1610915390-52cbd25d82d9110658c00fb8dfb6bccc (Кудрявцев 2003 Сборник задач по математическому анализу т2), страница 2

3 11 г=зх-5 33 Замечание. Обычно, пользуясь формулой (2), в записи решения для краткости опускают знак подстановки ~е Ы1. Например, вычисление данного интеграла проводят так: /", его, / -зо (Зх — 5) о г1х = — /(3~ — 5) зо е1(3 — 5) = 31 ри 3 1/тзоП1 1 +С 13х — 5) +С 3,1 33 ЗЗ 2) По форлвуле (2), положив в ней 1 = р(х) = 5хз + 1, 1'ф = 1вй, получаем / 2 г, 1 / в 3 хз ~ггбхз + 1 г1х / твДхз + 1 ~5хз + Ц~ г1х 15„~ /вД зф1,1е5 з+Ц 1 /,Я41 151 151 Яв + С (5хз + Ц вДхз + 1+ С 18 18 3) /18хг1х = / Их = — / ' = — 1п)созх)+С.

З совх д совх 4) — .г-/ 2-Ьсовгх 1 Зсовгх-Ь 2впг х l 3+ 218гх сонг х :г'дх 1 г дх' 1 5) / = — /, = — агсв1пхв+ С. ,/ Я вЂ” хх 8,/ Я вЂ” хх 8 х -~- 1 1 /' 1 -~- 1/х — ',й':тл7 . *" Гл, 1. Неопределенный интеграл =1 г+ 7е — 5~+О= -т7е — 5 Р:5 =!пх — — + х — 7+ —,, +С А Пример 11. Найти интеграл: дх г дх г дх 2+.„гх 7 хЯЯл хг ' 7 .„7е'г+1 А 1) Воспользуемся формулой (3) интегрирования заменой переменной. Подынтегральная функция определена на промежутке х > О. Сделаем замену переменной х = 1з, 1 > О.

Согласно формуле (3), положив в ней х = у11) = 1з, Д1х) = 1Д2+ т7х), получим = 21 — 4 1п (2 + 1) + С = 2 т7х — 4 1п )2 + у7х) + С. 2) Сделаем замену переменной, положив х = 17'1; тогда е1х = — —,, о1. 1 Следовательно ,I' — — — 14 77з 1) = хгЛ+хе 7 сг,/~+ДЕ /,/А+1 l = — и7г+1+о = -Д7..' +1~ о. 3) Положим ее + 1 = тз, 1 > О; тогда 2131 е е1х = 21е11 и 71х = 1е — 1 Следовательно, / =277 е =1 С=1 +С а =1 С=1 С =1п +С=1п ел+ 1 1е — 1 1+ 1 т7е'г+ 1+ 1 П р и м е р 12.

Найти интеграл; Зх — 1 1 2) /' Зх+4 — ':*- ГЫ: 8 П 1) Представим подыптегральпую функцию в виде линейной комбинации двух рациональных дробей так, чтобы числителем первой дроби была производная знаменателя ха — х + 1, а числителем второй дроби единица: Зх,— 1 3 2х — 1 1 1 + хг хн1 2 г. хи1 2 х х Ь1' Интеграл от каждого слагаемого легко вычисляется: 3 )' 2х — 1 3 )'4хг — х-Ь1) 3 2/ хе — х+1 27 х' — х+1 2 21. Оби«ие приемы и методеб интегрирования 1 / дх 1 / И(х — 1/2) 1 2х — 1 — — = — агстй + Сз. 2 1 хг — х «- 1 2 / (х — 1/2)8 -~- 3/4 6/3 6/3 Таким образом, Зх — 1 3 2 1 2х — 1 61х = — 1п(х — х+ 1) + — агс18 + С.

хг — х+1 2 /3 /3 2) Представим подынтегральную функцию в виде линейной комбинации двух дробей так, чтобы числителем первой дроби была производная квадратного трехчлена, стояшего в знаменателе, а числителем второй дроби — единица: Зх «-4 3 — 2х -~- б 1 — ' 6 б — 2 — .' 8 б . — 8 — 8 8 6 — 8 Теперь интеграл легко вычисляется: / 6*= — /( — 8-,'-6.

