Метод электрогидродинамической аналогии (ЭГДА)

В ряде случаев при исследовании различных по своей природе физических процессов математическая формулировка задач оказывается идентичной; изучаемые явления описываются с помощью дифференциэль- ных уравнений одного и того же вида с одинаковыми граничными условиями. В этом смысле можно говорить об аналогии между рассматриваемыми физическими явлениями и проводить сопоставление соответствующих характеристик. Это обстоятельство лежит в основе различных методов аналогий. Одним из таких методов является метод электрогидродинэмической аналогии (ЭГДА). Метод ЭГДА опирается на существующую в сказанном выше смысле аналогию между установившимся потенциальным течением идеальной жидкости и стационарным электрическим полем.

На основе этой аналогии выполняется электрическая модель, на которой прово- дятся все необходимые измерения, результаты переносятся затем на поток жидкости. Метод дает возможность получить не только качествен- ные выводы о поведении характеристик движения, но и установить для безразмерных характеристик течения количественные соотношения и численные значения.

Метод ЭГДА применяется для решения задач о безотрывном обтекании изолированных тел (или систем тел) плоскопараллельным уста- новившимся потенциальным потоком идеальной несжимаемой жидкости. Метод позволяет моделировать как бесциркулнционное обтекание, так и течения с циркуляцией. Метод ЭГДА применяется также для исследования дозвуковых течений сжимаемой жидкости, движения грунтовых вод под гидротехническими сооружениями и некоторых трехмерных течений несжимаемой жидкости 121 .

Злект оаналогия плоского становившегося потен ального течения и еальной несжимаемой кости. Система авнений и г аничные словия г о инамической з ачи. Система уравнений в рассматриваемом случае имеет вид ( 1 ) (массовые силы не учитываются): р Я+~ эГ ах ь,к= — '~+М-= ЭЛ' 3~ (2) — ур-ние неравзрывности ~;Р й 8. ( 1') Из уравнения неразрывности (2) следует, что существует функция ~М , называемая функцией тока, такая, что зг ~У З~ Ф/ З.Х -3~ 6 =— аУ' г~ ~Рф Ю~' (4) Из (4) ду~~, у У.~~ У=- Гб~ линии равного потенциала ( ре= пег ~)ортогонвльнн линию~ тока Г)""= '~"~~) — ~а ~'о (3) — предположение о потен- У циальности течения где Π— плотность иидиости, К(К,ф — вектор снорости, Р— давление, ~~~Р— потенциал скорости.

Уравнения движения в наших предположениях имеют интеграл л(интеграл Бернули): Из ( 2 ) и (4 ) следует, что Функции У и ~ должны удовлетворять уравнению Лапласа Д,~7= — + — =0 Ь ~=О э'у~ ФР З ~~ З~~ (5) В задаче об обтекании тела безграничным установившимся пото- ком идеальной несжимаемой жидкости задается скорость невозмущенного потока 7 (6) а на границе обтекаемого тела у = у (Х) должно быть внпол- ~С нено условие непроницаемости Таким образом, задача сводится к атыскению функции Я~ или ~ удовлетворяющей уравнению Лапласа (б) и граничным условиям (6), (7), затем из (4) и (1) определяется поле скоростей и давлений.

Так как ~ и Д~ являются сопряженными гармоническими функциями, то можно ввести в рассмотрение аналитическую функцию И~=~~+ с~Р комплексного переменного Я=Х+ ф и сформулировать нашу задачу, как задачу теории Функций комплексного переменного об овысквнии внвкивиивской функции У ~ф.

Элект яузская мо ель. 1. Система авнений. Система уравнений Максвела для плоско-параллельного стационар- , ного электрического поля в слое однородной квазинейтральной прово- дящей жидкости или твердого проводника принимает вид: Модель обтекаемого тела при использовании аналогии А должна быть выполнена из диэлектрика, а при использовании аналогии В— из проводника.

Модель и тело, обтекание которого изучается, должны быть геометрически подобны. В качестве примера проведем электрогидродинэмическую энзлогиюА для задачи о бесциркуляционном обтекании кругового цилиндра. Математически соответствующие задачи формулируются следующим образом ь Ф=О Е =увы Ф ЗФ~ д ~2!и е '~н 45а.иняз а 7 йл радиусы цилищцюв с ,= О ц ~/ /йд. Хн.е~уи.го' ф 7 и~>а +4а4ая: я~~7ОИФ (Величина .~ ~ регулируется разностью потенциалоЪ на электродах А и В). Введем безразмерные переменные: ~А Х й..( В этих переменных имеем: ь Р~=о кс, 4=0 ах*"/ ЯЖ'1 ЭХ" /«КК ФИЕ ЦНŠ—,"ж/ 3 Ч~~/екс с~веееек е.рр ау /,~ = (7 .зенеееетеи.

