1610915390-52cbd25d82d9110658c00fb8dfb6bccc (Кудрявцев 2003 Сборник задач по математическому анализу т2), страница 8

а ,2 4) дх' . 5) / сов хйх в 1в ',О. япех-Ьсовлх l (агяп х-Ьбгсоввх)г б) ~х 7) /' вЬ х~х 8) / сЬ2хдх в1п' х -Ь сове х ' ,/ 1 — вЬгх / вЬгх + сьлх 7 вЬ2хдх /' дх 1+ вЬлх ' / (сЬ 2х + сЬгх)г 19. 1):, 2) /; 3) / г/х /' йх /' йх Япх+совх ' l н/Зсовх+япх д вЬх-'с 2сЬх ' 2вЬх — сЬх' д асЬх-ЬбвЬх' / асовх -Ь 6вшх ' 20.

Длн интеграла,1„= / '', ас+6' ф О, и. Е И, в г (аяпх -Ь 6 сов х)" ' доказать рекуррентную формулу 1 /' аяпх — Ьсовх (н — 1)(аг -Ь Ьг) 1, (аяпх+Ьсовх)" — ' ',/' дх и с ее помощью найти интеграл д (2 сов х + вш х)в 21. Найти: дх /' йх /' йх ,/ 1-Ь 4совх ' / 4 Ьсовх ',/ 4 — япх ' 54. Интегрирование трансцендентнегх фунниия 59 5) ~ "* . 6) I I б — ояпх+в1пех ',/ 1 Ч-10сЬх ' / 2вЬгх+ 5вЬх+ 2 ' 7) ', с>0: 8) г ', а>0. дх дх д Ь Ьх+.' дх 22.

Для интеграла 7„= 1, ~а~ ф': Ц, и Е Ру, доказать д (асовх+ с)" ' рекуррентную формулу 1 ( аяпх (п — ц (аг — сг) 1, (а сов х + с)" — (2п — 3)с.р„~ + (п — 2),7„9), п > 1, и с ее помощью вычислить интегралы: Ц,, 0<в(1; 2) / ., в>1. ./ (1 Ь сов х)е ' д (1+есовх)в ' 2) 4совх — Зяпх — 5 ' 4) 7совх — 4япх+8 ' дх ,/ 3 сЬ х -Ь 5 вЬ х -Ь 3 ' , сг>аг — Ьг; е)х = Лх + В 1п ~ а сов х + Ь яп х + с ~ + аг сове ч- Ьг яп х. -ь се а сов х -Ь Ьвшх 4- с +С ., а +Ь фО.

а сов х + Ь яп х -ь с ' Найти интеграл (25-27). 1) 1 — япх+совх аг 2) 1 япхдх 1 ч- яп х — сов х ' 2 сов х -ь яп х х ъ'2 совх+2вшх, Г 2совх+япх — 3 агх; 4) е1х; 4совх+Зв1пх — 2 г 2совх — япх — 3 1 — сов(х — а), Г вЬх г-2с1~х 5) / е)х; 6) г)х; 1 — сов(х -Ь а) ' г' 2 еЬ х — сЬ х — 1 с1гх -Ь 2вЬх Ч-3 х' 4 сЬ х Ч- 5 вЬ х -Ь 6 в1п х гг 2) 1" 1 — 2Яп2х+ 2 сов х аг 1 2совх+япх ' 1 япх4-совх ~ 2 сов х — вшх,совх -Ь в1п х е',х; япх -Ь 2 сов х е (' аг сов х -ь Ьг сов х яп х -Ь се вш т г г)х, а +Ь х'0; асов х -Ь Ьяпх 23. Найти интеграл: дх сов х+ япх+ 1 ' 3),~ ./ 3 сов х -Ь яп х -Ь 5 ./ сЬх -1-вЬх -Ь 2 ' ,/ асЬх -Ь ЬвЬх -Ь с 8) 1 дх ,/ а сов х+ Ьяпх Ч- 24. Найти значения , с > ъ/аз+59 > О.