— 8) ') 6) — —;-6* — 8)6 + 13/' д(х — 3) ,, = — 3 — хз + бх — 8 «- 13 агсе18цх — 3) + С. л ,/ 1 (. 3)е- Пример 13. Найти интеграл / дх ,/ япх А 1-й способ: /'. =/' „' =/' ., =-1 — С. Их Г я)) хдх Г дсоех 1 х = — 1и 18 — + С. яих ./ яиех / сонг х — 1 2 2 2-й способ: — /' дх / д(х/2) / д(х/2) / д1и Пг/2) япх „/ яи1х/2) сое1х/2) ./ 18 (х/2) сонг(х/2) / 181х/2) =1п 18 — +С. А Пример 14. Найти интеграл: 1) / 1пхг/х; 2) /хзшхг)х. а 1) Пололгим и = 1пх, 6)и = 8/х; тогда 6)и = 61х/х, и = х.

По формуле интегрирования по частнм получаем г 8/х 1пх8)х = х1пх — / х — = х1пх — х+ С. 2) Положим и = х, еби = япх61х; тогда а)и = 6/х, и = — соз т,, и, согласно формуле (4), хяпхг)х = — хсозх+ / созхгбх = — хсозх+ япх+ С. А Гл. й Неопределенный интеграл Пример 15. Найти интеграл: 1) /хзелйх; 2) /агссоя~хйх. Я 1) Положим и =ха, йо = е.*йх; тогда йи = 2х йх, о = ел. По формуле (4) имеем х~е' й:г = х~е' — /2хе' йх.

К полученному интегралу снова применим формулу интегрирования по частям. Положив и = 2х, йо = е'йх, найдем йи = 2 йх, о = е*. Следовательио 2хе' йх = 2хе* — /2е"' йх = 2хе* — 2е" + С. Поэтому хая* йх = (хз — 2х+ 2)ел+ С. Замечание. Решение этого примера можно записать короче: хзеа йх = хзел — /2хег йх = хгел — 2(хе' — /ел йх) = = (х~ — 2х + 2)ел + С. 2) Пусть и = агссояа х йо = йх; тогда 2 агссоя х йх, г>=х. гт хе Согласно формуле (4) 2, 2 Г хяхссояхйх агссоя ойх = хагссоя х+ 2~ г1 а Для вычисления полученного интеграла еще раз воспользуемся формулой (4), положив йо = хйх/~/1 — хх. и = агссоя х, Тогда йи = — йх1'тгг1 — хз, и, вычислив интеграл о= /' хй', =-/йЯ:ха=-ьг1-ха+С„ возьмем о = — тгг1 — хз. В результате получим х агссоях Л:хг = — тгг1 — ха агссоя х — х + Сз.

Итак, / агссояз ойх = хагссояз х — 2/1 — ха агссоях — 2х+ С. А 21. Общие приемы и методы интегрирования Пример 16. Найти интеграл,7 = / лсгаз — хз»»х, а ~ О. а Положим и = лсгах — х», »»сс = »»х; тогда хдх »)и= —, и=х. По формуле (4) получаем Запишем подынтегральную функцию последнего интеграла в виде хг а — (а — х ) а Л»еа-': Хр Л»О2 — Х' ˻໠— Хг тогда будем иметь .7 = хтссаг — хс + / — Х Таким образом, с помощью формулы интегрирования по частясл получено уравнение, из которого,7 легко определяется: агса»п — + С. а 2 2»' иго,г — хг 2 2 ~о~ Пример 17. Получить для интеграла ,1„= с... пай, афО, 2 (хг + ае)п рекуррентную формулу ,7пь» =, (,, + (2и — 1)Хп). А Используем формулу интегрирования по частям для интеграла .1п. Положим и =,, »си = »сх.

1 »2.2 + а2)п ' Тогда -2»сх дх »12» = (Хг + аг)п»' и, следовательно, (хе+а»)и д (хе+ив)п'' Прибавим и вычтем а» в числителе подынтегральной функции полученного интеграла: (Хе-лай)о .) (Хе+а»)" ' Записав последний интеграл в виде разности интегралов, получаем х 2 ,Уп =, „+ 2пЛп — 2иа 1„, с с (хс ч- ае)н Гл. й Неопределенный интеграл откуда 1 Г х Так как йх 1 х ог — — /,, = — агсг8 — + С, хг-~-аг а а то, положив в полученной формуле и = 1, можно найти,7г. Зная йг, мОжнО найти йз и т Д. А ЗАДАЧИ 1.

