1610915390-52cbd25d82d9110658c00fb8dfb6bccc (Кудрявцев 2003 Сборник задач по математическому анализу т2), страница 6

А 2 1+12 2 )ВХ ° р р В.н.й ' )2 + *))2 — )Р с „,, „„„р„„р„рр„„„й „„„р„,„„, „„ к виду 11)) '1)) 2 ж х 12 — х) Подынтегральная функция является рациональной относительно переменных ) ))з — хз 2+х Следовательно, в данном случае и = 1, рг = 1/3, а = -1, Ь = 2, с = 1, а) = 2. Поэтому полагаем — з 2+х Гл. й Неопределенный интеграл Таким образом, "+*+* 4.=/ "Л =) )1 — 1)ро= .,т-,;;4- Пр „4.

Н.Р Г 12хг -Ь 16хг-Ь 9х+ 2 41х . 4*2+4 1-2 ° 2 РР« 2)4), Р 1 Ргь иметь вид 12хг -)- 16а: + 9х + 2 С«ЫГТБ Т 2 = )л . 4 г, 4 о)~/Ы 4 4* 4 2 р « ) Для нахоркдсция коэффициентов А, В, С и числа Л продифференцируем обе части этого равенства. Тогда получим =)24 рг)44. 44*424 + )Ах + Вх + С) + рре 4 2 ° Р»: Сре«442 Рн Р 12хз + 16хз + 9х '- 2 = = 12 Ах + В) (4хз + 4х + 2) + (Аха + Вх + С) (4х + 2) + Л. Из равенства многочленов следует равенство коэффициентов при одинаковых степенях х: 12.4 = 12, 10А+ 8В = 16, 4А+ 6В+ 4С = 9, 2В+ 2С+ Л = 2. Решив зту треугольную систему уравнений, найдем .4 = 1, В = 3/4, С = 1/8, Л = 1))4.

Следовательно, 12х« -Ь 16х -Ь 9х Ч- 2 = (* -'; — -)14 44*-';2- — ) ° «пт р Р 41=2..41« ионному интегралу 15 из 91. Окончательно получим 12хг+16хг -ь 9х -ь 2 4 — ) ° )2кр«4 '4*' 44*42)-;-С. 8 дх Пример 5. Найти 21 1' 2) 2.Ф вЂ” 2 53. Интегрирование иррациональных фрннциа оС -)-33 а Положим х = ; тогда 1+1 1о1+Д) 42133-1) (х 42)1 -';)3 3-2 сС ) Цс сс+ 1)г 2(сИ Ч- )3) — 2 (о3 ж 33) (3 -~- Ц -~- 5 (3 -~- 1) 2х — 2х+ 5— (1ж 1)г (2ог — 2о ж 5) 32 ж 2332 — 2)3 ж 5 (с+ 1)2 где с 2о33+4 = О, 4о)3 — 2о — 2Д + 10 = О.

Получившаяся система имеет два решения: (2; — 1) и ( — 1; 2). Возьл)ен|, например, о = — 1, )3 = 2; тогда 2 — 1 2 — х — 3 631 х=, 1=, а)х= 1+ С 1+ а ' (1+1)2 ' 31 -)-6 г г х +2=,, 2х — 2х+5= Заменив в интеграле переменную х на переменную 1, будем иметь 63х 1 3 ~1+1~41 )Ф ) 2 3 — 2 3 3) )3+2) сх ) При 1+ 1 > О, т. е. при х > — 1, получим 341 1 3. 43 3 3 (12 Ч-2)С))12+ 1 3 3 (Сг-~-2)3С)Г+Т Первый интеграл подстановкой иа = 1з + 1 приводится к интегралу 1 3' 423 3 3 и'+1 Для вычисления второго применим подстановку Абеля С63с+1)) 1) сс3г+1 откуда 2 2 с~112 + 1) = 1з, 1г + 2 = Дифференцируя равенство М3з + 1 = 1, находим Йо4Р+1+иаИ1 =Ж) с)32 +1 1 — ог ' 1 г )3о и, следовательно, второй интеграл приводится к виду — — 31 3,/ 2 — иг Таким образом, 63х 1 1 сс2-~-о = — — агс13 и — 1и + С.

)Е 2) 23 — 2 3 6'2 Гл. и Неопределенный инплеграл Возвращаясь к переменной х, получаем 21х ) 2+2) 2 ' — 2. 1-2 1 '2 ' 2 + б 1 2)2 2 + 2) + 2 = — -агс18 ' ' — 1п + С. 3 б 2 '2)2.' — 2.2Š— 2 При х < — 1 аналогично можно получить тот же результат. А йх П р и м е р 6. Найти интеграл ,' )2. „)) бг 1=2 П), . 1=22, у йх — — — — — --.й с— = — — с1Ь)л+ С' = )2 ))ППСП Н 21РРбб 21 2) б 'ПГЛ 2 '+б бб 8е12н 84 8)2х -1- Ц йх Пример 7.

