1610915390-52cbd25d82d9110658c00fb8dfb6bccc (Кудрявцев 2003 Сборник задач по математическому анализу т2), страница 5

Интегрирование рациональнизх функций ~ хз + 2х + 4 Г х' — 2хз + 12хз — 20х + 10 с/х: 6) / с1х. +Цз с/.: 6) / ( Ц(хз 2 +2)з 9. Ц 1 х(х-2)4х з, 2) /' нх 3) г "х / (, Цз(,з ЬЦз' / хе+2,л+хз' / ( з ЬЦз' Г (Зх'+4)4х ) / х дх ) / х(2х +2х — Цдх / з(з1Цз ' / (.з Ц ' / ( Цз(хз с 1Цз' с/х, 8 / /' (1 — 4хз) с/х 1' с/х "./ ( +х+.з)з 10. Найти рациональнучо часть интеграла; 1) 2) / 3) (хз+ х -Ь цз ' / (хз — цз ' / (хе+ 2х+ 10)з ' (хз 4- Цз ' ),/ хз(2хз — 3)з ' ~ „/ (хз -Ь х+ Цз 11.

Найти условие, при котором первообразная данной рациональной функции нвлнется функцией рациональной: ц ' ,, Р„(х) многочлен степени и: Ра(х) (х — а)" » с 3) аз х + Ьз х + сз а ~ 0 Ьз ~ 4а хз — 2хз+ хз ' (ах'+ Ьх+ с)з ' ОТВЕТЫ 1. Ц вЂ” 1п +С; 2) —, 1п(х — 2)+ — 1зз)2х+1)+С; 1 х — 2 2 1 3) 1п(х + бх+13) + — агс18 — + С; 4) х+31в — + С; 2 х+ 3 х — 3 5 2 х — 2 5) -х' + — 1п ~х — 2~ + — 1п ~х + 2~ + С; 2 2 2 6) х+ 31п(хг — 6х+ 10) + 8агс18(х — 3) + С. ) 1 ~(х — Ц(х -Ь 3)~~ 2 (х — Ц'(х — 4)з 12 (х+ 2)з ' 5 (х+ 3)з 1 (2х — Цз(2х — 5)з 1 ~(х — 2)з(Зх — Ц'~ 8 2х-ЬЗ ' 15 (хн- ц'з 5) 1 1 (Зх -ь ц'(2х — 3)з + С 6) )п (х — Ц + ЗЗ хп ' (х — 2)(х Ь 2)з з з (х+ 2)з (х - 3)з~~+ 2~з 60 (х + 3)з(х — 2)з 10) — + 1п + С.

х х(х — 2)(х + Ц фх-' — Ц 2 х -ь 2 Гл. 1. Неопределенный интеграл 3. Ц вЂ” + — х +6х +30х — +721п~х — 2~+С; х' 4 л г 27 4 3 х — 2 2) 3 (х+ Ц ' + 1 1г1 ~(х + Ц(х — Ц'~ + С; 3) — — (х — Ц '+ — 1п + С; 4) -(т — Ц -'+ !п + С; 2 х 5) х 8(0х +12х+о) 8!п~х+ !~+ С 3(х + Цг 6) — + 2х — — (х — Ц ' — — (х — Ц х + — 1п ~(х — Ца'(х + Ц ~ + С 2 4 4 8 7) — -х — — (х+ Ц + — 1п ', +С; 1 1 2 г 1 (т — 2)(х->Цн 2 3 36 х"' 8) ', — — 1п ' +С; 16 — 21х — 6тг 3 х — 2 250(х — 2)(х+ 3)г 625 х -1-3 9), — — 1п +С; 8(1 — хг)г 16 1 — х 10 — ( )( ) С. 4(х -~- 2)(т.

-~- 3)е 8 (х -~- 3)" 1Ц вЂ” +!п~х — 1~+С; 12) — ' „+ — 1п ' +С. 4 ' 8(х — 1)(х+ Цг 16 х — 1 4. Ц вЂ” 1п и ' + ага!8 +С; 1 х +4х+4 2 2х+2 14 4хе+ 8х+ 7 7тгЗ АЗ 2) — !п, + — агс18 + С:, 1 х -и2х-~-1 1 2х — 1 х — х-н1 нг3 тГЗ 3) — 1п(хг + 2) — 2 1п ~х — 1~ + — ага!8 — + С; 2 ъг2 хГ2 4) — — — 1п ~ хе + 2 ~ + С; 3 3 5) х — — !п~х+З~ — — 1п(хг+х+Ц+ ага!8 +С; 18 3 г 5тгЗ 2х -!- 1 7 14 7 ГЗ 6) х — — 1п(ха+ 2х+ 2) — 21п)х+ 1) -~-Загсг8(х+ Ц + С; 2 хг 1 (х — Ц" 7) — + х + — !п „вЂ” 3 ага!8 (2х — Ц + С; 2 2 2хг — 2х+ 1 х х — 4т4-5 8) — — х + !п ' + 4 ага!8 (х — 2) + С. 2 )х-~- Ц 3 1 1 5. Ц вЂ” 1п ~ х — 1~ + — 1п ~ х + Ц вЂ” — агссц х + С; 4 4 2 х+1 1 2) -х+ 1п — + -ага!8 х+ С; х — 1 2 3) — !п ~х — З~ — — !п ~х — Ц + — 1п(х + 4х + 5) + 1 1 г 52 20 65 + — агсг8 (х + 2) + С; 130 4) 21п)х — 3) — 1п)х+ 1( — — !п(Зхх — 4х+ 6) + 2 Зх — 2 + агс18 + С; тгГ4 /Т4 у 3.

