Н.Н. Моисеев, А.А. Петров - Численные методы расчета собственных частот колебаний ограниченного объема жидкости

ВВЕДЕНИЕ 3ка книга была задумана авторами как методическое поселке для проведения расчетов параметров колеблющейся жидкости, заключенной внутри сосуда. Нам показалось, что назрела необходимость появления подобной книги. Теория колебаний ограниченного объема жидкости возникла как глава теории воли, Еще в Х1Х веке были рассмотрены простейшие задачи теории стоячих волн. Общая иестаиеВка задачи также подвергалась анализу, в результате которого был обнаружен целый ряд трудностей, делавших бесперспективным попытки получить численные результаты аналитическими методами, Поэтому после первых успехов теория колебаний жидкости почти перестала развиваться, тем более, что непосредственных технических пвиложений' у этой теории долгое время не было.

Задачи о стоячих волнах, изученные в Х1Х веке, в течение многих лет играли роль иллюстраций при описании возможных движений жидкости. Следующее продвижение этой теории связано с проблемой сейш, Проблемой озерных сейш заинтересовались около ста лет тому назад. Естествоиспытатели Х1Х века обратили внимание на удивительные явления, названные сейшами. Вода в больших озерах совершает периодические движения, похожие на приливы и отливы в океане, Однако объяснить эти явления с точки зрения теории приливов оказалось невозможным, поскольку сейшн в каждом из озер имели свой собственный период, Только в ХХ веке стала ясной связь явления сейш с теорией стоячих волн.

Развитие эффективных методов расчета периодов сейш внутри таких сложных водоемов, какими являются озера и мелководные моря, оказалось возможным благодаря использованию различных упрощающих предположений (и, прежде всего, благодаря упрощениям теории мелкой воды). Одновременно с использованием этих упрощений начинается Развитие различных методов численного анализа. Однако до появления первых электронных вычислительных машин это направление не могло иметь особой перспек- тивы. Цот почему работы такого рода появлялись в этот период эпизодически. Тем не менее интерес к теории колебаний жидкости постепенно возрастает.

Прежде всего она начинает привлекать внимание инженеров-гидростроителей и специалистов по строительству портовых сооружений. Причем уже в тридцатых годах и начале сороковых они ставят на повестку дня не только линейные, но и нелинейные задачи. В последние полтора-два десятилетия появляется все больше и больше технических задач, требующих умении рассчитывать параметры колеблющейся жидкости.

Такие задачи возникают в самых различных областях техники. "Потребителями" теории колебаний жидкости оказываются, например, инженеры, конструируюшие водонапорные сооружения и емкости в сейсмически опасных районах. Конструирование ракет и их расчет на прочность нельзя провести без знания параметров жидкости, которая частично заполняет баки ракет. Эта теория нужна для изучения динамики танкера и теории устойчивости самолета. Наконец, поведение жидкости в условиях невесомости или малой гравитации будет влиять на поведение космического корабля и т.д. Итак, мы видим, что теория колебаний ограниченного объема жидкости имеет широкий круг возможных приложений, причем потребитель" - инженер-расчетчик нуждается в методах, гарантирующих довольно высокую точность результата. Зти обстоятельства стимулируют дальнейшее развитие теории, Успехи, которых достигла эта теория за последнее десятилетие, .связаны, прежде всего, с использованием вычислительных машин.

Поскольку физическая схема явлений очень проста и математическая постановка наиболее важных задач теории была уже известна в Х1Х веке, все усилия последних лет были направлены на развитие численных методов. И сейчас этим вопросам посвящены многие десятки работ; они показали, что многие задачи, которые казались трудными, сейчас поддаются исчерпывающему численному анализу. Именно эти вопросы и стоят в центре внимания данной книги. Изложение начинается с самых элементарных вещей, Подробно объясняется постановка задач, приводятся известные аналитические решения и формулируется вариационный принцип.

Далее основное внимание сосредоточено на изложении процедуры и результатов расчетов в различных конкретных случаях, Нелинейным задачам мы уделяем мало места, для этого много причин, Прежде всего, пронедуры расчета, принятые в настоящее время, очень громоздки и, по-видимому, подвергнутся еще значительным усовершенствованиям, Далее, в отличие от линейных задач этот вопрос с математической точки зрении изучен очень плохо и нам ие хотелось в книге учебного типа уделять много места материалу не имеющему надежного математического обоснования Чисто математические вопросы занимают очень мало места.

Они вынесены в отдельный раздел, который читателем может быть пропущен без ущерба для понимания последующих разделов, Эта книга не является ни обзором, ни историческим очерком. Она представляет собой систематическое изложение предмета. Поэтому в ней мало имен. Разумеется, изложение основано не только на работах авторов. Мы использовали также ряд других работ. В соответствующих местах мы даем ссылки на библиографию.

В качестве основного читателя авторы видели не специалиста-гидродинамика и не математика, который интересуется сложными задачами гидродинамики (хотя и тот и другой, несмотря на элементарность изложения, могут найти некоторые новые факты), а расчетчика который нуждается в пособии по методам расчета, и, если угодно, в своеобразном справочнике.