Для функции /(х) найти первообразную Г(х), график которой проходит через точку (хо' уе): 1) /(х) = 1/(2х/х) + гйп(х+ 1), х Е (О; +со), (1; 1); 2) /(х) = 2/х — 3/хг, х Е ( — со; О), ( — 1; 1); 3) /(х)=~х~, хай, ( — 2;4). 2. Найти интеграл: 1) /х(х+1)(х — 2)йх; 2) /(хз — 1)гйх; 10) /(з 16 — тз,гига)зй . П) /' ъ/4 гхг-е2Л вЂ” *' Л6 — х' 12) /2гге*йх; 13) / йх; 14) / г,; 15) / гйп — йх; 16) /сьйгхйх; 17) /11ггхйх; 18) /сгЬгхйх. 3. Пусть функция Р(х) является первообразной функции /(х) на всей числовой оси. Доказать или опровергнуть следующие утверждения: 1) если /(х) - периодическая функция, то и Е(х) — периодическая функция; 2) еслгл /(х) нечетная функция, то Е(х) четная функция: 3) если /(х) .

четная функция, то 7г(х) нечетная функция. 4. Доказать, что функция /(х) = згбпх не имеет на всей числовой оси ни одной первообразной. 5. Привести пример разрывной функции, для которой на всей числовой оси первообразная существует. 6. Найти все первообразные функции: 1) х)х~, х Е Н; 2) ~1 + х~ — ~1 — х~, х Е К; 3) (2т — 3)~х — 2), х Е Н: 4) е~г~, х Е Н; 5) (зЬх), х Е Я; Гл. й Неопределенный интеграл 13. 1) /хе * г1х; 2) /еат тхт '(2х+ 1) с1х; 3) / 8) ' д* .

9) 1 2д* 1Ю) 1' д* 11) /Н'. у ' тгедт+ 1 ' 1 тГГ:4е ' I .лгТ+ ет ' 1 вЬх ' ) / —,*,' ) /,' "' ',; 4) /',',"'. 14.1) / с1х; 2) / "; 3) / йх; 6 г япхдх г1 1 15. 1) / яп хсовхйх; 2) / ' '; 3) ~ —,, сов — Нх; ./ 1-!-соах ' ./ хг т 10) в!п х ах 11) в!п х й 12) сов х дх ./ Лттв и' 1 Яае ' .~,й Н' 13) /' ., /' яп 2х йх /' а!и 2х дх Льл ' +9 тгсИ х Их 1со) яп х дх 17) сов!пх у вгп х 1 т яп 2х сова х — 1 М вЂ” -' ' л/ г ц дх 2) !' атсяп х ! 3) ! атосов 2х ъГà — хг атсв!и х л '1 1 — хг,/ нГ1 — 4хг 4) !' !патссовх и 8) /' асс!8 х л 8) 1 твГыссвйх л л Л вЂ” х'атосов х л 1+ хг ' ./ 1+ хг 7) ! ~с™ ~т г1х; 8) 1 ~ г1х.

(1-1- х)тгх л' с!гх 17. Найти интеграл Ц /хе' 'г1х; 2) /х2лйх; 3) /хвЬхг1х; 4) /х1пхг1х; 5) / !п(х+ тг4+ ха) с!х; 6) / х1п 1+ — йх; х 7) /х"!пхг)х, ел 6 Й; 8) /(ха — 2х+3)1п(х+1)г)х. 41. Общие приемы и методы интегрирования 17 18. С помощью формулы интегрирования по частим найти интеграл: Найти интеграл 119-2Ц. 19. Ц /хсов(5х — 7)йх; 2) /хяшв йх; 3) 1 д сове х 4) ~хт8г2хйх; 5) ( ' йх( 6) / япх.1п1ахйх 1 — сов х 20. Ц / агссахйх( 2) / атосов(5х — 2) йх; 3) / хагсс18хйх( 4) / хг агсвш 2х йх; 5) / хватова х йе; 6) /,, йх; 7) / агс18.,/х йх; 8) 1 йх; 9) /хД вЂ” хв агсяпх йх; )' агсв(п(х((2) ./ у'2 — х 21. Ц /1хз — Ох+2)езейх; 2) /хв2ейх; 3) /хгяп2хйх; 4) /1хз — х+Цс1(хйх; 5) /архе+ Цвсояхйх; 6) /хвяш5хйх.

