Часть 2 (П.Г. Фрик - Турбулентность - модели и подходы. Курс лекций)

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Пермский государственный технический университет Кафедра математического моделирования систем и процессов П.Г.Фрик ТУРБУЛЕНТНОСТЬ: МОДЕЛИ И ПОДХОДЫ Курс лекций Часть П Рекомендовано учебно-методическим советомпо направлению «Электроника и прикладная математика» в качестве учебного пособия для студе нтов спе циаль ности «Прикладная математика» Пермь 1999 УДК 532.517.4 Ф88 Турбулентность: модели и подходы.

Курс лекций. / П.Г.Фрик; Перм. гос. техн. ун-т. Часть П. Пермь, 1999. 136 с. кафедра общей физики Пермского государственного технического университета, д-р физ.-мат.наук, профессор Д.В.Любимов Рецензенты: 1ЯВХ 5-88151-193-Х © Пермский государственный технический университет, 1999 Вторая часть курса лекций включает в себя введение и четыре из семи разделов курса «Турбулентность: модели и подходы» (три первых раздела: «Основы», «Хаос в динамических системах» и «Полузмпирические модели» вошли в первую часть курса). В четвертом разделе излагаются модели однородной и изотропной турбулентности, начиная с теории Колмогорова и кончая современными моделями перемежаемости в развитой турбулентности.

Пятый раздел посвящен некоторым специальным турбулентным потокам. Рассмотрены особенности поведения двумерной турбулентности и турбулентности, вызванной силами Архимеда. В шестом разделе излагаются модели, основанные на применении специальных функциональных базисов, названных иерархическими, и дается краткое изложение вейвлетанализа, с примерами его применения к гидродинамическим системам.

Последний, седьмой раздел посвящен каскадным моделям турбулентности- простейшим моделям развитой турбулентности, доказавшим свою эффективность в моделировании свойств турбулентности в инерционных интервалах при очень высоких числах Рейнольдса. Для студентов и аспирантов физико-математических специальностей. Ил.89.

Библиогр.: 35 назв. ВВЕДЕНИЕ Настоящий курс лекций ставит своей целью дать представления о разнообразных подходах и методах, применяемых в исследованиях развитой турбулентности. Курс состоит из двух частей. Первая часть включала три главы: 1.Основы, 2.Хаос в динамических системах, З.Полуэмпирические модели. Первая глава содержала базовые сведения об уравнениях движения идеальной и реальной жидкости и краткий обзор методов и некоторых результатов исследования устойчивости гидродинамических систем.

Во второй главе обсуждались методы и подходы теории динамических систем, позволившей значительно углубить понимание процессов перехода от детерминированного поведения к хаотическому. Третья глава кратко знакомила с подходом Рейнольдса к описанию средних полей в развитых турбулентных течениях и вытекающими из него полуэмпирическими моделями турбулентности. Нужно отметить, что в первую часть курса были включены в основном сведения, которые можно найти в различных учебниках и монографиях. Настоящая, вторая часть содержит результаты, которые, за редким исключением, не вошли еще в книги и могут быть найдены только в оригинальных статьях. Эта часть, предлагаемая вниманию читателя, состоит из четырех глав (с четвертой по седьмую, так как для обеих частей принята сквозная нумерация).

Четвертая глава посвящена моделям однородной и изотропной турбулентности. Здесь собраны модели мелкомасштабной турбулентности, начиная со знаменитой теории Колмогорова 1941 года. Описаны первые попытки учета перемежаемости (лог-нормальная модель, бета-модель). Показано, что дало применение к теории турбулентности идеи фрактальности и как использование новых экспериментальных данных о структуре поля диссипации энергии и о поведении высших статистических моментов привело к появлению новых моделей, основанных на лог-пуассоновской статистике турбулентных полей. Пятый раздел посвящен некоторым специальным турбулентным потокам.

Рассмотрены особенности поведения двумерной турбулентности, в которой наличие дополнительного закона сохранения приводит к качественно иному поведению мелкомасштабного течения. На примере турбулентности, вызванной силами плавучести (т.е. конвективной турбулентности), показано, как может меняться динамика инерционного интервала под действием дополнительного силового поля. В шестом разделе излагаются модели, основанные на применении специальных функциональных базисов, воспроизводящих структуру турбулентных потоков. Эти базисы получили название иерархических и по современной терминологии относятся к вейвлет-базисам.

Вейвлет-анализ (возникший заметно позже первых иерархических моделей) превратился на сегодня в развитую область матфизики и его значение для исследования стохастических гидродинамических систем и турбулентности не исчерпывается применением вейвлет-базисов для численного моделирования течений. Учитывая, что до настоящего времени литература о вейвлетах на русском языке практически отсутствует, в этой же главе дается краткое изложение основ вейвлет-анализа, с примерами его применения к гидродинамическим системам.

