1610915390-52cbd25d82d9110658c00fb8dfb6bccc (Кудрявцев 2003 Сборник задач по математическому анализу т2)

УДК 517 ББК 22.161 К88 Кудрявцев Л.Д., Кутасов А. Д., Чехлов В. И., Шабунин М. И. Сборник задач по математическому анализу. Том 2. Интегралы. Ряды: Учеб. пособие/ Под ред. Л.Д. Кудрявцева. - — 2-с изд., перераб. Мз ФИЗМАТЛИТ, 2003. 504 с. 18В1Ч 5-9221-0307-5. Рецензенты: заведующий кафедрой общей математики ВМиК МГУ им. Ы.В. Ломоносова, академик В.А. Ильин; профессор МФТИ, авадемик С.М.

Никольский. 1ЯВ1Ч 5-9221-0307-5 (Т. 2) 1ЯВ1Ч 5-9221-0305-9 © ФИЗМАТЛИТ., 2003 © Л.Д. Кудрявцев, А.Л. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И Шабунин, 2003 Книга явлнется второй частью трехтомного сборника задач, созданного на основе многолетнего опыта преподавания курса математического анализа в Московском физико-техническом институте. В нее включен материал, относнщийся к следующим разделам математического анализа: неопрсделевные интегралы, определеьшые ивтегралы, несобственные интегралы, числовые рнды, функциональные последовательности и ряды. Каждый параграф содержит справочный материал, набор типовых примеров с решениями и задачи для самостоятельной работы с ответами. Длн студентов университетов и технических вузов с расширенной программой по математике.

Табл, 1. Ил. 41. Виблиогр. 20 назв. ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящая книга является второй частью сборника задач и содержит материал, относящийся к двум важным разделам курса математического анализа "Интегралы" и "Ряды". Сборник состоит из пяти глав. В первой главе рассматриваюся общие приемы и методы интегрированил, содержится большое число задач, свнзанных с нахождением первоообразных для рациональных, иррациональных и трансцендентных функций. Вторая глава посвящена определенному интегралу. Рассматриваются определение и свойства интеграла Римана, формула Ньютона— Лейбница, правило дифференцирования интеграла с переменными верхним и нижним пределами интегрирования, формулы замены переменного и интегрирования по частям, различные методы оценки и приближенного вычисления интегралов. Много внимания уделяется приложениям определенного интеграла к решению геометрических и физических задач.

В третьей главе рассматриваются несобственные интегралы. В четвертой главе изучаютсн числовые ряды. Рассматриваются свойства сходящихся рядов, критерий Коши сходимости ряда, ряды с неотрицательными членами. Много внимания уделено абсолютно и не абсолкзтно сходящимся рядам. Пятая глава посвящена функциональным рядам. Особое внигиание уделяется таким трудным для усвоения понятиям, как равномерная и неравномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов (~ 17, 18). Рассматриваются критерии равномерной сходимости, признаки Вейерштрасса, Дирихле и Абеля равномерной сходимости функциональных рядов.

В ~ 19 изучаются свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов,. в Х 20 степенные рпды, в ~ 21 ряд Тейлора, в Ч 22 тригонометрические ряды Фурье. Асимптотическому представлению функций посвящен ~ 23, а в Х 24 рассматриваются бесконечные произведения. Сборник предназначен для студентов, обучающихся во втузах с расширенной программой по математике и в университетах, а также для преподавателей.

Большой набор задач разной степени трудности дает возможность преподавателю использовать сборник при работе Предисловие со студентами в аудитории, при составлении контрольных работ и заданий. Он может оказаться полезным и для лиц, самостоятельно изучаюших математику. Первое издание вышло в 1986 г. Во второе издание внесен ряд изменений. В каждом параграфе вначале дан справочный материал„затем приведены примеры с решениями и задачи с ответами. Добавлены задачи в главах 3 5. Авторы выражают глубокую благодарность коллективу кафедры высшей математики МФТИ, многолетняя плодотворная работа которой в значительной степени способствовала появлению этого сборника. ГЛАВА 1 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ д 1. Общие приемы и методы интегрирования СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ 1. Первообразная и неопределенный интеграл.

