1610915390-52cbd25d82d9110658c00fb8dfb6bccc (Кудрявцев 2003 Сборник задач по математическому анализу т2), страница 4

В этом случае целесообразно пользоваться следующей форлулой Остроградского; г Р(х) Р1(х) Г Рйх) ьг(х) Ф(х) ОПх) В этой формуле ьгз(х) многочлен, имеющий тс жс корни, что и многочлен ьг(х), но все корни мпогочлена Щ(х) простые (однократные). Многочлен Щ(х) есть частное от деления многочлена 1,)(х) на многочлен 1,1г(х), т. е.

ьг1(х) = (~(х)(ь)г(х), а Р~ (х) н Рз(х) это некоторые многочлены, степени которых соответственно меньше степеней мпогочленов 1„1~(х) н ьг (х). Если корни ьг(х) известны, то тем самым известны многочлены 1,)1(х) и 1„) (х). Для отыскания много- членов Р1(х) и Рг(х) их записывают с неопределенными коэффициентами, которые находят после дифференцирования обеих частей формулы Остроградского.

Если Рг ф О, то, так как корни ь)г(х) простые, Г Р(х) интеграл ~ е1х ость функция трансцендентная; она равна сумме ОПг) слагаемых вйда а агсзй (ох + )3) + Ып(1+ д) + С, а' + Ьз ~ О. В связи с этим второе слагаемое в формуле Остроградского называют трансцендентной частью интеграла 1 ах, а первое слагает Р(х) О(х) ыое его рацион льнай частью. Метод Остроградского позволяет найти алгебраическую часть интеграла от правильной рациональной дроби чисто алгебраическим путем, т. с. не прибегая к интегрированию каких-либо функций. ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ хдх Пример 1.

Найти ,/ (х 4- Ц(х 4- 2) х — 3) а Знаменатель рациональной дроби имеет простые корни х, = — 1, хг = — 2, хз = 3. Поэтому разложение на элементарные дроби илзеет вид х А1 Аг .4з + + (х -~- Ц(х+ 2)(х — 3) х+ 1 х+ 2 х — 3 Из этого равенства рациональных дробей следует равенство мпогочлсх = А1(х + 2)(х — 3) + Аг(х + 1) (х — 3) + Аз(х+ 1)(х + 2). Полагая последовательно х = -1, х = -2, х = 3, находим — 1= — 4Аы — 2 = 5.4г, 3= 20Аз, т. е.

А1 = 1/4; Аз = -215, Аз = 3/20. Следовательно, = — 1и )х + Ц вЂ” †, 1п )х + 2! + — 1п )х — 3) + С. а г' ( Ц( 2П 3) 4 ' 2 20 42. Интегрирование рациональних фрннция 27 т 2х' ж 5хг — 2 Пример 2. Найти 71, ' дх. 2хг — х — 1 А Подынтегральная функция неправильная рациональная дробь. Разделив мпогочлен Р(х) = 2хл+ 5ха — 2 на многочлен я(х) = 2т, — х — 1, получим частное Т(х) = х и остаток Л(х) = бхз + х— -2. Следовательно, данная рациональная дробь представляется в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби следующим образолк г 2х' ж5х — 2 бх ";х — 2 =х+ 2хг — х — 1 2хл — х — 1 Многочлен 1„)(х) = 2хз — х — 1 имеет действительный корень х = 1.

Разделив ®х) на х — 1, получим Я(х) = 2хз — х — 1 = (х — 1) (2хз + 2х + 1). Трехчлен 2хз + 2х + 1 нс имеет действительных корней, поэтому разложение полученной правильной рациональной дроби на элементарныс имеет вид бх жх — 2 А ЛХх-Ь1У 2хг — х — 1 х — 1 2хг ж 2х -Ь 1 ' Из равенства дробей следует равенство многочленов; бх~ + х — 2 = А(2хз + 2х + 1) + (ЛХх+ 7У)(х — 1). Положив здесь х = 1, получим 5 = 5А, т. е. А = 1. Приравняв коэффициенты при ад и свободные члены многочленов, получим 6 = 2-4 + ЛХ вЂ” 2 = '1 — 7У откуда ЛХ = 4, Хг' = 3.