22. Доказать формулу (Рп7х) многочлен степени п, а ~ 0): Рг (и( ее Ц /Р„1х)е'ейх = (Р„1х) — ~"~ ) + + ~ — ЦпРп ~ ) ) — +С. а ап ) а РДх) Рго(х) Р(,'(х) ) в(пах +( —, +, — )' +с, а а' ае г а (1 п(х) 1 п (х) Рп (х) '( совах а аз аг I а Найти интеграл 123, 24).

23. Ц / 1п хйт; 2) /, йх( 3) /( — ) йх: 4) / 1(гз(х+ ~Г+:хсва) йх( 5) / агсяшз хйх; 6) / хагс1дахйх. 24. Ц /,гхз+айх: 2) /х ьгхв+ азйх: 3) /е ив(пЬхйх, аз + Ьз Р О; 4) / е" совЬхйт,, аз + Ьв Р О; 5) /Зесовхйх; 6) /овеян (2х — — ) йт,; 7) / япхс1(хйх; <"л. 1. Неапределеннв<й интеграл 8) 1 ( ' ' ) йх; 9) /е'гяшхбхйх; 10) /хехя1пх.йх; ег 11) /х'елсояхйх; 12) /хе* гйпххйх; 13) / яш1пхйх; 14) /сов1пхйх 15) /'х~вц<1пхйх.

16) /'е '-"йх 25. Получить для интеграла У„(п Е У<У) рекуррентную формулу: 1) Ун = /х"е" йх, а ~ 0; 2) Ун = / 1п" хйх; и 3),Ун = /х 1пахйх, о У': — 1; 4),У„= /, йх, т<, > 2; т<х- + а 5) й„= /гцп хйх, п>2; 6) лн= /сов"хйх, <>2; 7) Уа = /вЬнхйх< п > 2; 8),У„= /с1<"хйх< п > 2; ,< я<пи х ,< с1< "х ' Найти интеграл (26-28).

26. 1) /хве *йх: 2) / 1п хйх: 3) /ха1п<хйх; 4) / ,Ухе+9 ' 5) / сова хйх; 6) /я|п хйх; 7) / .; 8) / ) / — ' ) / . ) /х„«лйх. 4) х 8) / совл;Ухйх; 9) / совв1п<гйх; 10) < ', йх; .< в1пг х е 11) / соях-1п(1+в1п'х)йх; 12) 1 х, йг. (х + 2)г 1 28. 1) /хагс18хайх; 2) /е *аш18елйх; 3) /хыссоя — йх; 4) / ' йх; 5) / ыся1п / йх; 6) / агсвш ' йх. <Ух+1 )/ х-Ь1 1-гх 29. Найти функции У(х), х Е (О; +со), удовлетворяющие условию У'(хв) — 1«х, х > О.

30. Найти функции Д(х), х Е Я, удовлетворяющие условию )(1, если х Е (О; Ц, (х, если х Е (1; +ос). 31. Найти функции У(х), х Е (О: +оо) и д(х), х е Я, удовлетворяющие условиям хУ~(хв) + д (х) = соя х — Зхв, У(х, ) + д(х) = в1п х — хл. 32. Найти функцию У(х), х Е (О: +ос) и д(х), х Е Я, удовлетво- 91. Общие приемы и методы интегрирования 19 рнющую при х > О условиям: Ц /(х) + д(х) = х+ 1, /'( ) — д'( ) = О, /'(2х) — д'( — 2х) = 1 — 12х"; 2) Д(х) + д(х) = х" /6, /'(х) — д'(х) = яп х, /'(2х) — д'( — 2х) = О ОТВЕТЫ 1.