Найти / 42 Этот интеграл имеет вид (7), причем а = 6 = 1) т = О, и = 4, р = — 14)4. Так как +р= — — — 2 Вб и ,1 4 тоб применяя подстановку 1+ х 4 = 14, находим )1+ — 4))/4 )14 1) — ),)4 =1-4~14 — 1))74, йх = -4з(24 — 1)-'~лй1 4лГ+ х' Следовательно, Я+ —.=-Л'-"' = — 'У-"' '~-". ) = 1 1 С= 1 = — 1и — — -агс181+ С = — 1п — -агаси +С.

А 4 1 — 4 2 4 Ячхл х 2 х ЗАДАЧИ Найти интеграл (1, 2). 1 1) ) ПЛхйх 2) ) 1 — 2пЛх л 8) ) плх-~1+1 л 1 1+ лх ' Л 1 4- 21,)х ' и' /хн 1 — 1 4) ~х Плх а) . ') 1 з х йт 6) Г Ъ:ь 21 *' ' .1 П.— " 1,42) .) 2. 1) / )1х; 2) / ; 3) / х фх — 2 б)х; ')*4г:,~'* ' И:.;,а 43. Интегрирование иррационалвнвьх функция 4х /' дх о)*- р) -,р' ")*-.)-).-ь) — ' 2. Л---.,-.--.,- /Е)*;;У)*-.)Ь)*-Ь) )4, ...Л рщ, ° ° ьу щ .р...* „= ЛЛ),—,~').-ьг,р,ь 6 У, а, Ь 0 Н, при условии (р+41)/и Е Я является элементарной функцией.

Найти интеграл (4, 5). 4. 1) , ; 2) , '; 3) /',; /' ',; /', гь+ ЛХ' 1 1+ )е ) Еь*' ьи-,Т-,2 ь Йх ) / 41х ) / 4х (02х ~- 'ч)хь)3 ' ) х + 2ъ'х3 + 2Ухь,/ 21)рх — ь)рх — льу)х 1 — х-)-х 4 2) / 2х — Зх ~ 3) / х' уьх — ),* 47ТЛ' ) х3->2х +х — 1 „, /х — бх -)-11х — 6 ") /' ьтх; 3) 44х; 2* — 1 32 ьх+ 3 6) / 3 — 4 рьль: У) / .РР42 -124; 8) / . Т46, Г аьх -)- Ььх -р с) 6 Лр у * р 1 ' 46 66, ) -+ь' ° .

ьр ь 62» РГ *" дх 23 * р 2„=) ', ье, 8+ 6 а ° ргурр *у 62 уу ,У„= — ~х, ах +Ьх+с — — (2ы — 1)1„1 — с(п — 1)Юо гь~ /, п — 1 г Ь па ь 2 Найти интеграл (8 — 14). 8. 1) "; 2) /; 3) ),~ ье +Ь х Их 9.1), х>0; 2) / ', т> — 1: 4х /' 413 ) 33 У. Гь ' " 3) х>0; Е '1+2* 2*1 10.

1) ь,; 2) /,; 3) / ". / (хг-р 4х "; 7)322 у (хг+ + Ць)2 т /хг Цу)2 ' (х+ Цех (хг+ х+ Ць)3 уЗ'. Интегрирование иррациональных функций 4) /Кх — хздх 20. При каких рациональных значениях параметра () (лнтеграл т(гГ+ хп а(х является элементарной функциейГ 21. Для интеграла,У „= / хго(ах" + Ь)Р(4х доказать формулу Я(го+ 1+ г)Р),7щ р — — хж ' н(ах" +())" ' — б(г)1, +1 — и) 7ж — и,р х (1х и с ее помощью найти интеграл й( 1',Уà —; 22. Найти псевдоэллиптический интеграл: (1х )' (хг — 1) (1х )' (х — Ц (1х 1 /; 2) (; 3 .,ъ-т) "( (Ф,(),:-тт ' )'(.,(),г-гг-гы (х -~-1) (1х , х > 1.

23. Найти замену переменной, с помощью которой интеграл / Л(х; ЬгРз(х)) (1х можно преобразовать в интеграл / Л,(П,У'Рл(1)) й;. Л(х; у), Ль(й и) — рациональные функции, Рз(х), Рл(х) — много- члены третьей и четвертой степени. 24. Доказать, что с помощью подстановки вида х = (о1+ Д)((1+ 1) интеграл /Л(х: ~/Рл(х))Дх может быть преобразован в интеграл / Л) (й А(1 + Льтг)(1 + Лг1з)) гМ. 25. Доказать, что любой интеграл вида / Л(х;,/Р~Я) 0х может быть выражен через злементарные функции и интеграл / Л,(С-') йг где Л)(и) — рациональная функция. 26.