Таким образом, подынтегральная функция представима в виде 2х~ + бхг — 2 1 4х -~-3 = х+ — + 2хг — х — 1 х — 1 2хг ж 2х ж 1 и, следовательно, 2хл+ 5х — 2 г1х = 2х' — х — 1 хг 4х -Ь 2 1 = — +1п~х — 1~+ (, г1х+ ( „дх= 2 Х 2хг + 2х -~- 1 Х 2хг -Ь 2х ж 1 = — -~- 1п ~х — Ц -~- 1п(2хз -~- 2х -~- Ц -~- атстя (2х -~- 1) -~- С. А 2 г 2хг+х -~-5х+1 Пример 3. Найти 71 ., дх. Х ( г+3)( ' — *+Ц А Разложение подынтегральной функции на элементарные дроби имеет вид 2хг+х +бхц 1 4х+В (хе+ 3)(хг — х+ Ц хг+ 3 хг — х+ 1 По определению равенства рациональных дробей имеем 2тз+ та+ 5т+ 1 = (4т+ В)(х~ — х+ 1) + (Се -~- В)(та + 3) Гл.

1. Неопределенный интеграл Из равенства многочленов следует, что их коэффициенты при одина- ковых степенях х равны, поэтому хз 2=А+С, ха 1= — А+В+Р, х' 5 = А — В + ЗС, хо 1 = В+ ЗР. Эта система имеет решение; А = О, В = 1, С = 2, Р = О. Следова- тельно, 2х~+х +бх+1 е!х = ( .- '+ ЗИ*о — . + Ц 1:е г 2 2х — 1 = — асс!я — ' + !п(х — х + 1) + — агсгб + С.

а ,гЗ,гЗ гЗ ГЗ (хе + Ц дх Пример 4. Найти 1 д х' -Ь х~ — хе — хе 4 Разложим знаменатель рациональной дроби на множители: а+ 4 3 2 2( 3+ а, 1) 3(, +1)( 2 1) = хз(х -ь 1)з(х — 1). Из полученного разложении следует, что подынтегральная функция разлагается на элементарные дроби следующим образом: х+1 А В С Р Е = — + —, + + + хе(х-!- Ц-'(х — Ц х хг х — 1 х-!-1 (х+ Це ' Из равенства дробей следует равенство многочленов; е+ ! ~ )~ + )а+Вг 1)г + цг+ +Схз( +1)а Рхз( а 1) +Ехз(х 1) (1) Положив в равенстве (1) поочередно х = О, х = 1, х = — 1, получим В = — 1, С = 1/2, Е = — 1.

Чтобы найти коэффициент А, продиф- ференцируем обе части равенства (1) и затем положим в нем х = О. При дифференцировании правой части будем выписывать только те слагаемые, которые пе обращаются в нуль при х = О: 4х' = А(х — 1Кх+1)'+ В(х+1)э+ 2В(хз — 1) + ... Отсюда при х = О имеем О = — А — В, т. е, А = 1. Для опредсленин коэффициента Р поступаем аналогично: дифференцируем обо части равенства !1), причем выписываем только те слагаемые правой части, которые не обращаются в нуль при х = — 1; получаем равенство 4хз = Рхз(х — 1) + 2Ех(х — 1) + Ех' + ..., из которого при х = — 1 имеем — 4 = — 2Р+4Е+ Е, откуда находим Р = -1/2.