с А, В, С, при которых верно равенство 60 Гл. Ь Неопределенный интеграл я1г 2х /' сЬ 2х с/:е. 5яЬх+Зсйх ' 2 Зь1гхл-ЬсЬх совх — 2ь/пх, Г 2япх — соьх Зяшгх+4совех ',/ (Зяпе:-1-4соьх)е 3) /'а~совх+Ьгяпх /х / >а>0; ./ асояех+Ьяпех 4) / пгсоьх-гЬ|ьшх с/ я+Ьз ~! О / (асовх Ч-Ьяпх)е с /' 2ьЬх — сйх / 6 /' 2вЬх-1-сЬх ) ЗвЬгх Ч-4сЬгх ' „/ (ЗяЬх-Ь 4с1гх)г 28. Найти значения А и В, нри которых верно равенство / „', А/ 4/ ' В/ асояех+ 2Ьсовхяпх+ сяпех 2 Ьг/-', -'с Лг 2 Ь 1", -'с Лг здесь Ь ф О, а ~ с, Лы Лз -- корни уравнения /Л вЂ” аЦЛ вЂ” с) = Ь'-', 1; = (с — Л;) япх+Ьсоях, Ье = 1//с — Л,), г = 1,2.

Найти интеграл (29-33). )Г (сова-'няпх)дх, / япх — 2совх 5соя'х — 2яп2х Ч-2ьш-х ) 1-1-2яп2х 30. Ц . ' . 2) яп2х+2япх ' ./ я/п2х-Н4яшх — 4япех' 3) 4 / (1 — сов х -'; япт)' ' л' яп х -Н (1 — совх)я сЬх+2вЬх — 1, /' вЬ2х — 2яЬх 5 / с/, 6) / / с/х; 6) / с/х. еЬ х(сЬ х — 3 яЬ х — 1) ' 2 яЬе(х/2) — ьЬЯх з я/пг х л 42яшх соь х негсов х 3, сове/)'я/п х У~Ье 4) ~тЯ'~с/х; 5) / ", с/х; 6) ~ КЬз,с/х.

/ (соьцх+ яе)/2))п ' / /)/, 2/г+ 1 / (яп//х —,р)/2))п+' ' ' 2 /' (сЬ Их — 1е)/2))п l (ьЬ((х ч- яг)/2))п" 34. Для интеграла,У„= ) 1л' ) г/х, и = 0,1,2,..., г г' яп//х — а) /2) т " ,/ яп((х+ а)/2) доказать рекуррентную формулу 2япа Г в/п//х — а)/2) т" и — 1 Л яп((х -1- а,)/2) ) в4.

11нтегрироеание трансцендентных функций и с ее помощью вычислить интеграл,Ув. Найти интеграл 135 — 41). ',1 1 — Еге-ЬЕгг ' ' г' 2 — Ег — Ег* ' ' .) 1-Ь Егц-Еггв-Еге (* — 1г' Ь (* '+иг — (.'"+'г' г) 1" ирн+гн -'Ьг:, г) 1", " ') У~х"х) """) Г,'.... ')./.... 4) у; 5) у хяпхсов2хг1х; б) у 1вшх — х) йх; хух Г 3 ,/ 1+ вй1х 7) /хве*япхе1х; 8) / е"*япвЬхе1х, ив+ Ьг ф О. 37. 1) / ,, ' г1х; 2) /ее 1п11 + е «)г1х; г 3) / 1п(ч'х + 1 Ч- игх — 1) е1х; 4) / ' ' е1х.