Доказать, что интеграл Л(х )а(х А = ь1, )л,( > )л,) > о, с помощью одной из следующих подстановок уГЛ,~х = 1, 4~Л,~ = К- Е', ,4Л,~ = л,((') г „аг1 ),ь (пе. а-()а-( Ф) ' Гл. 1. Неопределеннн)й интеграл 27. Выразить чсрсз элсвиснтарныс функции и функции Е(р; й) и Е()р; й) эллиптический интеграл (см. (13), (14))) 1) ',; 2) 96 '- 9 - *7' .) Г 6И-9 3) '; 4) 1 l' 5); 6) ':9 + 9л -~ ' ) С)т.

' ОТВЕТЫ 1. 1) х — 24/х+21п(т/х+Ц+С; 2) 2т/х — х — 1п(26/х+1)+С; 3) х + 4н/х + 1 + 4 1п ~ т/х + 1 — 1~ + С; 4) — (ъ т~~ — 1 — х ) — — 1п ~ ~/т-' — 1 + х ~ + С; 2 2 5) — 1п + — агс18 3 Гг — 21-Ь1 т/3 Я Гг — 1 ' х — 1' 6) — + — 1п — т/2агсгд ' + С, 416 1 Г -)- „Г214-1 1 — 1 4Г4 — х 14 ) 1 6/2 Гг 6/21 Ч- 1 6/21 2. 1) 2г)сх+4+21п +С; 2) 1п~1+31з/х~+С; 9/х+ 4 4- 2 3) —, (х — 2) (5х + 8) Кх — 2 + С; 4) — ~1 — 21 — 1п ~1 — 1~ + — 1п(1 + 1-ь 2) — — агсгк ) + С, 9 214-1 7 2 з/7 т/7 1 — з/х+ 2. 5) — (х — 2).д'т~ — 1+ — 1п ~х+./хг — Ц + С; 6) — ( ) — 7( ) -9С; 7) -6~Г С; 8) " и -'+С 4. Ц зз/х — 6,'/х+6! (1+,в/х)+С; 2) 76/5) ВГ з 2 — +6 в;, 6 Г вл-+С. 3) (3/2) зз/2х х+ 1 + 3 в/2х/+ 1 + 3 1п ~ 4'2х + 1 — 1~ + С; 2 4 +С )1+ 6 е)г 1+ 5ГЕ 5) 1п ~х~ — — 1п(1+ в/х) — — 1п(1 — 6в/х+ 2 та/х) + 2 4 3 1-46, + агсгк + С; 2н/7 9/7 6);х+ 3 зх+ лх+ 3 ох+3)их+ 12 1)4~1- )зх~- 5 — — 1п(1 + 2 фх + 2 в/х) — — агс18 (1 + 2 'г/х) + С.

40 20 53. Интегрирование иррационахвнмх функций 2зГ5 21 -~ кГ5 -Р 1 2(41 — 3) с-2— 1п + ., +Сс 1= ух.'+х — х; 25 21 —,Г5 к- 1 5(гз + г — Ц е 2 -,'.1 ~2 'гс с усс ~:,-О; 6) +, + — 1п)1+1( — — 1п)1 — 1(+ 5 1 17 3 18(1-Н Ц 6(з ц- Ца 108 4 1б ) ~ С~ С Р г гп + 1 27 ' х -1- 1 16. Ц вЂ” (х+ 2~х — кГх+ хз — 1п(~х+ ксгГ+ х)) + С; 2 1 кГ2х 3 /2~ 3 1 С +С= 1+кг2х — 3 гГ4 — 2х 17 Ц 6хгге + Зхггз + 2хгга + 61п ~хгге 1~+ С.

2) — хзге — 4х'гз + 18хгге + Зх'гв(1+ хгрз) ' — 21агсг8 х "ге + С; 6 5 3) (1 + г/3) — 3 + С. 4) (1 + г/4) — з (1 ц 174) — з 2 9 2 18. Ц вЂ” (х+ Ц~~гз — — (х+ Ц~с~ + — (х+ Цзгз + С (1 +, г/4)зз/з (1 + .сс4)со/з + (1 + .г/с)г!з 13 5 7 — 3(1+ х~са)~г~ + С; 3) (1 + хгГс)гГз 3(1 + хгГс)сГз + С. 7 4) 6 (1+ здгз)г!г 18 (1+ ггз)ага + 6 г!з(1+ багга)г!г+ С.