) все точки плоскости, кроме точки (О;0).

63. 1) Все точки оси х; 2) все точки оси у, за исключением точки (О; 0: 0), 3) все точки сферы радиуса 4 с центром в точке (1,0; — 1); 4) точек разрыва нет; 5) все точки плоскостей у = 0 и х = 0; 6) все точки плоскостей у = 0 и х = 0 и гиперболических цилинд- ровух=ли, пЕл, гьфО;. 7) все точки плоскости х = О, кроме точек прямой у = х, х = О, 8) все точки оси Ьн 9) все точки сферы радиуса 1 с центром в точке (О;0;1), кроме точки (О; 0; 0); 10) все точки однополостного гиперболоида ха + уа — ха = 1, дву- полостного гиперболоида ха + уа — хз = — 1 и конуса хз + уз — хз = О. 64. Область определения: точка (О; 0) и внешность (вместе с гра- ницей) окружности радиуса ус2 с центром в точке (О;0). Функция непрерывна на своей области определения.

65. Нет. 76. 1) Да; 2) нет. 77. 1) Равномерно непрерывна; 2) равномерно непрерывна; 3) не является равномерно непрерывной; 4) не является равномерно непрерывной. 80. 1) сс(б) = чссаз + Ьхб, равномерно непрерывна; 2) ы(б) = б, равномерно непрерывна; 3) ы(б) = 2, не является равномерно непрерывной; 4) ы(б) = +со, пс является равномерно непрерывной. 81. 1) 4; 2) 4чЛ: 3) а) +со; б) 1,12; 4) 1; 5) 5; 6) улсе; 7) 6; 8) 12. 83. 1) Эллипс их/4+ ох/9 = 1; ух.

Функции нескольких переменных. Предел. Отсбраксенин ЬЗ 2) эллипс 1и — ао)г/аз+ 1с — Ьс)г/Ьг = 1, если аЬ ф 0; отРезок и = = ас, )о — Ьо) < Ь, если а = О, Ь | 0; отрезок с = Ьс, ~и — ао~ < а, если Ь = О, а ф- О; точка 1ао. ..Ьс), если а = Ь = О. 84. 1) Прямая с = аи; 2) окружность иг -1- сг = а'-', если о ~ 0; точка (О; 0), если а = О. 85. Замкнутый треугольник с вершинами в точках 10,0), (1;0), (О; 1). 86. Прямоугольник 1 < и < 2, Ц < 1. 87.

1) Прямаи 2и = 1; 2) окружность радиуса 4/3 с центром в точке 15/3;О). 88. 1) Парабола юг = 4аг(аг — и), если а р'= 0; луч с = О., и < О, если а=О; 2) парабола сг = 4Ьг1и+ Ьг), если Ь ~ 0; луч с = О, и > О, если Ь=О; 3) полукруг из + сг < 1, с > О. 89. 1) а) Отрезок о = О, ~и~ ( 1; б), в) эллипс — из+ — юз = 1; г 2з 9 2) гипербола 2иг — 2юг = 1.

90. 1), 2) Окружность из+ ог = е-"; 3) луч о = (18Ь)и, и > 0; 4) логарифмическая спираль р= е~е ь~7', где р = хсиг + ог, 186 = = с/си. 91. Ц Гипербола,, —, = 1, если а, у'= — Ь; луч ю = О, созга сйп о 2 и > 1, если а = 2кЬ; луч с = О, и < — 1, если о, = к12Ь+ 1); прямая и = О, если а = к12Й+ 1)/2; Й Е л; 2) эллипс +, = 1, если Ь ф 0; отрезок о = О, ~и~ < 1, сьгЬ еьгь если Ь= О; 3) полуплоскость с > 0; 4) плоскость с выброшенными лучами ю = О, )и! > 1.

92. 1) Дуга параболы с = 1 — 2иг, ~и~ ( 1; 2) прямая " = " = ", если аз+ Ьг+сг ~ О; точа Ь с ка 1ао,бо,.со), если аз + Ьг+ сг = О. 93. 1) Плоскость и — 2ь+ ю = 0; 2) сфера ил+ сг + шг = 1; 3) поверхиость тора, образованного вращением круга (и — 2)г + + шг < 1, с = О вокруг оси и. 94. Пилицдр иг + ог = аг, если а ф О; ось ш, если а = О.

95. Сфера иг + сг + шг = ш с выброшенной точкой 10;0: Ц. 96. Замкнутая пирамида с вершинами в точках 10;0;0), (1;0;0), (О; 1; 0), (О; 0; 1). 104. 1) Неверно; 2) верно. 105. 1) Да; 2) иет. 106. 1) Нерио; 2) неверно. 111. См., например: Гелбаум Б., Олмстед Дгк. Коцтрпримеры в анализе. Мл Мир, 1967. З4 Гл. Е Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 'З 3. Частные производные. Дифференциал функции нескольких переменных.

Дифференцируемые отображении СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ 1. Производные и дифференциал первого порядка. Пусть фУнкциЯ ф(х; д) опРеделена в некотоРой окРестности точки (хе1 Уе). Если существуют конечные пределы 1пп ф(хь + Ьх; уь) ф(хо, уь) . ) (хь; уь + Ьу) ф(хщ уь) и 1пп Ьл-ьо Лх аз- о Ьу (1) то их называют частными производными функции 1' в точке (хе,уо) соответственно по переменным х и у и обозначают дф(хы у,) дф(хы уь) дх ' ду или просто зьл(хо1де) ьсз(хо1ус). Если частныс производные функции Г" существуют в каждой точке множества Е С й, то говорят, что функция З имеет частные 2 производные на мнозкестве Е.

Аналогично определяют и обозначают частные производные функций трех и более переменных. Например, если существует конечный 1пп ф(хк ..., хь -~- Лхм ...; хп) з" (хц ..цхщ "цхп) Ххь-ьо Лхл то его называют частной производной функции 1' в точке (хмхз1... ...; ха) по переменкой хь и обозначают дф(хц х; ...; хс) или Гль (хм хз, ..., х„). дхл д) Производные, 14 = 1, 2, ..., и, называют производными первого дхл порядка. Для вычисления частной производной обычно пользуются дхз известными формулами и правилами дифференцирования функции одной переменной, считая все переменные, кроме переменной хь, фиксированными (постоянными).

ФУнкцию 1(х,д) называют диффвРекциРдемой в точке (хо1до), если существуют числа л( и В такие, что приращение ~1)'(хе; Уо) = У(хо+ лх; Уо+ ~1У) — ф(хе',до) фУнкции Г в точке (хо, Уе) пРедставимо в виде ьсь|ь)= 1ь..ьзььь (ЯР~ЪьЬ (ь*;ьь) (ььЬ(ь) 4Х Частные производные Если функция г"(х, у) дифференцируема в точке (хо, уо), то в формуле (2) линейную относительно приращений охх и Ьд функцию Айьх+ ВЬу называют дифференциалом (точнее, первыло дифференциалом) функции з'(х,у) в точке (хо,'до) и обозначают с(((хо,'до). Таким образом, если верно равенство (2), то с(((хо; уо) = А.Ьх + Вйьу.

(З) Дифференциалом независилоой переменной х или у называют ее приращение, т. е. по определению полагают дх = Лх, йд = .лу. Если функция ( дифференцирусма в каждой точке множества В с Я, то се называют дифференцируелой на множестве Е. Аналогично определяются понятия диффсрепцируемости и дифференциала для функций трех и более переменных.