38. 1) /агс1я г1х; 2) /хагс48(х+1)йх; 3) / х атосов(5х — 2) г1х; 4) / хтагс18 х г1х. 39. 1) / агсвш тггх г1х; 2) / тГх агсвб тГх е1х; 3) /хЯ вЂ” ха агссовхйх; 4) 1 г1х. в/Г+ х'-' 40 1) / е — х аг'сяпегг1х, 2) / еегсг1иге1х. 3) /(2х+ 1)еигтвге1х 4) / х(1, хв) — аггее егвг г1х 41 1) / хсовх япх 1 2) в1пх сова г хг 2 япх 3) / „ г1х; 4) / ' ,; 5) / (1 — — ) е г1х, / ( * — )' , „т, 7) / х' Ь 2хг Ц Зх + 3 /х'+2х — 2х — 2 хг11 Ч- х)г и 42. При каком условии интеграл 1„= / ( 5 — ~1е* ест, где ав ~-' х" / ь=а постоянные, является элементарной функниейГ Гл.

П Неопределенный интеграл б2 43. Выразить через интегральный логарифм !Цх) и элементарные функции интеграл: 1) / — г1х х(0, 2) / е *г«х х>0; д х д х / (1пх — 2)г ' 44. Выразить через интегральный синус В!1х) и элементарные функции интеграл: «) / хе!пх — сон х а, 2) /' егаЗх а 3) /' егпх 45. Выразить через интеграл вероятностей Фо!х) и элементарные функции интеграл: 46. Выразить через Р1х; й) и Е1х; Ь), т. е, через эллиптические интегралы первого и второго рода в форме Лежандра Я 3), и через элементарные функции интеграл: ц дх 2) / 1+сое2х 4 3) / дх Г Н З 2* ' 1 'Н г г .йи ' 1 гг иг ' 4) 47. Выразить через функции 8!!х), !!!х), Фо!х) и элементарные функции интеграл: 1) /б!пхВ!(х)6х; 2) /!!(х)г«х; 3) /Фо(х)г«х; 4) /хВ!(х)о!х; — г гг 5) / В!!ах)В!«Ьх) г«х, аЬ ~ 0; 6) /хФо(х) г«х; » / Ф г«х; Фо«х) 8) /е ' г~Фо1х)е!х, 9) /хе* гзФо!х)г«х, 10) /хе * г~Фо!х)е!х; 11) /Фо(х)йх' 12) /,о ' ' ' 13) / !пйФо(х)йх. 1) / е !зг +хг+~! г«х 3) /х е * с«х; 4) 6) /е ~' 2) /е !ие ьзьгь'! г«х, а > О.

/ г Йх; 5) / (« — —,,)е — ! '+ид«гцэг«х' 44. Интегрирование трансцендентных функций ОТВЕТЫ яп2х з|п4х С 2) сов 2х совбх 4 8 ' 4 12 яп 5х яп Зх ) сов(4х + Ц соз(2х + 3) 5) соз бх сав 4т сов 2х 24 16 8 яп9х яп7х япЗх япх 36 28 12 4 в1п(х + Ц в1п(Зх + Ц в|п(5х + Ц 4 6 20 х яп 2х яп 4х яп 6:г яп 10х 4 16 16 24 80 2. 1) — ' + С 2) — сЬх+ С 16 12 ' 3 3) + ' -1- -1- + С, 4) — агсс18вЬ2х+ С. х вЬ2х вЬ4х вЬбх 1 4 8 16 24 ' 2 3. 1) +С; 2) 1п~совх~ — сов2х+С; 2 сов х 3) в —, + С; 4) — 1п(18х182х) + С. 2 1 1 япвх 4яп х 8 з 4 Ц в1п — +С. 2) ' ' — ' +С. 3 7 5 вш х япи х в1п 2х яп'е 2х в|п' 2х 9 11 ' 16 10 24 2яп'х 5) в1пхсовзх+ +С; 5 16 сов| х 24 сов' х 3 з + — Зсоз х+ С.

7 5 32 ; х 64 их 32 ах 5 2 7 2 9 2 4) — „сЬзх — сЬзх+ сЬх+ С. х в!и 4х Зх яп 8х яп 16х 8 32 ' 8 16 128 5х яп бх яп 12х япз бх 16 12 64 144 24х — 8 яп 4х ц- яп 8х яп' 2х 2048 320 1 . 7 з 3 . 7 1 7. — яп хсов х+ — яп хсозх — — яп' хсовх— 10 80 160 1.з3.Зх — — яп' хссах — — япт,совх+ — + С. 128 256 256 зЬ8х х Зх вЬ2х вЬ4х 64 8 ' 8 4 32 Гл.