Последний, седьмой раздел посвящен каскадным моделям турбулентности - простейшим моделям развитой турбулентности, доказавшим свою эффективность в моделировании свойств турбулентности в инерционных интервалах при очень высоких числах Рейнольдса. Эти модели, являясь динамическими системами относительно высокого порядка (несколько десятков уравнений), описывают каскадные процессы в широком интервале масштабов. Дано изложение методов построения моделей этого типа, приведены примеры построения моделей для различных турбулентных течений и рассмотрены некоторые результаты их применения. Курс предназначен для студентов специальности "Прикладная математика", ориентирующихся на работу в научно-исследовательских учреждениях и на кафедрах, в особенности тех, что связаны с решением задач механики жидкости и газа.

В то же время, в курсе рассматриваются и общие подходы к моделированию сложных динамических систем, которые могут быть полезными специалистам, занимающимся моделированием самых различных (и не только механических) систем и явлений. 1.ОСНОВЫ 2. ХАОС В ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ 3. ПОЛУЭМПИРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ 4. ОДНОРОДНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ 4.1. Однородная и изотропная турбулентность Начиная изучение свойств мелкомасштабной турбулентности, сделаем несколько важных замечаний, частично повторяющих выводы, обсуждавшиеся в первой части курса.

Прежде всего напомним, что мы ограничиваемся рассмотрением течений несжимаемой жидкости, описываемых уравнениями Навье — Стокса, которые запишем в виде д,~, + ~ д ~, = — р 'д,р+нд'~, + г;, др, =О. (4.1) (4.2) .,галл) =гг,гу,г)+и,гу,г), ргуг) = ргуг)+ р'г,—,г), г(уг) = нуг)+г'~у,г). (4.3) Подход приводит к уравнениям для средних величин дГг,. -~ У д Гг,. = — р ''д Р ~чд'. ГГ, — д (и и) ~- Г;., (4.4) Здесь ~, - компоненты скорости, Г, - компоненты силы, р - плотность, р- давление, ~ — вязкость. При этом нужно не забывать, что сама возможность применения уравнений (4.1)-(4.2) к описанию турбулентных течений при огромных значениях числа Рейнольдса не является очевидной, так как при их выводе использовано предположение о том, что тензор вязких напряжений является линейной функцией только первых производных поля скорости (см.

вводные замечания к разделу 3). Важно также подчеркнуть, что рассматривается развитая турбулентность, характеризуемая наполненными спектрами Фурье (как временными, так и пространственными), что свидетельствует о существовании много- масштабной структуры поля скорости. Именно многомасштабность и является важнейшим признаком развитой турбулентности, приводя к возбуждению гигантского числа степеней свободы. Мы уже говорили о том, что любой подход к описанию развитой турбулентности по сути представляет собой тот или иной способ ограничения числа степеней свободы, приводящий к соответствующим моделям. В главе 3 бьп рассмотрен подход Рейнольдса, состоящий в представлении входящих в (4.1Н4.2) полей в виде сумм средних гюлей и пульсаций: включающим новый член - тензор напряжений Рейнольдса (угловые скобки по-прежнему обозначают осреднение по ансамблю реализаций).

Различные способы замыкания уравнений (4.4)-(4.5) составляют суть полу- эмпирических моделей. Подход Рейнольдса (и связанные с ним полуэмпирические модели) направлен на описание средних полей скорости, возникающих в конкретных потоках. Каждая полуэмпирическая модель адаптируется для заданного (как правило, достаточно узкого) класса течений и включает ряд параметров, экспериментально определяемых именно для данного класса течений и справедливых в определенном диапазоне значений числа Рейнольдса. Таким образом, делается попытка ограничиться описанием крупномасштабных полей, а влияние мелкомасштабных полей охарактеризовать с помощью небольшого числа параметров.

Зададимся теперь вопросом о том, есть ли у турбулентности некие универсальные свойства, не зависящие от конкретных условий ее возбуждения? Очевидно, что рассчитывать на обнаружение таких универсальных свойств можно только вдали от границ и на масштабах, существенно меньших размеров области, занятых турбулентным течением. Таким образом, мы начинаем изучение мелкомасштабной турбулентности, в смысле, что основной интерес представляют для нас масштабы ~ «х. (х. - внешний, или интегральный масштаб турбулентности). В то же время, говоря о развитой турбулентности, мы подразумеваем, что числа Рейнольдса столь велики, что остается широкий диапазон возбужденных масштабов, удовлетворяющих этому условию.