1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (Кудрявцев 2003 Сборник задач по математическому анализу т3)

УДК 517 ББК 22.161 К88 К уд р на цев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В. И., Ш а 0 у нин М. И. Сборник задач по математическому анализу. Том 3. Функции нескольких переменных: Учеб. пособие/ Под ред. Л.Д. Кудрявцева. 2-е изд., перераб. — — Мл ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 472 с. -18ВМ 5-9221-0308-3. Рецензенты: заведующий кафедрой общей математики ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова, академик В5С Ильин; профессор МФТИ, академик С.М. Никольский.

1БВХ 5-9221-0308-3 (Т. 3) 18Б1Ч 5-9221-0305-9 © ФИЗМЛТЛИТ, 2003 © Л.Д.Кудрявцев, Л.Д. Кутасов, В.И. «!ехлов, М.И Шабунин, 2003 Книга является третьей частью трехтомного сборника задач. созданного на основе многолетнего опыта преподавааия курса математического анализа в Москонскол«физико-техническом институте, В нее включен материал по следующим разделам курса математического анализа: дифференциальное исчисление функций нескольких переменных; кратные, криволинейаые и поверхностные интегралы, векторный анализ; интегралы, зависящие от параметра; элементы функционального анализа.

Каькдый параграф содержит справочный материал, набор типовых примеров с решениями и задачи длн самостоятельной работы с ответами. Для студентов университетов и технических вузов с расширенной программой по математике. Ил. ЗЗ.

Табл. Библиогр. 20 назв. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ГЛАНА 1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Различные типы мнол1еств в я-мерном пространстве....... Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность функ- ций нескольких переменных. Отображения Частные производные, Дифференциал функции нескольких пере- менных. Дифференцируемые отобралгенин............... Частные производные и дифференциалы высших порядков.

Фор- мула Тейлора и ряд Тейлора Экстремумы функций Геометрические приложения 31 22 22 85 110 129 зб ГЛАВА 2 КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ГЛАВА 3 ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 313. Собственные интегралы, зависнщие от паралщтра.......... 324 3 14. Равномерная сходимость несобственных интегралов, зависящих от параметра . 334 3 7. Мера ЖЕОрдан.

Измеримые множества 38. Кратный интеграл Римана и его свойства 3 9. Геометрические и физические приложения кратных 9 10. Криволинейные интегралы 3 11. Поверхностные интегралы 3 12. Скалнрные и векторные поля 145 158 интегралов 233 25зг 278 295 Оглавление 3 15. Дифференцирование и интегрирование по параметру несобственных интегралов 346 3 16. Эйлеровы и некоторые другие интегралы ................ 360 3 17. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье ................ 370 Список литературы 467 ГЛАВА 4 ВВЕДЕНИЕ В ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ 3 18.

Метрические пространства 3 19. Нормиронанные и полунормированные пространства . 3 20. Гильбертовы пространства 3 21. Топологические пространства. Обобгаенные функции. 379 40о 434 450 ПРЕДИСЛОВИЕ Книга нвляется третьей частью сборника задач по курсу математического анализа. В первой главе речь идет о дифференциальном исчислении функций нескольких переменных. Рассматриваются различные типы множеств в п-мерном пространстве, понятия предела, непрерывности. Особое внимание уделяется такому трудному для усвоения понятию, как дифферепцируемость функций нескольких переменных, а также проблеме отыскания точек безусловного и условного экстремума.

Вторая глава посвящена кратным, криволинейным и поверхностным интегралам. Изложение теории кратных интегралов строится на основе меры Жордана. Много внимания уделяется геометрическим и физическим приложениям кратных интегралов, скалярным и векторным полям. В третьей главе рассматриваются интегралы, зависящие от параметра. Приведено большое число примеров, связанных с исследованием равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметров.

Рассматриваются важные для приложений интегралы Дирихле, Эйлера, Пуассона н др. Отдельный параграф посвящен интегралу Фурье и преобразованию Фурье. Материал четвертой главы является введением в функциональный анализ. Исследуются метрические, нормированные и полунормированные пространства, а также гильбертовы и топологические пространства. Содержатся начальные сведения об обобщенных функциях. При работе над сборником авторы опирались на многолетний опыт преподавания курса математического анализа па кафедре высшей математики Московского физико-технического института. Как и в первых двух частях, весь материал третьей части сборника разбит на параграфы. Каждый параграф содержит: краткий обзор теоретических сведений, необходимых для решения последующих задач; решения типичных задач; упражнения и задачи, снабженные ответами и предназначенные для самостоятельного решения.