1. Неопределенный интеграл вЬг2х + вЬ4х х +С, !) вЬгх вЬ2х + х +С 48 64 16 ' 24 32 16 вшх 1 /х па 9. Ц, + — !п гх!г — -!- — ) +С; 2совгх 2 12 4) 1 1-~- яих . яи х 2) — 1п — япх — — + С; 2 1 — яих 3 2 г 2 4 / япх 2совгх 3 х 3 сов х 4) — 1п с!8 †' — — совх — ' „ + С. 2 2 2 2в1пгх 10. Ц 1п 1Ь вЂ” + — +С: 2) — — !п 1Ь вЂ” — — —,, +С; 2 сЬх ' 2 2 сЬх 2вЬгх вЬх 3вЬх 3 3) + Ь„+ -агс1дс*+С; 4 сЬлх 8 сЬгх 3 вЬ'х 3 4) — вЬх — „— — агсгдвЬх+ С.

2 2сЬгх 2 с18 пх яи" х 1 11. Ц вЂ” +С; 2) — ' — „— 21п~в!их~+С; 4 2 2в!г|г х 3) + !п Ц х( + С; 4) + 218 х — с!8 х + С; 2 ' 3 5) — 8 — с18х+С! 6) 8 + + +С; 3 ' 9 7 5 7) — — !п ~ сов х~ + С; 8) — + 18 х — х + С. 18 х 18 х 18"х 18вх 4 2 6 3 12. Ц Ф х +С; 2) в х +в!ггх+1 ~вьх~+С; 1ЬЗ 3) — 1Ь вЂ” * — — 1Ьв — *+С; 4) 1Ьх+2с1Ьх — с а' +С; 2 2 6 2 3 5) !псЬх — +С 6) х — 1Ьх — +С. 1Ьгх !ах 2 3 6(3 сов х — Цг ' 4 1+ совх 2(1+ совх) сов х Зъ'2 1 — нг2 сов х 1п +С; 2 4 1-(- гг2совх 1 сове х — сове -В 1 1 ъ'3 4) — !п — — асс!а 2 (совгх4-совх-~- Цг Я 1+2сов'х (3 — сьх)н) сЬ" х 6) !п(сЬгх + сЬ х + Ц + — асс!8 + С.

4 2сЬх-!-1 Д ' ГЗ 14. Ц вЂ” 1п ' +С; 2) — !п(3+ 4в!п~х) + С; 4 1 — япх 4 3) вшх — . — 6агс18 япх+ С; 2 в1и х 4) !п в'.и* — 2агс18 вшх+ С; 1 — яих 94. Интегрцрееание трансцендентных функций 1 1 яЬх 5) — агссд вЬ х — — асс!а ' -!- С; 3 6 2 1 вЬгх — яЬх -Р 1 2 2яЬх — 1 6) — 1п , + — асс!8 + С. 3 вЬех р 2вЬ х + 1 н/3 ъ/3 15. 1) (х + 3 !п ~ вш х — 3 соя х~)/10 + С; 2) !и ~ вш х + сов х~ + С; х -р а 3) хсова — 2вша1п я1и — + С; 2 аа~ + ЬЬг Ьаг — аЬг 4) „„х +,, !гг ~а соя х + Ь в!и х~ + С; аг+У аг + Ьг Ьг х в1г2х вЬ х 5) — ' — — !п(2 сЬ х — вЬ х) + С;. 6) — + — + — '" + С; 3 3 ' 2 4 2 7),',,' х+ ',,' !п ~асЬх+ ЬвЬх~+ С, если аг ф Ь-'; аг Ьг аг т5| аг ~5| Ь| ~аг х+ вЬ2х+ я!гвх+ С, если Ь = та.