Часть 1 (П.Г. Фрик - Турбулентность - модели и подходы. Курс лекций)

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Пермский государственный технический университет Кафедра математического моделирования систем и процессов П.Г.Фрик ТУРБУЛЕНТНОСТЬ: МОДЕЛИ И ПОДХОДЫ Курс лекций Часть 1 Рекомендовано учебно-метолическим отделом по направлению «Электроника и прикладная математика» в качестве учебного пособия для студе нтов с нециаль ности «Прикладная математика» Пермь 1998 УДК 532.517.4 Турбулентность: модели и гюдходы. Курс лекций. Часть ? / П.Г.Фрик; Перм. гос.

техн. ун-т. Пермь, 1998. 108 с. кафедра физики Пермского государственного технического университета, д-р физ.-мат.наук, профессор Д.В.Любимов Рецензенты: 1БВМ © Пермский государственный технический университет, 1998 Первая часть курса лекций включает в себя введение и три из семи разделов курса «Турбулентность: модели и подходы». Первый раздел содержит базовые сведения из механики жидкости, необходимые для дальнейшего изложения. Второй посвящен вопросам, связанным со стохастическим поведением маломодовых систем гидродинамического типа. В третьем разделе выводятся уравнения для статистических моментов пульсаций скорости и дается краткий обзор моделей, используемых для их замыкания. Для студентов и аспирантов физико-математических специальностей.

Ил.64. Библиогр. 12 назв. ВВЕДЕНИЕ ..... 1 ОСНОВЫ. 1.1 Уравнения движения жидкости. .21 1.2 Устойчивость течений. .26 1.3 Свободная копвекпня несжимаемой жидкости.. .31 1.4 Конвективная устойчивость. .37 1.5 Маломодовая модель конвекции(система Лоренца) 2 ХАОС В ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ. ..42 .43 2.1 Консервативные и диссипативные системы 2.2 Бифуркации .50 Как описать переход и хаос? 2.4 Спектры Фурье..

.63 2.5 Странный аттрактор. .67 2.6 Фракталы.. 2.7 Субгармонический каскад .74 .79 2.8 Некоторые примеры . 3 ПОЛУЭМПИРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ . .92 3.1 Развитая турбулентность 3.2 Уравнения для статистических моментов. ... 102 3.3 Турбулентная вязкость ... 3.4 Длина пути смешения.. . 103 ..105 3.5 Модели переноса турбулентной вязкости.. .... 105 3.6 Двухпараметрические модели. ВВЕДЕНИЕ Турбулентность остается одним из наиболее сложных объектов исследования механики жидкости и газа. За почти столетнюю историю ее изучения предложены десятки различных подходов, почти всегда отражающие наиболее активно развиваемые перспективные направления математики и физики соответствующего периода времени. Статистическая физика и теория вероятности, теория размерности, фурье анализ и прямые численные методы, теория динамических систем, теория фракталов и вейвлет-анализ - вот далеко не полный перечень областей науки, которые давали основные идеи исследователям турбулентности.

Теория турбулентности далека от своего завершения. Продолжают появлятся и все новые подходы к ее изучению. Растет число моделей, предлагаемых для лучшего понимания отдельных ее свойств. Дать представление об основных идеях, движущих этот процесс, продемонстрировать возможности различных подходов и показать проблемы, ими не разрешенные, представить современные модели, не вошедшие еще в учебники и не ставшие хрестоматийными - вот цель предлагаемого курса лекций. Курс предназначен для студентов специальности "прикладная математика", ориентирующихся на работу в научно-исследовательских учреждениях и на кафедрах, в особенности тех, что связаны с решением задач механики жидкости и газа.

В то же время, в курсе рассматриваются и общие подходы к моделированию сложных динамических систем, которые могут быть полезными специалистам, занимающимся моделированием самых различных (и не только механических) систем и явлений. Курс рассчитан на студентов, получивших широкую базовую подготовку по основным математичеким дисциплинам, включая методы математической физики, функциональный анализ и теорию вероятности, а также прослушавших спец- курсы по механике (механику сплошных сред, теорию определяющих соотношений).

