1610915390-52cbd25d82d9110658c00fb8dfb6bccc (Кудрявцев 2003 Сборник задач по математическому анализу т2), страница 71
Описание файла
DJVU-файл из архива "Кудрявцев 2003 Сборник задач по математическому анализу т2", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве НГУ. Не смотря на прямую связь этого архива с НГУ, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр DJVU-файла онлайн
Распознанный текст из DJVU-файла, 71 - страница
4о. Ц (1 — -' ). п=-2 , -М+4) и=-2 -й(.: ,—:) -й,,:;, -й ..„ 44. [1 1ГГч -'. 4ч. П "Х и=1 и=1 Выяснить, при каких значениях л сходятся бесконечные произведения 146 — 55). 46. Ц (1+ — ',). 47. Ц (1- — ',). и=1 и=2 п=1 49. Ц (1 — — ')снз", . ) О. 50. Ц(1 — х"). * п=1 51. Ц (1+ *— п). 53. Ц (1+ ~ ! ) ). п=1 53. Ц (1 — — ') ехр( — + — ). 54. Ц ( ) и=1 п=1 чч. П 1%1 + 1-1 п=1 56.
Доказать абсолютную сходимость бесконечного произведения азпл=т Ц (1 — *.,), з Ф зз, ьч~ ~. и'кз з ' 48. Ц (1+ — ) е п=1 . ц(+' "и") п=1 50. Ц (1 + ', ')п ). п=2 62. Ц Я-6", оз 58. Ц (1+ ') ). п=2 оо. Ц ~.~.,/и+ ( — 1)и п=2 Ц('+' "„) ". Ц"' "" п=1 и,=1 и=1 каких значениях т бесконечное произведение Ц (1 + и.=1 сходится, абсолютно сходится, расходится, расходитсн к 64. При „( — 1)п ') пулюГ Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость следующие бесконечные произведения 157-63).
Гл. 5. Функциональные иоеледоеательноети и ряды 65. Пусть О < хп < я/2, а 6 И. Доказать, что бесконечные произведения Ц с!-!ахп и Ц хп ео п=.1 п.=.1 сходятся тогда и только тогда, когда сходится ряд лт х,. % з и=! 66. доказать, что бесконечное произведение Ц 16 ( — + сь„), п=1 оь где ~а„~ < —, сходится, если абсолютно сходится ряд ~~! сь„. 1 ' п,=1 67. Доказать, что й11 и) =1/й( —,зп-'), О, 1 л=! (Эйлер). 68. Доказать асимптотическое равенство (2и — Ц!! (,2и)!1,Гпл ' 69.
Доказать, что У к а з а и и е. Воспользоваться разложением синуса в бесконечное произведение (см. (4)). 70. Доказать, что: 1 (1 —,-1/и)* Ц бесконечное произведение Г(х) = — Ц абсолютно х 1-!- х)!1 сходится при всех х ф т., т = О, -1, -2,..,;и 2) Г(х) = 1пп л-!сл х (х + 1) (х -!- 2)... (х -!- и) ' 3) Г(х+ 1) = хГ(х) (Эйлер). 71. доказать, что = ес'* Ц !1+ — )е д", где С Г(х -!- 1) и п=1 постоянная Эйлера (Вейерштрасс). У к а з а и и е. Воспользоваться результатом задачи 29.
72. Доказать, что Г(х)Г(1 — х) = л1!з1пкх. Указаиие. Воспользоваться результатол! задачи 70. 1 73. Пусть ц(х) = ~ ~— (дзота-4ункцил Р лана) и р„, и 6 М,— и,=! последовательные простые числа. Доказать, что (~х) = Ц (1 -,— '*„) л=1 х24. Бесконечные произведения ч — 1 74. Доказать, что бесконечное произведение П [1 — — ] и ео ,.) п=1 ряд ~ †, где р„ [и Е И) последовательные простые числа, рас- ~ рп' зз=1 ходятся [Эйлер). п! еп 75. Доказать, что последовательность хп = ' " имеет конечный и' ~з!з нс равный нулю предел а. Получить отсюда формулу Стирлинга и! = з12яп" но~хе о[1+ еп), Впз ее=О и — з ы7 У к а за н и е.
а, = хз П ' "' . Для нахождения значения а воспольХп п=з зоватьсн формулой Валлиса (5). 76. Пусть функции 1п непрерывны на отрезке [а; 6], ]1п[х)] < с, а < х < 6, и Е Н, и ряд ~ ~оп сходится. Доказать, что: 1) функция х'[х) = П[1+ 7п[х)) непрерывна на отрезке [а;6]; п=з 2) если функции 1„непрерывно диффереццируемы на отрезке [а; Ь] и ряд У,', х) +Х [*) равномерно сходится на [а;6], то функция Г[х) также непрерывно дифференцируема на [а; Ь] и оз р"[)=р[)~ 1 -~- Уп(х) ОТВЕТЫ 1. 1) Расходится к нулю; 2) расходится к нулю; 3) сходится.
17. 1) Нет; 2) да; 3) да; 4) да. 31. О. 32. Расходится к нулю. 33. 1/4. 34. 2. 35. 3/7. 36. а '"'. 38. Расходится к нулю. 39. Сходится. 40. Расходитсн к нулю. 41. Сходится при любых р. 42. Расходится к нулю. 43. Сходится. 44. Сходитсн. 45. Сходится. 46. Сходится при х > 1,. расходится при х < 1. 47. Сходится при х > 1, расходится при т, < 1. 48. Сходится при любых х ф — 6, 6 Е И.