Функция г'(х) называется переообрагной функции 1(х) на некотором промежутке, если г'(х) непрерывна на зтом промежутке и дифференцируема в каждой его внутренней точке, причем Г'(х) = ф(х). В курсах математического анализа доказывается, что для каждой непрерывной функции первообразная суптествует. Если 1ч (х) и Рг(х) две первообразпые функции Г(х), то Гз(х) = = г1(х) + С, где С вЂ” некоторая постоянная. Если г'(х) первообразная функции 1(х), то множество (1''(х) + С, С Е Й), т.

е. совокупность всех первообразных функции 1(х), называется неопределенным интегралом функции 1(х) и обозначается / 1(х) дх. Таким образом, .по определению ~ 1(х) дх = (г'(х) + С), (1) где Г(х) --- какая-либо первоооразная функции 1(х), а С -- произвольная постоянная. Формулу (1) принято записывать без фигурных скобок, т. е. опуская обозначение множества: ( 1(х) йх = Е(:с) + С.

Символ / называется знаком интеграла, г(х) -- подынтегральной функцией, г" (х) дх подынтегральным еыражением, т - переменной интегрироеония. 2. Свойства неопределенного интеграла. 1. Если функция г(х) имеет первообразную, то (/.Г(х) дх) = г'(х), д(/ ((х) дх) = 1(х) дх. 2.

Если г" (х) дифференцируемая функция, то ~К(х) дх = Х(х) + С, ~4'(х) = У(х) + С. Гл, 1. Неопределенный интеграл 3. Если функция Дх) имеет первообразную и а Е й, то функция а)(х) также имеет первообразную, причем при а ф 0 верно равенство / а1(х) г1х = а~)(х) е(х. 4. Если функции 1'1(х) и дз(х) имеют первообразные на некотором промежутке, то функция 11(х) + )з(т) также имеет первообразную на этом промежутке, причем /У1( ) + Л(х)) а, = /11(*) 1 + /)з(х) г1х. 3. Формулы длн основных неопределенных интегралов. Паждая из нижеследующих формул верна на каждом промежутке, принадлежащем области определения подынтегральной функции.

, еы г дх 1. /х'*11х = — + С, о ф — 1. 2. / — ' = 1п~х+а~ + С. а и'- 1 х -~- а а 3. /аеггх= — +С, а>0, аг-1; /ел11х=ел+С. 1п а 4. / яшхг1х = — созх+ С. 5. / соя хглх = я1пт+ С. дх дх 6. д1,' = 18т+ С. 7. ( '., = — с18х+ С. сонг х Е!П Х 8, /зЬхйх = сЬх+ С. 9. /сЬхих = з!1х+ С. 10., — 111 х+ С. 11., — — слЬх+ С.

1 дх дх дх 1 х 1 х 12. / е, = — агс18 — + С = — — агсс18 — + С, а ф О. ,/ хе+ аг а а а а 13. /,, ',, = — 1п~ +С, ау-О. 14. / ' = ахсаш †' + С = — атосов — + С, ~т~ ( а, а ~ О. дх . х х лг'аг — х' а а 15. 1 = 1п ~х+ угхз + аз~ + С, а ф О. лгхг + а- 16. /,, = 1п)х+ лггхд — аз)+ С, аф 0 ()х) > )а(). 4. Интегрирование подстановкой (заменой переменной). Пусть на некотором пролгежутке определена сложная функция Д(1р(х)) и функция 1 = 1р(х) непрерывна на этом прол1ежутке и дифферепцируема во всех его внутренних точках; тогда если интеграл ~(1) а1 существует, то интеграл / Д(р(х))1р'(х) ах также существу- /1(р(х)).р'(х)йх = /1(1)й1~, „, (2) Эту формулу называют формулой интегрирования подстановкой.

Если для функции 1 = уг(х) па рассматриваемом промежутке существует обратная х = уг 1(1), то формулу (2) можно переписать в 41. Общие приемы и методиг интегрирования виде / д" (1) й1 = / ~(уэ(х)) р' (х) йх или, если исходную переменную интегрирования обозначать как обычно через х, /1(х)й = /У(у(1))уУ(1)г11. (3) Формулу (3) обычно называют формулой интегрирования заменой переменной. Замечание.

При использовании формулы (3) в записи решения знак подстановки ~и, -НО обычно опускают. 5. Интегрирование по частям. Пусть функции и(х) и и(х) непрерывны на некотором промежутке и дифференцируемы во всех его внутренних точках. Тогда если на этом промежутке существует интеграл / ои' ах, то существует и интеграл / ии' ах, причем ии'г1х = ио — /ии'г1х или / игЬ = ии — /иии. (4) Формула (4) называется формулой интегрирования по частям.

