1610915390-52cbd25d82d9110658c00fb8dfb6bccc (Кудрявцев 2003 Сборник задач по математическому анализу т2), страница 7

7 5 (1+ хз7з)з72 + (1 2хз7з)г7з(1+ хз7з)г7з + С. 1 1 — 1 1 1 — 1~1 1 21+1 6) — 1п + — !п , + агс18 + 6 1+1 12 За+1+1 2кГЗ кГЗ 1 21 — 1 6 б + агс18 + С, 1 = кгхс + 1. 2кГЗ у'3 ,с„Г(2- хз)г 8х,зГ(2 -г- хз)а 4х 1 Г +1+1 1 21+1 6ГГ+хс 3 — 1п — — агс18 +С, 1= 6 га — 21+ 1 кГЗ кГЗ х Г 1 Гг + 21 + 1 1 2С вЂ” 1 З 1 — хг 2(уз+ Ц 12 гг — 1+ 1 2ъГЗ БАГЗ Ч хг 20. 9=0, д= —, Й=х1,х2с... 2 /1 г 7 с 14 1 з 7 1'+гх+х 21.Ц ( — х — — х + — х)1 — — 1п, ',,+ (, 9 54 81 ) 243 гг — 21х Ц- хг + агс18 + Сс 1 = ъ~Г+ хз. 14 21-'гх з 81 ГЗ Лх 22. Ц, зггГ+ хс + С; 2) — агссоз а + С; 6хс кГ2 хг -~ 1 Гл.

1. Неенределеннегя интеграл 3) агсяп, + С; х -Ь1 1х ж 1)г 3 +Зх' — 2, '-' — Зх-Ь1) х 2 х 23. х = Л + 1з, где Л вЂ” — действительный корень многочлена Реях) . 27. 1) — (Е(агсятп Зх; — ) — Р(агсяш Зх; — )) + С: 1 / 2) — — Р(агсяш лтТ вЂ” 4хз: — 1 -г- С; ттт1+ 25хт ' 41 т 41 5 т 41 1 4) — Р(;р: — „) + — Е~ ~р; — ) + С, гр = агсяп 1— 20~'54~'5 16хг ' *+1 —, 3 лй+,ГЗ1 2 4. Интегрирование трансцендентных функций СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ 1. Интегралы вида Рт1я1п х: соя х) г1х, (1) где Щи;н) рациональная функция перелгенных и и е, всегда люжно свести к интегралам от рациональных функций с помощью подстановки 1 = 1В'тхтт2), х Е ( — тг; я).

(2) Эта подстановка преобразует интеграл 11) к виду 24 1 — т дт 2~В( т; ~,,) (3) Подстановка 12) часто приводит к громоздким вычислениям, поэтому прибегать к ней следуег только тогда, когда не видно других путей к вычислению интеграла. Если подынтегральная функция обладает одним нз свойств: 1) Л( — яшх;соях) = — Д1яшх;соях); 2) 1т1я1пх; — соя х) = — Л1я1пх; снях); 3) Л( — яшх; — соях) = Л1я1пхдсоях): то для вычисления интеграла удобнее использовать соответственно подстановки: 1) 1 = соя х, х Е 1 — я/2; я,т2): 2) 1 = яп х, х Е 10: тг); 3) 1 = тях, х Е ) — т ~2:т(2). я1. Интегрирование трансцендентных функций В некоторых частных случаях вычисление интеграла (1) достигается другими приемами.

2. Интегралы вида / Й(яЬ х; с1зх) г1х, (4) где 77(и;и) - — рациональная функция переменных и и и, всегда можяо свести к интегралам от рациональных функций 2Г'( ",-:",'-) ",- с помощью гиперболической подстановки 1 = 1Ь (х/2). Иногда удобяее использовать подстановки 1 = яЬх, 1 = сЬх, 1 = 1Ьх или другие методы (см, примеры 3, 6, 7). 3. Интегралы 1яй хсЬ хйх~ р~ч ~ С1~ (5) подстановками 1 = гйп х или 1 = соях и соответственно 1 = яЬх или 1 = сЬх всегда можно свести к иятегралаья от дифференциального бииома (2 3, и. 3). 4.

Интегралы вида ~ Рн(х') (х) йх, (6) где Рн(х) миогочлеи степени п, а Д(х) одна из следующих функций: е *, яшах, соках, 1вх, агся1пох, агссояох, агс18ох, агсс18ох, о Е Й, вычисляются с помощью, вообще говоря, многократного иптогрироваяия по частям. Методами интегрирования по частям и замеяы переменной интегрируются и некоторые другие трансцендентные функции. 5. Интегралы от трансцендентных функций часто яс выражаются через элементарные функции.

К таким интегралам отяосятся, например, следующие часто |зстречающиеся интегралы: (7) / — , :х Е (О; 1). (8) Первообразяые (7), обращающиеся при х = О в нуль, обозначаются соответствепяо Ей(х) (интегральный синус) и Фо(х) (интеграл вероятностей). Первообразяая (8), стремящаяся к нулю при х ь +О, обозначается 11(х) и называется интегральным логарифмом. ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ йх П р и м е р 1. Найти иитегра ч / Зсйпх+ 4 соя х ж 5 м Положим 1 = 1я(х/2), — л < х < л: тогда 21 1 — Р 231 яшх =,, соях =,, ах = 1 ж1г ' 1-Ьге ' 1-Ь Р Гл. 1.