Следовательно, (х'-Ь Цдх 1 1 1 , = !и ~х~ + — + — 1п ~х — 1~ — — !и ~х + 1~ + + С. 1 х'-(- хг — хг — хг х 2 2 х+1 42. Интпегрироеание рациональных фуннций Использованный здесь прием отыскания коэффициентов .4 и Р удо- бен в тех случаях, когда знаменатель рациональной дроби имеет крат- ные корни. А 4х — 8х Пример 5. Найти / ...г/х. у (х — Ц-'(*'+Ц' А Разложение подыптегральцой функции на элементарные дроби имеет вид 4ха — 8х Л В Сх-~Р Ех-ьГ (х — ЦПхг -~- Цг х — 1 (х — Цг хг ж 1 (хг -~- Ц' ' Следовательно, 4хг 8х = Л/х — Ц(ха + Ца + В(ха + Цз+ + (Сх + РЯс — Цз (ха + Ц + (Ех + Г) (х — Цг.

(2) Приравняв соответствующие коэффициенты этих многочленов, мож- но получить систему шести линейных уравнений с шестью неизвест- ными Л,. В, С, Р, Е, Е и решить ее. Но проще поступить иначе. Положив в равенстве (2) х = 1, найдем В = — 1. Затем положим х = г, тогда будем иметь — 4 — 8г = (Ег + Е)(1 — Ц = 2Š— 2гГ. Приравняв действительные и мнимые части, получим — 4 = 2Е, — 8 = = — 2Е, т. е, Е = — 2, Е = 4. Продифференцируем обе части ра- венства (2), причем будем выписывать только те слагаемые, которые не обращаются в нуль при х = 1.

Тогда получим 8х — 8 = Л(ха + Цг + 2В/хг + Ц2х + ... Отсюда при х = 1 имеем 0 = 4А + 8В, т. е. Л = 2. Продифференциру- ем обе части равенства (2), выписывая только те слагаемые, которые не обращаются в нуль при х = 1: 8х — 8 = (Сх ч- Р) (х — Цг2х + Е(х — Це + (Ех ц- Е)2(х — Ц ч- ... Подставив в это равенство х = г, найдеги последние 2 коэффициен- та: С = — 2, Р = — 1. Таким образом, 4хг — 8х , г/х = (х — Цг(хг + Цг 1 /'(2х — Цйх /' 2х — 4 х — 1,/ х'-';1,/ (хг -~- Цг = 21п~х — 1~+ — — 1п(х + Ц вЂ” агсхбх+ +4/ 1 з 1 г Йх х — 1 хг-~1 / /хг-~ Цг Последний интеграл находим по рекуррептной формуле (сьь при- мер17из 2Ц: ,/2 = /,', = — (,, +втстбх) +С.

Итак, г г/х = 1п , + агс18 х + + „ + С. А 4х — 8х (х — Цг 1 1 -Ь 2х х — 1 х + 1 Гл. 1. Неенределеннал интеграл Пример 6. Найти методом Остроградского интеграл примера 5. а В этом случае мпогочлен (г(х) = (х — 1) (х~+ Ц-', поэтому (,~(х) = (х — 1)(хз + 1), Я,(х) = ' = (х — 1)(х' + 1). Следовательно, существуют многочлены второй степени Рг(х) =Ах +Вх+С и Рг(х) =ахз+6х+с, откуда следует равенство многочленов: 4х~ — 8х = — 4хл — 2Вхз + (А +  — ЗС)х' + 2(С вЂ” А)х— —  — С + Р(х — Ц(хх + 1)х + (Ех + Еих — Цг(хз + Ц, Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему а 3 а х' о О=Р+Е, О= — А — Р+Š— 2Е, О = — 2В + 2Р + 2 Š— 2Е, 4 = А +  — ЗС' — 2Р— 2Е+ 2Е, — 8 = — 2.4 + 2С + Р + Š— 2Е, О= —  — С вЂ” Р+Е.