Включение в сборник сравнительно большого числа подробно решенных задач имеет целью показать студенту оптимальные приемы и методы решения и тем самым дать ему возможность часть материала изучить само- Предисловие стоятельно. Следует отметить, что упражнения и задачи, предназначенные для самостоятельного решения, разнообразны не только по тематике и содержанию, но и по степени трудности - - от простых, иллюстрирующих те или иные разделы курса, до довольно сложных, требующих от читателя определенной настойчивости, а иногда и некоторой изобретательности. Большой набор упражнений и задач и их разнообразие позволит использовать сборник во втузах и университетах с различными программами по математике.

Авторы надеются, что преподаватели найдут в сборнике материал, который смогут использовать на лекциях, семинарских занятиях, консультациях, при состанлении заданий для самостоятельной работы студентов, при составлении контрольных работ, на экзаменах. ГЛАВА 1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ~ 1. Различные типы множеств в и-мерном пространстве СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ 1.

Пространства Я". Множество, элементами которого являются всевозможные упорндоченные наборы и действительных чисел, обозначают Я". В множестве Я" эдожпо ввести понятие расстоянии между любыми двумя его элементами. Расстояние между элементами з: = (хд;хз;" 'хв) дд У = (Уд'дуз; ";Ув), х„уд Е Я, д=1,2,...,п, обозначим р(х;у) и определим формулой п рдхд у) = ~(х — у )'.

д=д Множество Я" с введенным в нем расстоянием называют пространствам Я', число и — размерностью пространства Я". Элемент х = (хд; хз, ..., хи) мнодкества Я" называют точкой пространства Я", число х„д = 1,2,...,п, " д-й координатой этой точки. Точки х = = дО, О; ...; х,,; ...; О) п-мерного пространства Я" образуют д-ю координатную ось пространства.

Точку О = (О;О; ...;О) называют началом координат. Для точек х = (хд) и у = (у,) одномерного пространства Яд (Я) формула (1) имеет вид р(хдду) = ~х — Ы: поэтому пространство Я представляет собой множество действительных чисел, расстояние между которыми измеряется обычным образом, т, е, Я' числовая прямая. Пространства Я~ и Яд — — это соответственно плоскость и обычное трехмерное пространство, которые изучаются в элементарной и в аналитической геометрии.

Для элементов множества Я" можно ввести понятия суммы элементов и произведения элемента на действительное число: если х = (хд,'зг',..дх„), У = 'дуд;уз..'..Чув), Л Е Я, то х+ у = (хд +уд,ха + удб ...;х„+ у„), Лх = (Лхд, Лха;,..;Лх„). (2) 8 Гл. Е Дифференциальное исчисление функций несколыьих переменных Как известно из линейной алгебры. множество Й", в котором формулами (2) определены сумма и произведение на действительное число, является линейным векторным пространством. Точку х = = (гц;хг, ...,хв) пространства Й в этом случае называют вектором и обозначают иногда х, числа х„1 = 1,2, ..., и, называют его координатами в базисе е, = (1;0; ...;0),...., е„= (О;0; ...; 1).

Вектор (О;0; 600) называют нулевым. В линейпоги векторном пространстве Й" можно ввести скалярное произведение (х, у), поставив в соответствие каждым двум векторам х = (х,,", хг, ..., хе) и у = (у~, .уг,,,., ув) число (х, у) = ~ хгу,. (3) Линейное векторное пространство Й", длн векторов которого формулой (3) определено скалнрное произведение, называют п-мерным евклидввым пространством. Число,Дх, х) называют длиной вектора х и обозначают ~х~. Векторы х и у называют ортогокалькыми, если (х,у) = О. Если х и у — — ненулевые векторы, то углом между ними называют угол ьг Е )О; к) такой, что спад = (хйу( 2. Различные типы множеств в пространстве Й".

Пусть точка в, = (вы аз,...,а„) с Й", д > О. Множество всех точек х = = (хыхг, ...;хи) пространства Й", для которых ~х, — а;) < д, г = 1,2, ...,п, (б) называют и-мвркым кубом с ребром 26 и с центром в точке а или кубической 6-окрестквстью точки а в пространстве Й". Одномерный куй это интервал длины 26 с центром в точке а, двумерный куй это квадрат со стороной 26 и с центром в точке а. Пусть точка а Е Й", д > О. Множество всех точек х пространства Л", для которых р(х; а) < д, называют н-мерным шаром радиуса д с центром в точке а или д-окресткостью точки а в пространстве Й" и обозначают 11"(а;6). Таким образом, Ю "(а;6) = 1х е Йо: р(х;а) < 6).