Гл. д. Фуннционаленые последовательности и ряды 49. Сходится при любых и ф с+ й, й Е И. 50. Сходится при ~л~ < 1. 51. Сходится при ~х~ < 2. 52. Сходится при ~х~ > е. 53. Сходитси при любых л ф Л, й Е й. 54. Сходится при любых р и любых х ф нй., й б л. 55. Расходится. 57. Сходится, но не абсолютно. 58. Расходитсн. 59. Расходится. 60. Расходится. 61. Расходитсн. 62. Сходится, но не абсолютно. 63. Сходится, но не абсолютно. 64.
Абсолютно сходится при т > 1; сходится, но не абсолютно при 1/2 < х < 1; расходится к нулю при О < х < 1/2; расходится при х < О. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Кудрявцев А.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу. Предел. Непрерывность. Дифференцируегяость1' Под ред. Л.П. Кудрявцева. Мл Наука, 1984. 2. Никольский С.М. Курс математического анализа.
Т. 1, 2. -- 3-е изд., перераб. и доп. Мл Наука, 1983. 3. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. Т. 1, 2. Мс Физматлит, 2002. 4. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т. 1, 2, 3. Мл Высшая школа, 1988., 1989. 5. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.
9-е изд. Мс Наука, 1977. б. Фихтенгольц 11М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2, 3. 5-е изд. Мл Наука, 19б9. 7. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч. 1, 2. 4-е изд., перераб. и доп. --. Мл Наука, 1980, 1982. 8. Ильин В.А., Садовничий В.А., Ссндов БлЛС Математический анализ. Мс Наука, 1979. 9.
Зорич В.А. Математический анализ. Т. 1, 2. -- Мс Наука, 1981, 1984. 10. Рудин У. Основы математического анализа. Мс Мир, 19бб. 11. Полна Г., Сегв' 1'. Задачи и теоремы анализа. Ч. 1, 2. — Мл Наука, 1978. 12с Прудников А.П., Бричков Ю.А., Маричсв О.И. Интегралы и ряды. Мл Наука, 1981. 13. Сборник задач по математике для втузов1' Под ред. А.
В. ЕФимова и Ьц П. Демидовича. Т. 1, 2, 3. Мл Наука, 1981, 1981, 1984. 14. Бугров Л.С., Никольский С.М. Высшан математика. Задачник. Мл Наука, 1982. 15. Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций комплексного переменного. 2-е изд., перераб. и доп. Мс Наука, 1982. 16. Гюнтер Н.М., Кузьмин Р.О. Сборник задач по высшей матсмативе. Т. 1, 2. Мл Физматгиз, 1958, 1959. 17. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференпиальные уравнения. -- М: Наука, 1980. 500 Гл. б. Функииональньье последовагпельности и ряды 18. Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И.
Курс математического анализа. 2-е изд., перераб. Мл Изд-во МФТИ, 2000. 19. Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Решебния. Вгпсшая математика. -" Мл Физматлит, 2000. 20. Афанасьев В.И., Зимина О.В., Кириллов А.И., Петрушка И.М., Сальникова ТА. Решебпив. Высшая математика. Специальные разделы. Мл Физматлит, 2001. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ГЛАВА НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ГЛАВА 3 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 3 6. Определенный интеграл 87 3 7. Вычислевие площадей плоских фигур и длин кривых ....... 123 5 8. Вычисление объемов тел и площадей поверхностей.........
149 3 9. Применение интеграла к решению геометрических и физических задач 178 3 10. Приближенное вычисление интегралов. Оценки интегралов ... 212 ГЛАВА 3 НЕСОБС'ГВЕННЫЕ ИН2'ЕГРАЛЫ '3 11. Несобственные интегралы от неограниченных функций...... 238 5 12. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования 256 ГЛАВА Л ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 5 13. Свойства сходящихся рндов 3 14. Ряды с неотрицательными членами 3 15.
Абсолютно и не абсолютно сходящиеся ряды 3 16. Разные задачи на сходимость рядов 31 32 33 ~ 1 35 Общие приемы и методы интегрировании Интегрирование рациональных функций Интегрирование иррациональных функций Интегрирование трансцендентных функций Интегрирование разных функций 5 25 37 52 72 284 295 314 327 Оглавление 502 гллвл ь ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ 3 17. Сходимость и равномерная сходимость функциональных последовательностей 338 3 18. Сходимость и равномерная сходимость функциональных рядов 335 3 19. Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов . 384 3 20. Степенные ряды .
393 3 21. Ряд Тейлора 407 3 22. Тригонометрические ряды Фурье 444 3 23. Асимптотические представления функций ............... 482 3 24. Ьесконечные произведения 489 Список литературы 499 Учебное издание КУДРЯВЦЕВ Лев Дмитриевич КУТАСОВ Александр Длгитриевич ЧЕХЛОВ Валерий Иванович ШАБУНИН Михаил Иванович СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ТОМ 2 ИНТЕГРАЛЫ. РЯДЫ Редактор Е.Ю. Ходан Корректор Т. С. Вайсйерг Оригинал-макет Н.Л. Ивановой Оформление обложки А.Ю. Алехикой ЛР Н5071930 от 06.07.99.
Подписано в печать 25.11.02. Формат 60 х 90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Уел. печ, л. 31.,5. Уч.-изд. л. 34.,65. Тираж 3000 экз. Заказ 5е Издательская фирма "Физико-математическан литература" МАИК "Наука/Интерпериодика" 117864 Москва, ул. Профсогозная, 90 Отпечатано с готовых диапозитивов в ППП "Типография "Паука" 121099 Москва, Шубинский пер., б .