Неопределенный интеграл и, следовательно, = 2~~ г М Зв1пх+ 4совх+ 5 l 61+ 4(1 — яг) + 5(1-Нге) 2вшх-ь Зсовх Пример 2. Найти интеграл ~ ., ', с)х. япг х сов х Ч- 9 сова х А Подынтегральная фуюсция обладает свойством Л1 — я)п х; — сов х) = В1вш х; соя х). Поэтому примецнем подстановку 1 = гп х ( — и/2 < х < н/2). Разделив числитель и знаменатель подынтегральной функции на сояз х, полу- чим 2сйпхс-Зсовх пс Г21ах+3 Г214-3 в1пгхсовх+9соввх / сагх-Г9 / яд+9 = 1п(1~ + 9) + вгсга — + С = 1п(гаях + 9) + агс1п + С.

а 3 3 Пример 3. Найти интеграл / сЬзхяЬвхе)х. а Подынтегральная функция обладает свойством В(вЬ х; — сЬ х) = — Л(яЬ х; сЬ х) . Поэтому, примення подстановку 1 = вЬ х, получаем ,1Я 18 1, /~1+ 12 ) 18 1 1 /(1+12)18 1 яд 1 1 д 1 = — + — +С = — яЬ х+ — яЬ х+ С.

и 9 11 9 11 дх Пример 4. Найти интеграл д1 л' я1п х сове х а Используя тождество 1 = яш х + сова х, получаем 2, =/ ',' д=/', Н 1' Йх Гв1п т. -В сов х Г в1пх Г дх сйпхсовгх д сйпхсовгх д соягх й яшх дсовх Г йсовх 1 1 1 — соях — = — +-1п +С. а совах й 1 — соягх соях 2 14-совх С Пример 5. Найти интеграл / соя" хс)х. 1-и сов 2о а Используя дважды форлсулу сояз о =, получаем ) 1 ч- сов 2х х вш2х 1 г14-совйх и, Зх сйп2х сйп4х 4 4 4)' 2 8 4 32 г 2вЬх -~- 3сЬх Пример 6. Найти интеграл 1 ', ах. 4вЬх Ч- 5сЬх 44.

Интегрирование трансцендентных функций а Представим числитель подынтегральной функции в виде линей- ной комбинации знаменателя и производной знаменателя; 2 яЬ х + 3 сЬ х = о(4 яЬ х + 5 сЬ х) + о14 сЬ х + 5 яЬ х). Для о и р получаем систему уравнений с 4о+53 = 2, 5о+13=3, из которой находим о = 7/9,, /4 = -2/9. Следовательно, /: 2яЬх ж 3сЬх 7 Г 2 7 4сЬх -~- 5яЬх 1 4яЬхж5сЬх 9/ 9/ 4яЬхжбсЬх 7 2 Гй(4яЬхж5сЬх) 7 2 = — х — — ' = — х — — 1п(4 яЬ х + 5 сЬ х) + С. А 9 9/ 4яЬх+ бсЬх 9 9 г сЬгх Пример 7. Найти интеграл / — ' в1х.

яЬгх д Воспользуемся формулой интегрирования по частям, положив сЬхух и = сЬх, с/и = ,1г . Тогда гдяЬх 1 Ни = яйхс)х, и = / ,/ яЬгх 2 яЬгх ' сЬех сЬх 1 / дх Нх= — ., + яЬгх 2яЬгх 2/ еЬх' =-/' йх 1 / дх /дФЬ(х/2) х = 1п 1Ь вЂ” + 2С. яЬх 27 яЬ (х/2)сЬ (х/2) д 1Ь (х/2) 2 Следовательно, йх= —" ,+ -1п 1Ь вЂ” ' +С. А сЬх сЬх 1 х яЬгх 2 яЬех ° е т.е г. е.г* '.е /, Дх лу от дифференциального бинома 1 — Я/Я г1 12) — Я/Я Н Заметим, что число 1сьь '2 3, и. 3) т -'; 1 — 5/3 + 1 2 +р= и 2 3 является целым, и поэтому подстановкой — 1 + 1 г = ия интеграл приводится к интегралу от рациональной функции, причем в данном случае к интегралу от постоянной. Однако для вычисления интеграла удобнее применить подстановку 1 = 1ях: = /' ' дх = /(13х)-Я/'д1бх= = — - Щ х) "з + С.