Если предлагаемая работа окажет некоторую помощь етой группе лиц, то авторы будут считать свою цель достигнутой. Глава «врвал УРАВНЕНИЯ, ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ, ПРОСТЕЙШИЙ ПРИМЕР 5 1 Предварительные замечании Жидкость, налитая в чашку (рис. 1), представляет собой некоторый резонатор (колебательную систему ) и поэтому ее движение во многих отношениях подобно колебанию математического маятника. Если последний отклонить от положения равновесия, то сила тяжести создает ускорение, направленное против смещения: мы говорим, что при отклонении маятника возникает возвращающая сила, Если отклонение мало, з ~у то ее можно считать пропорциональной отклонению.

Под действием возвращающей силы возникает движение. Это у движение оказывается колебательным. Точно также, если поверхность жидкости выведена из положения равновесия ( т. е, поверхность жидкости уже не горизонтальна, а имеет Рис. 2 форму волны), то под действием силы тяжести возникают ускорения, направленные против смещений: в вершине волны они направлены вниз, а во впадине - вверх, и движение частиц жидкости будет колебательным около положения равновесия.

В случае математического маятника частота колебаний определится только длиной математического маятника. Точно также частота колебаний жидких частиц определится только геометрией сосуда, в который налита жидкость, Однако, если длина маятника определяет одну определенную частоту колебаний, то жидкие частицы могут колебаться с различными частотами. Этих возможных частот колебаний бесконечное множество. Говорят, что они образуют спектр собственных частот. Поэтому общий характер дР о 1 . +(Р Ч) Рю-Яй И р Ф здесь ~ — оператор Гамильтона: дно д о д о ч- — х+ — )~+ — я, дк дУ дх «о,уо,,ео - единичные векторы.

Нетрудно проверить равенство .+ .+ ~2 .в р (Р7)Р 7 2 +ах рэ где Й го$Р ЧхР, Таким образом, уравнения движения можно записать еше и так дР 7' ' о 1 д$2 — +7 — +й х Р -Вк --ор, Р (1.3) Уравнение (1.3) называется уравнением Эйлера в форме Л амба. ~ 3. Граничные условия Функции Р и ~, которые Описывают колебание жидкости, являясь функциями координат М,~, й (точки Р) и времени 1, удовлетворяют системе уравнений (1.2). Кроме того, они должны удовлетворять некоторым граничным условиям на смоченной поверхности сосуда Е и поверхности волны. Различаются кинематические и динамические условия, А.

Кинвмваачвств уалоеиа. Так называются граничные условия, которые налагают ограничения на скорости. Действуюшие силы в эти условия не входят, Кинематическое условие на смоченной поверхности сосуда Š— это условие того, что частицы жидкости не могут проникнуть сквозь поверхность Е, Таким образом, на Е нормальная составляющая вектора скорости равна нулю Р ( Р Й ) ° 0, (1.4) здесь Й вЂ” единичный. вектор нормали к Е, Условимся раз навсегда брать внешнюю нормаль по отношению к объему, занятому жидкостью.

Кинематическое условие на свободной поверхности, т.е. на поверхности волны несколько иного типа. Это условие -8- состоит в предположении, что частица жидкости, которая в начальный момент находилась на поверхности жидкости, в течение всего времени движения будет находиться на поверхности жидкости, Пусть уравнение поверхности будет таким: Р(Х,У,Х,й) -О. (1А) или " +Н вЂ” +У вЂ” + — -О. ж ~Г аГ аГ В ЗХ ду ЗХ (1.Е) В том частном случае, когда уравнение поверхности задано в виде Х - ~(Х,)1, 1) . Условие (1.6) примет вид а~ з~ з~ — +М вЂ” +Р— В. а1 ЗХ аУ (1.7) П ром о ч ив и Е. Условие (1,8)-(1.7) не является самостоятель~.

ным. Оно — следствие гипотезы неразрывности, Для того чтобы ето показать, напишем условие неразрывности для объема Т, ограниченного сверху поверхностью волны в момент времени $О, снизу» поверхностью, которая представляет собой геометрическое место вершин отрезков длиной 1, отложенных по нормали к поверхности волны, и боковой поверхностью, котррая образована отрезками нормалей к поверхности волны, проведенных в точках некоторого зам- кнутого контура, построенного на поверхности волны (рис. 2). Пусть уравнение свободной поверх- ности задано в форме (1.6), В момент Раб, 3 вРемени 1-$О+ Ь| точки поверхности волны Х ХО+ЬХ,У УО+Ц,Х-ХО+аХ будут удовлетворять уравнению г(ХО+аХ>УО+ФХО+'1Х.ХО+~1) О где хо, Уо, хо - точка поверхности волны в момент времени $ о, В етом Уравнении удержим только члены первого порядка малости: Таким образом, как бы ни двигались частицы жидкости, лежащие на поверхности волны, они должны удовлетворять уравнению (1Л), т.е, (1.5) — это интеграл уравнений движения.