Лнтегрироеание иррациональных функций й 3. Интегрирование иррациональных функций СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ Некоторые часто встречающиеся интегралы от иррациональных функций можно вычислить методом рационализации подынтегральной функции. Этот метод заключается в отыскании такой подстановки, которая преобразует интеграл от иррациональной функции в интеграл от функции рациональной. В этом параграфе указываются подстановки, с помощью которых такое сведение удается осуществить для некоторых важнейших классов иррациональных функций.

Через ль(х(,хг,...,ха) будем обозначать функцию, рациональную относительно каждой из переменных хы хг, ...., х„. Например, = Л(х; т((х; тУ1+ хз), Ьк(г1+ г так как иррациональная функция является рациональной х'+,/х 1+ 1+а относительно переменных х( — — х, хз = т((х, хз = ъ'Г+*х. 1. Интегралы вида 1'(.: ( *;~)"' —: (:.*;~Г) "' где п Е М, рыра,...,р„Е Ц, а,,б,с,д Е гг, ай — Ьс ф О, подстановкой ах -(- Ь ех ь д где тп общий знаменатель рациональных чисел рыра,...,ра, приводятся к интегралу от рациональной функции.

2. Интегралы вида /л(к;О: ьйь((ь, г °, 6 — г ЕО, (2( могут быть сведены к интегралам от рациональных функций подсгпаиооками Эйлера; Е 'ьй+ .=ь~еаьг ~(,; + ь ь и = ь..~ ь, О, . г; О *Г(Ь г* е ч = Ь( — *,( Ч *'ьыл =ьы — *г(ь где х( и хг - различные действительные корни квадратного трех- члена ахг + Ьх + с. 13наки в правых частях равенстн можно брать в любых комбинациях.) Подстановки Эйлера часто приводят к громоздким выкладкам.

Укажем поэтому другой способ вычисления интегралов 12). Подынг Ы г(*:.лг*'ьг ь ( ьг Гл. 1. Неопределенна)Л интеграл (4) совпадают или отличаются только множителем, следует представить в виде линейной комбинации двух интегралов ) 2х -)- р) дх дх и ( г ) )ет-,),~г ) (.г ), ))гпо))/г Первый интеграл берется подстановкой и = хз + рх + д, второй подстановкой Абеля 1=) ЯГг* ° 1)'= сводится к интегралу от многочлена. В общем случае, если р ~ 1г/а, применяется подстановка о1 -Ь Д 1+1 зованиями всегда можно представить в виде суммы Л~)х) + Л ~ ) Ыту, где Л) (х) и Ла(х) .-- рациональные дроби. Тем самым интеграл (2) можно свести к интегралу от рациональной дроби Лэ (х) и к интегралу вида дх Лз(х) Представив рациональную дробь Л) (х) в виде суммы мпогочлепа Р„(х) и элементарных дробей, приходим к интегралам следующих трех видов: Ри(х) дх (3) дх а-44<6. (6) )'~ ) еелн+ Для вычисления интеграла (3) удобно пользоваться фора|улой а(*) рое число.

Дифференпируя обе части формулы )6) и затем умножая 'тй+, г дим Л и коэффициенты многочлена Я(х). Интеграл в правой части формулы (6) линейной подстановкой сводится к основным интегралам 14 -16 из 2 1 и, следовательно, является трансцендентной функцией. Формула (6) позноляет чисто алгебраическим путем найти алгеба).)'Ы+бге(3). Интеграл (4) подстановкой 1 = 1)(х — о) приводится к интегралу (3). Интеграл )5) в случае, когда квадратные трехчлены ох +Ьх+ед х +рх+)1 уЗ.

Лнтегрирование иррациональных функций ко второму подстановки 1 = рсЬи, сова ' и к третьему — подстановки 1=р18и, 1=рз)хи. 3. Интегралы вида /'хв*( Р+Ь) х, (7) где и, Ь --. действительные, т, и, р -- рациональные числа, причем а ф О, Ь ф': О, п ф О, р ф О, называюг интегралалги от дифференци ль- ного бинома.