Применение формулы (4) целесообразно в тех случаях, когда подынтегральное выражение Г" (х) ах удается представить в виде произведения двух множителей и и аи таким образом, .чтобы интегрирование выражений йи и иагг являлось задачей более простой, чем интегрирование исходного выражения. По известному дифференциалу аи функция и и определяетсл неоднозначно, но в формуле (4) в качестве и может быть выбрана любая функция с данным дифференциалом ам. Иногда для вычисления интеграла формулу интегрирования по частям приходится применять несколько раз. ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ Пример 1.

Найти какую-либо первообразную е'(х) функции Э (х) = 1!Ьгх, х Е (О, :+со), и ее неопределенный интеграл. й Так как (2чгх)' = 11м хЕ, х > О, то Г(х) = 2/х, х > О, и 1 / 1(х) их = / — йх = 2тггх+ С, х Е (О; +со). А игх Пример 2. Для функции г'(х) = 11х, х Е ( — оо; 0), найти перво- образную г'(х), график которой проходит через точку ( — 2; 2). а Так как (1п ~х~)' = 1гх, то 1п ~х~ — — одна из псрвообразных функции Д(х) = 1ггх и, следовательно, искомая первообразная г'(х) имеет вид г'(х) = 1и ~х~ + С, где С некоторая постоянная. Постоянную С Гл.

д Неопределенный интеграл находим из условия Е( — 2) = 2, т. е. 1п 2+ С = 2, откуда С = 2 — 1п 2. Таким образом, Р(х) = 1п(х)+ 2 — 1п2 = 1п)х/2(+ 2. а Пример 3. Найти / (х — 2е*) Г1х. а Используя свойства 4 и 3 неопределенного интеграла и табличные интегралы 1 (при Гл = 1) и 3, получаем (х — 2е*) йх = / ХГ)х — 2л/ е'Нх = — ' — 2е" + С х Е й. А 2 Г (тГХ 2 з,х)г Пример 4. Найти / г1х.

д / йх = / сЬ вЂ” 4/ х 'Ге йх + 4/ х 'Гз Г1х = = х — — „х'7е+6хзГз+ С, х > О. а 24 ае йх Пример 5. Найти / хл + 4хг йх 1 рх +4 — х 1 )'дх 1 ~ дх х'-'(ха+4) 4/ х-'(хе+4) 4/ х 4/ хе+4 1 1 х = — — — — ахс18 — +С, Х~О.

А 4х 8 2 нГР— 3 — 3 йх*-'+ 3 Пример 6. Найти / ' йх. / Г,;:З = 1п(х+ хГхг+3) — 31п~х+ хГх' — 3~+С, ~х~ > Л. А Пример 7. Найти / соа' — ах. 2 Х 2 З х Г1+соех 1 Г А / соз — йх = / г1Х = — / Г1х+ 2,/ 2 2,/ 1 Г х гйпх + — / созхйх = — + +С, х Е Й. А 2 / 2 2 Пример 8. Найти / тйзхйх.

а На кагалом интервале, где определена подынтегральная функция, получаем /18 хйх=/( ', 1)Г1Х=ФВх х+С А сое' х Пример 9. Найти /3л. 5зле1х. -л А /3" 5алйх= /75'йх= +С., хе 17, а 1п 75 41. Общие нриемег и мето1ля интегрирования П р и м е р 10. Найти интеграл: Ц /(Зх — 5)~ог1хк 2) /хзЯуз+1е1х; 3) ~тихих; / г1х х /' х с1х /' х -Ь 1 2 в ее ' ' г' à — 'у ' гг:Еетз я Ц Найдем интеграл с помощью формулы (2), предварительно преобразовав его следующим образом: (Зх — 5)' е)х = — /(Зх — 5)ш(Зх — 5)' г1х. 32 Положив в формуле (2) 1 = |р(х) = Зх — 5 и 111) =1'о, получим — / (Зх — 5)ш(Зх — 5)' сХх = — /1ш й 3 д 3 д в=в* —" Таким образом, 111 (Зх — 5) е1х = — — ' + С = — (Зх — 5)ы + С.