А 2 Гл. 1. Неопределенный интеграл 56 Пример 9. Выразить через интегральный логарифм !Цх) и элес йх ментарные функции интеграл д! „, х < 1. А Воспользуемся формулой интегрирования по частям, положив йх и=х, йс= х!и х тогда получим йи = йх, Следовательно = — — + / — = — — +!ИХ)+С А йх х 1 йх х !пох Ь1Х л' 1пх 1пх П р и м е р 10. Выразить через интегральный синус В! (Х) и элементарные функции интеграл / В!(Х) йх. А Применим формулу вычисления по частям, положив и = В!(Х), йс = йх; тогда йц = йх, о = х. Я!П Х х Следовательно В!(Х) йх = х В!(Х) — / яш х йх = х В!(Х) -!- соя х + С. А ЗАДАЧИ Найти интеграл (1 — 6). 1.

1) / яшхя!пЗхйх; 2) / я!п2хсоя4Х11х; 3) / сояхсоя4хйх; 4) / я!п(ЗХ+ 2) соя(х — 1) йх; 5) / я!их гйп2хяшЗхйх; 6) / сояхсояЗхсоя5хйх; 7) / я!па хсоя!Зх+ Ц йх; 8) / сояз2т.соя~ Зхйх. 2. 1) /яЬхяЬ7хйх; 2) /яЬзхйх; 3) /сйхсЬ2хсЬЗхйх; й яЬгх + сЬгг; 3. 1) / ""х й 2) / "" Зх й 3) /' "е 3* йаг 4) /'соа * й, 4. 1) / соязхйо,; 2) /я!п~хсоя" хй:с; 3) / соя'хаша хйх; 4) /соя 2хгйп 2хйх; 5) /соязхсоя2хйх; 6) /сояяЗхяшхйх 44. Интегрирование гарансцендентних функций 57 5. 1) /сЬьхяЬхйх; 2) /яЬ2хсЬзхс/х; 3) /яЬ4хсЬ вЂ” с/х:, 4) /я14 хсЬ2хс/х 6.

1) / вшвхсовзхе/х: 2) / яш44хг/х; 3) / соль 3хг/х; 4) / в1п4 хсояе х4/х. 7. ДЛЛ ИлтЕГРаЛОВ,7„= / ЯШ" ХСОЯ'пХ4/Х, П,т ~ Р/, ДОКаЗатЬ рекурреитиые формулы ып" хсов~' х п — 1 при + и — 2,пг~ и+т и+т в1п"''хсое'и 'х т — 1 1п,т + ~пап — 2 и+т и+т и с их помощью вычислить интеграл / яш хсоя4 хох.

Найти интеграл (8 — 19). 8. 1) / вЬ22х сЬ22х с/х; 2) /сЬ4х 4/х; 3) / яЬвх сЬ4х 4/х; 4) /яЬ4 х с142 ~ дх, 2 2 9.1) /,; 2) / йх; 3) / „,; 4) /, 4/х. ,/ вЬхсЬгх ' „/ вЬгхсЬгх ',/ с!44х ',I сьгх ./ к1444х ' ) ~ ' гх ' ),/ янгхсов'х' 4) / ., ',; 5) /;; 6) / ' „,х 4/х; 7) /48вхг/х; ,/ Ьех ' ),/ Ь ' ) / /1 4-сЬ*)2 ' 13. Ц / . 2) 4 3) /' ' а' / (Зсовх — 1)2 ' / вшх(1-~-соях) ',/ сов2х /' 2ягпех-усов хяш2х, Г яЬ2х-~-4вьх в1п х+Зсовгх l сЬгх — ЗсЬх яЬ2х -Ь ЗвЬх ./ сЬех + 2сЬ2(х/2) сов х дх ) /' в1п 2х дх япех — 6гйпх+6' ./ 3+4впех' /' соя'х -~-соя~х ) /' сова — совЗх ,/ япех+япгх / 1 — в1п х Гл.

А Неопределенный интеграл дх вЬ 2х дх ') ./,Ьг +З.Ь .' О) ./ (.Ь*+1И.Ьв*-.Ь*) ' впв ,/ 18х — 3',/ совх+япх х -Ь а яп— 2 4) / и'совх с 6'в/пх лх аз + 6~ ~ 0; 5) / 4сЬх — ЗвЬх ил / асов х -Ь Ьяпх / 2сЬх — вйх 6) / ' 7) / '' Йх аг+6в фО. ,/ 1 — СЬх,/ асЬх+ ЬвЬх 10. 1),, '' .,; 2) / дх г дх 2совгх+ япхсовх+ вшвх ' / сов2х — яп2х ' йх ~ йх н 4совгх — 2вш2х Ьяпгх ' л 5+сингх 2 ' дх г Их 2 -Ь 3 яп 2х — 4 сове х ' д асовгх -~-Ьяп2х-Ь сяпгх ' 7),,; 8) / ЗвЬ'х — 7вЬхсЬх-'гЗсЬгх ' / 10сЬгх — 2вЬ2х — 1 ' 9),; 10) Их Г йх 4ЬЗвЬвх' д 1 — бвЬ2х — 37сЬх 17 1) /' х 2) / 4Ьхдх ,/ Сб гх -с 418 х ' / (СЬ х -Ь 2)г / 1+сбх л 2) / совхйх 3) / яп2хдх ,/ яп 2х ,/ япвх+соввх ./ яплх+совгх /... /, г „...