Эти интегралы сводятся к интегралам от рациональных функций в следующих трех случаях: р -- целое число, тп -~- 1 целое число 18) и т+1 -'г р -- целое число. где о и Д подбираются так, чтобы в квадратных трсхчлснах хз ч- рх + у и аха ч- Ьх + с исчезли члены, содержащие 1 в первой сте- пени. При таком выборе чисел о и,З интеграл (5) сведется к интег- ралу вида РЯ дь Иг + луп ЪЯ2+ где Р(1) — — многочлен степени 2т — 1 и число Л ) О. (Если р = Ь,1а, то уничтожение членов первой степени достигается проще: линейной заменой х = 1 — р!2.) Разложив правильную рациональную дробь Р1х)1г(1з + Л) на эле- ментарные дроби, придем к интегралам 1 дь )' д1 (1г+ л)ь4е1'-'.ь г й (1г+ л)ьигвГХ г Первый интеграл вычисляется подстановкой иа = в1з Ч-г, второй— подстановкой Абеля и = ("и' в1а ++ гг) ьгвь"-+ г Для вычисления интегралов вида (2) часто удобно использовать триго- нометрические или гиперболические подстановки.

Длн этого, предва- рительно выделив полный квадрат в трехчлене охг + Ьх + с и сделав соответствующую линейную замену, приводят интеграл (2) к одному из следующих видов: / )т(И л/р: '— 1х) д1, / хь(1; л/бг:рг) е11, / Ц1; л/ьг + рг) дй К первому интегралу применяют подстановки 1 = р з1пи, 1 = р соаи, 1 = ртйи, Гл.

1. Неопределенный интеграл 40 В первом случае применяется подстановка х = 1 , где Х общий знаменатель дробей гп и п; во втором и в третьем случаях - . соответственно подстановки ахн+Ь=Р и а+Ьх "=Р, где е -- знаменатель дроби р. Если ни одно из условий (8) не выполняется, то интеграл (7) не может быть выражен через элементарные функции (теорема Чебышева). 4. Интегралы вида / Л(х: ~/Рн(х)) дх, (9) где Р„(х) мпогочлеп степени и > 2, как правило, не выражаются через элементарные функции и в этом случае при п, = 3 и п = 4 называютсн эллиптичеснимщ а при п > 4 гиперэллиптичесними.

В том случае, когда интеграл (9) при и = 3 и и = 4 являетсн элегиентарной функцией, он называется псевдоэллиптичесним (см. задачи 22). Эллиптические интегралы играют большую роль в математике; в частности, длина дуги эллипса вычисляется с помощью эллиптического интеграла (пример 9 из 5 7). Каждый эллиптический интеграл может быть выражен через элементарные функции и через стандартные эллиптические интегралы Йх , Т~ :*««« — «« *«' (10) (11) «««~-"«« -««е«' йб(О;1). ° + «*'«««' — '««~ — «г « ' Подстановкой х = «йп«р эти ингегралы сводятся к линейным комбинациям интегралов др (13) (12) 1 — нг зшг «р д«р« Ь б (О; 1), « + "* «Е -«е- (14) (15) которые называются соответственно эллиптичесн ми интегралами первого, второго, третьего рода в форме Лелеандра.

Через Р(«р, Ь) и Ь'(«р, Ь) обозначают соответственно ту из перво- образных (13) и (14), которая при «р = О обращается в нуль (см. задачи 27). 48. Интегрирование иррационалвнврх функций откуда находим 1 х=2 1 Таким образом, дх = -12 + Н ' 11+12)2 ' 1 1+12 2 — х 412 з 2 — х с)х 'З)) 2 + х 12 — х) В ! ПВ ж Ц'-'ЗВ Ф 3 ~ с)З / 161 16 ЬЦВ 4) 12 =~'( +') +С.

~ — о) +г °, 2. В,й„ / 1+ е ° .у й «Вй р. ° р утр*р..й =1 р). тогда 1+ х+ хз = 1зхз + 21х+ 1, откуда 21 — 1 1 — ге 1 1 — Н' 11 — Зг)2 Далее, находим 1 +х+ха = х ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ )' х -~- ъ'хг -~- .Вгх Пример 1. Найти /, Дх. х11 -Ь йрх) А Подынгегральная функция является рациональной относительно пеРеменных т, = х, хз) = х)1з, хз = х))з. Данный интегРал имеет вид11), причем п=3, р)г =1, рр =1)'3, р) =1))6, а=6=1, Ь= = с = О. Для рациональных чисел р) = 1, р) = 1))3, рз = 1))6 об)ций знаменатель т = 6. Следовательно, нужно применить подстановку х = зз. Применяя эту подстановку, получаем .21+ В~х) / ЗВ11 ЬЗВ) ' / 1+Зг = 6) Зз е'З + 6 ~ = — 2' хз + 6 асс)6 зз)х) + С.