находим А=З, В= — 1, С=О, Р=2, Е= — 2, Решая эту систему, Е = 1. Итак, 4хе — 8х с(х (х — Цг(тд ж 1Р + 2 1п ~ х — 1 ~ — 1п(хз + 1) + агс18 х + С. а (х — 1Яхг -> Ц Замечание. Рассмотренный в этом параграфе метод интегрирования рациональных дробей является общим: с его помощью можно для которых верно равенство 4х' — 8х Ахг -~- Вх ж С Г ахг -~- 6х -~- с ( -цг(, Ч-цг * (, -ц(хгл~ц / (х-ц( Ч-ц ахг + 6х -~- с Рациональную дробь , удобно сразу предстанить в виде (х — 1)(хг + Ц суммы элементарных дробей и переписать формулу Остроградского следующим образом: ((, 1д 4х' — 8х Ах +Вх+С (( Р Ех+Е1 (х — Цг(хе-~-Цг (х — Ц(хг-~-Ц д тх — 1 ха+1 / Дифференцируя обе части этого равенства, получаем 4х — 8х (х — Цг(хг + Цг + (х — 1Ихг ж Ц(2Ах -~- В) — (Ахг ж В*-'; С)(Зхе — 2*-ь Ц (х.

— Цг(аг н Цг + + Р ЕхжЕ х — 1 хг -~-1 ' 92, Интегрирование рациональных функций вычислить неопределснный интеграл от любой рациональной дроби при условии, что известны или могут быть найдены все корни ее знаменателя. Следует иметь в виду, что во многих частных случаях для интегрирования рациональной дроби нет необходимости прибегать к общему методу, так как другие приемы (преобразование подынтегрального выражения, подстановка, интегрирование по частям) быстрее ведут к цели. ь/х Пример 7. Найти интеграл 7 = / ,/ х(х +2) Г х+х' Пример 8.

Найти интеграл 7 = // а/х. / +х е/хг 1 7 (1 -Ь т' — Ц й/1+ х') 2/ 1 ж (хг)г 47 1+ х4 = — агатах + -(1 + х ) — — 1п(1 + х ) + С. А 1 г 1, 1 4 2 4 4 ЗАДАЧИ Найти интеграл (1 — 9). 1. 1) 2) ~ ™ 3) /' (х Ч- Ц(х — 2) ' ./ 2хг — Зх — 2 ' ./ хг ж бх Ч- 13 /' х' — 5х+ 9 ил ) /' Зх — 5х ж 8 ил ' 6) /' хеь/х 7 хг — 5х Ч- 6 ' 7 хг — 4 ' ,/ хг — бх Ч- 10 2. 1) ; 2) / е/х; (х — Ц (х -~- 2)(х + 3) ' ,/ (х — Ц(х + З)(х — 4) 4х' + 4х — 11 /' (5х — 3)е/~ (2х — Ц(2х+ ЗН2х — 5) ' / (х — 2)(Зхг+ 2х — Ц ' 5) ах ' 6) / (5х — 14) е/х; 7) /' х'+ х' — 8 / у: ув бхг — 7хг — За.' ',/ тг — хг — 4х + 4 ',/ хг — 4х ) (* +Цйх 9) / е/х (хг — Ц(хг — 4) ' ,/ х' — 13хг -Ь 36 ' 10) ~ * 2х + Зх — 9х + 4 а хг — 5хг -Ь 4х хг — 2х Ч 3 1 2) /' (хе+ 2) ах 3) /* ат хг — 4х 4-4 ' ./ (х — Ц(х Ч- Цг ',/ х' — хг — х+ 1 ' л х(х — Ц' ' л' (х 4-1) ' ',/ хь — 2хг -Ь 2х — 1 ' 7) ( )д '; 8) 1 йгх; 9) / хгдх,; (х — 2)(хг -~- т)г ' / (х 2) (х Ч 3)з ' / (1 хг)г ' 10 11 е/ / <х-ьЦС +2)г/хч-ЗН ' ) / хь — х" 42.