У Кгтдниуа Ися ре Следовательно, при Х=Х уж ужжимеем Э~ М +У~-~ У~~*,~~= У*~ри", К",1 у~ ~'д 'а) гео %г у ~А"я я, ) Отсюда видно, что семейства линий У'= Ь~~к4' и Ф= ~о~"~~-" в соответствующих координатах совпадают. эФ' Кроме гого — = — — =— у' '7 ЗХ ЗХ ЭХж Г~ -Ю Хи. ~.Ь и енеиогионо -2-= —., т.м 7 Итак, чтобы построить линии равного гидродинвиического потенциала, надо построить эквинотенциальные линии электрического поля.

Чтобы измерить скорости в гидродинамическем потеке, достаточно измерить электрический ток в соответствующих точках модели. К аткое описание становки. Установка ЭГДа состоит из двух основных частей: злектролитической ванны и электрической схемы. Электролитическая ванна предназначена для моделирования исследуемой области движения жидкости. Электрическая схема включает в себя источники питания, приборы, регулирующие напряжение и силу тока в цепи питания, контрольно-измерительные приборы, с помощью которых измеряются характеристики электрического поля в различных точках ванны. Координаты точки электрического поля, в которой производятся измерении фиксируются с помощью координатника.

Обтекание гового ил а и платинки 1теоретическое решение) курир у ра С то ес.Ь Й~Жа.ррах ура Решение задачи об обтекании йб может быть представлено в парзмет ~к=~(т)(Г„~+ — "~)+, $, ~~$) гяв 7г =~ — ) ~~~-сф~ 1у =~~~'+с~ф) М'ИГ ~ у - циркуляция с Щ- Функция, рсвливуицвя конрсркнос огобрвивнис внвиносви круга рцвиуса Ш цлоскосги на внешность обтекаемого контура в плоскости Я Для кругового цилиндра радиуса О.: ~(~) = ~, 7о ест Л $ > ~~ )1 Для плЗЙнки шириной2й. ~® = ~~ ®+ ф-3 -у 7~ ~~~ ь=ф(ц+— ' ); ~и=-, Для бесциркуляционного обтекания Г циркуляция Х определяется из условия, что на одной из кромок ско- рость конечна. Схема координат выбрана так, как показано на рис.

1 Р ис. 1. Запача 1. Бес к л онное обтекание ил а. Содержание задачи В 1. )1ользуясь методом ЗГДА (аналогия А) 1. Построить картину линий равного потенциала и линий тока. 2. Определить распределение скоростей на цилиндре †= К У и сравнить его с теоретическими данными. Составить таблицу 1 и построить графикиМ ~ ~о~) ь) ~икии.

7~жо- ~ Усо 7,~ Яйся 4. ра4лМ > И.Ф~ е ил~ССФ М Таблица 1. -11- к л онное обтекание пластинки. Зялача 2 ° Содержание задачи: Пользуясь методом ЭГДА (аналогия В): Рис. 5 . ВОПРОСЫ К ЗАЧЕТУ ~по задаче Ж 1). 1, Идея метода ЭГДА. 2. Постановка задачи (предположения, система уравнений и гранич- ные условия) о бесциркуляционном обтекании цилиндра. 3. Уравнения для стационарного электрического поля. 4. Моделирование гидродинамического потока.

о. Содержание, порядок выполнения и основные результаты работы. 1. Построить картину линий тока. 2. Определить распределение скоростей на платинке, сравнить его с теоретическими данными. Составить таблицу и построить графики. Схема установки для выбора циркуляции изображена на рис. о, для выполнения первой части задания на рис. 6, второй — на рис.7. Лите ат а 1. Разработка. 2. Н.Н.СУНЦОВ Методы аналогий в гидромеханике" ~к вопросам 1, 4 ).

3. Н.Е;КОЧИН, И.А. КИБЕЛЬ, Н.В. РОЗЕ „Теоретическая гидромехвника", т.1, ~к вопросу 2 ). .