1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (Колмогоров А.Н. Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа 2004u)

УДК 517.5 ББК 22.162 К 60 Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 7-е изд. — Мл ФИЗМАТЛИТ, 2004..— 572 с. — 1ЯВХ 5-9221-0266-4. Содержит строгое систематизированное изложение основ функционального анализа и тонких вопросов теории функций действительного переменного. Основой явился курс функционального анализа (вначале «Анализ П1«), читавшийся академиком А. Н. Колмогоровым в течение ряда лет на механико-математическом факультете МГУ им.

М. В. Ломоносова. 6-о изд. — 1989 г. Для студентов университетов, аспирантов, преподавателсй,а также для научных работников в области математики и в смежных областях. Ил. 24. Библиогр. 57 назв. 1ВВХ 5-9221-0266-4 ® ФИЗМАТЛИТ, 2004 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к седьмому изданию . Предисловие к шестому изданию . 12 Предисловие к четвертому изданию 13 Предисловие к третьему изданию .. Из предисловия ко второму изданию. 14 Основные обозначения 16 ГЛАВА 1 ЭЛЕМЕНТЪ| ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ 3 1.

Понятие множества. Операции над множествами............... 1. Основные определения (17). 2. Операции нал множествами (17). 17 3 3. Эквивалентность множеств. Понятие мощности множества..., 26 1. Конечные и бесконечные множества (26). 2. Счетные множества (27). 3. Эквивалентность множеств (29). 4. Несчетность множества действительных чисел (31). 5. Теорема Кантора Бернштейна (32). 6. Понятие мощности множества (ЗЗ). '3 4. Упорядоченные множества. Трансфинитные числа............

1. Частично упорядоченные множества 136). 2. Отображения, сохраняющие порядок (37). 3. Порядковые типы. Упорядоченные множества (38). 4. Упорядоченная сумма упорядоченных множеств (39). 5. Вполне упорядоченные множоства. Трансфинитные числа (40). 6. Сравнение порядковых чисел (42). 7. Аксиома выбора, теорема Цермело и другие эквивалентные им утверждения (44).

8. Трансфинигная индукция (46). 3 5. Системы множеств. 1. Кольцо множеств (47). 2. Полукольцо множеств (49). 3. Кольгго, порожденное полукольцом (50). 4. о-алгебры (5Ц. 5. Системы множеств и отображения 153). 47 3 2. Отображения. Разбиения на классы............................ 20 1. Отображеггие множеств. Общее нопятие функции (20). 2. Разбиение на классы.

Отношения эквивалентности (23). Оглавление Г Л А Б А П МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИт1ЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 3 1. Понятие метрического пространства....... 1. Определение и основные примеры (54). 2. Непрерывные отображения метрических пространств.Изометрия (61). 3 2. Сходимость. Открытые и замкнутые множества................ 63 1. Продельные точки. Запыханно (63). 2. Сходимость (64). 3.

Плотные подмножества (65). 4. Открытые и замкнутые множества (66). 5. Открытые и замкнутые множества на прямой (69). 3 3. Полные метрические пространства... 73 1. Определение и примеры полных метрических пространств (73). 2. Теорема о вложенных шарах (76). 3. Теорема Бара (77). 4. Пополнение пространства 178). 3 4. Принцип сжимающих отображений и его применения.......... 81 1. Принцип сжимающих отображений (81).

2. Простейшие применения принципа сжимающих отображений (83). 3. Теоремы существования и единственности для дифференциальных уравнений (86). 4. Применение принципа сжимающих отображений к интегральным уравнениям (88). 3 5. Топологическио пространства 91 1. Определение и примеры топологических пространств (91). 2. Сравнение топологий (93). 3. Определяющие системы окрестностей. База. Аксиомы счетности (94). 4.

Сходящиеся последовательности в Т (98). 5. Непрерывные отображения. Гомеоморфизм (99). 6. Аксиомы отделимости 1102). 7. Различные способы задания топологии в пространстве. Метризуемость (10ое). 3 6. Компактность 107 1. Понятие компактносги (107). 2. Непрерывпыо отображения компактных пространств (109). 3.

Непрерывные и полунепрерывные функции на компактных пространс гвах (110). 4. Счетная компактность (112). 5. Предкомпактные множества (115). 3 7. Компактность в лгетрических пространствах,. 115 1. Полная ограниченность (115). 2.

Компактность и полная ограниченность 1117). 3. Предкомпактные подмножества в метрических пространствах (119). 4. Теорема Арцела 1119). 5. Теорема Пеано (121). 6. Равномерная непрерывность. Непрерывные отображения метрических компактов (123). 7. Обобщенная теорема Арцсла (124). 3 8. Непрерывные кривые в метрических пространствах.. .. 125 Оглавление ГЛАВА Ш НОРМИРОВАННЫЕ И ТОПОЛОГИх1ЕСКИЕ ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 3 1.,Линейные пространства 130 1. Основные опреде пения и примеры линейных пространств (130).

2. Линейная зависимость (132). 3. Подпространства (133). 4. Фактор-пространства (134). 5. Линейные функционалы (135). 6. Геометрический смысл линейного функционала (137). 3 2. Выпуклые множества и выпуклые фунхционапы. Теорема Хана — Банаха .. 139 1. Выпуклые множества и выпуклые тела (139). 2. Однородно-выпуклые функционалы (142). 3. Функционал й!инковского (143).

4. Теорема Хана Банаха (145). 5. Отделимость выпуклых множеств в линейном пространстве (148). '3 3. Нормированные пространства 150 1. Определение и примеры нормированных пространств (150). 2. Подпространстна нормированного пространства (152). 3. Фактор-пространства нормированного пространства (153). 5 4. Евклидовы пространства 1агб 1. Определение евклидовых пространств (155). 2. Примеры (1аг7). 3.

Существование ортогональных базисов, ортогонализация (159). 4. Неравенство Бесселя. Замкнутые ортогональные системы (161). 5. Полные евклидовы пространства. Теорема Рисса — Фищера (165). 6. Гильбертово пространство. Теорема об изоморфизме (167). 7. Подпространства, ортогональные дополнения, прямая сумма (170). 8. Характеристическое свойство евклидовых пространств (174). 9. Колшлексные евклидовы пространства (177). '3 5. Топологические линейные пространства 179 1.

Определение и примеры (179). 2. Локальная выпуклость (182). 3. Счетно-нормированные пространства (183). ГЛАВА 1У ЛИНЕЙНЫЕ ФЪ"ПКЦИОПАЛЫ И ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЬ1 3 1. Непрерывные линейные функционалы 188 1. Непрерывные линейные функционалы в топологических линейных пространствах (188). 2. Линейные функпноналы на нормированных пространствах (189), 3. Теорема Хана — Банаха в нормированном пространстве (192).

4. Линейные функционапы в счетно-нормированном пространстве (195). 3 2. Сопряженное пространство ........... 196 1. Определение сопряженного пространства (196). 2. Сильная топология в сопряженпоьч пространстве (197). 3. Примеры со- Оелаеление пряженных пространств (199). 4. Второе сопряженное пространство (205). 5 3. Слабая топология и слабая сходимость 207 1. Слабая топология н слабая сходимость в линейном топологнческолз пространстве (207).

2. Слабая сходимость в нормированных пространствах (208). 3. Слабая топология и слабая сходимость в сопряженном пространстве (212). 4. Ограниченные множества в сопряженном пространстве (214). 3 4. Обобщенные функции 1. Расширение понятия функции (218). 2, Пространство основных функций (219). 3. Обобщенные функции (221). 4.

Действия над обобщенными функциями (222). 5. Достаточность запаса основных функций (225). 6. Восстановление функции по производной. Дифференпиальные уравнения в классе обобщенных фунхций (226). 7. Некоторые обобпзения (229). 5 5. Линейные операторы . . 233 1. Определение и примеры линейных операторон (233). 2. Непрерывность и ограниченность (237). 3.

Сумма и произведение операторов (239). 4. Обратный оператор, обратимость (240). 5. Сопряженные операторы (246). 6. Сопряженный оператор в евклидовом пространстве. Самосопряженцыо операторы (248). 7. Спехтр оператора. Резольвента (250). 3 6. Компактные операторы 253 1. Определение и примеры колзпактнгпх операторов (253). 2. Основные свойства компахтных операторов (258).

3. Собственные значения компактного оператора (260). 4. Компактные операторы в гильбертовом пространстве (262). 5. Само- сопряженные компактные операторы в Н (262). ГЛАВА У МЕРА, ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ, ИНТЕГРАЛ 3 1. Мера плоских множеств 267 1. Мера злелгентарных множеств (267). 2. Лебегова мера плоских множеств (271). 3. Некоторые дополнения и обобщения (278).

5 2. Общее понятие меры. Продолженпе меры с полукольца на кольцо. Адцитивность и п-аддитивность........................ 281 1. Определение меры (281). 2. Продолжение меры с полукольца на порожденное им кольцо (282). 3. а-аддитивнасть (284). 3 3. Лебегово продолжение меры 287 1.

Лебегово продолжение лзеры, определенной на полукольце с единицей (288). 2. Продолжение меры, заданной на полукольпе без единицы (291). 3. Расширение понятия измеримости н случае а-конечной меры (293). 4. Продолжение меры по ~Кордану (296). 5. Однозначность продолжения моры (298). Оглавление 9 4. Измеримые функции. 299 1.