Курс лекций состоит из двух частей. В первую часть включены три главы, включающие в основном сведения, которые можно найти в различных учебниках и монографиях, но собранные воедино и изложенные в свете задач, обсуждаемых в этом курсе. Вторая часть содержит результаты, которые, за редким исключением, не вошли еще в книги и могут быть найдены только в оригинальных статьях.

Первая глава содержит базовые сведения по динамике несжимаемых жидкостей, включая вывод уравнений движения для идеальной и вязкой жидкости и примеры задач, имеющих точные ре|иения. Даны основы тео- рии устойчивости, имеющей важнейшее значение в понимании проблем перехода от ламинарных течений к турбулентным. Подробно обсуждаются две задачи : устойчивость плоского течений Пуазейля (задача ОрраЗоммерфельда) и задача Релея о конвективной устойчивости подогреваемого снизу горизонтального слоя несжимаемой жидкости.

Последняя задача предворяется выводом уравнений свободной конвекции в приближении Буссинеска и обсуждением необходимых условий устойчивости неоднородно нагретой жидкости, находящейся в поле сил тяжести. Особое внимание уделяется вопросу о безразмерном представлении уравнений движения, о законах подобия и о безразмерных параметрах и их роли в описании процессов перехода к хаотическому поведению. Глава заканчивается выводом маломодовой модели конвекции (модель Лоренца). Этот вывод имеет методическую цель -показать и обсудить проблему проектирования нелинейных уравнений движения на конечномерный базис и переход от уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям.

В то же время подробный вывод модели полезен, так как полученная система уравнений широко используется в следующей главе, где подробно обсуждаются ее свойства. Значительный прогресс в понимании природы и свойств турбулентности произошел в последние десятилетия благодаря успехам теории динамических систем, позволившим понять как хаотическое поведение возникает в детерминированных системах. Этим результатам посвящена вторая глава, в которой приводятся базовые сведения из теории динамических систем и обсуждаются некоторые приложения. Вводится понятие фазового пространства и даны примеры фазовых портретов некоторых простых динамических систем.

Обсуждаются особенности эволюции консервативных и диссипативных систем. Для диссипативных систем вводится понятие аттрактора, обсуждаются свойства аттракторов стохастических систем. Излагаются краткие сведения из теории фракталов, дается понятие обобщенной размерности и описаны алгоритмы определения размерности аттракторов стохастических систем. Даны основы теории бифуркаций, рассмотрены некоторые методы исследования перехода к хаосу и характреистики динамических систем при периодическом и хаотическом поведении (сечения Пуанкаре, показатели Ляпунова, энтропия Колмогорова, спектры Фурье). Описаны и обсуждены основные сценарии перехода от порядка к хаосу: сценарий Ландау, сценарий Рюэля и Таккенса, субгармонический каскад.

В заключение главы рассматриваются примеры гидродинамических систем, демонстрирующих хаотическое поведение. Проведен подробный анализ поведения модели Лоренца, уравнения которой выведены в первой главе. Рассмотрена также простейшая модель генерации магнитного поля Земли (динамо Рикитаки), воспроизводящая эффект случайных перебросов направления магнитного поля.

Показаны и обсуждены также результаты экспериментального наблюдения хаотизации конвективного течения в замкнутой полости. В третьей главе начинается знакомство с методами описания развитой турбулентности, а именно, с исторически первым и наиболее развитым подходом к описанию турбулентных потоков. Это подход Рейнольдса и выросшие из него многочисленные полуэмпирические модели турбулентности. Начинается глава с определения статистических моментов случайных полей, характеризующих турбулентный поток. Далее дан вывод уравнения Рейнольдса для средних полей и обсуждаются вопросы, связанные с появлением в уравнениях тензора напряжений Рейнольдса.

Показано, как получается цепочка уравнений Фридмана-Келлера и формулируется проблема замыкания. Разговор о путях решения этой проблемы начинается с описания гипотезы Буссинеска для тензора напряжений, определения понятия турбулентной вязкости, описания и обсуждения модели пути смешения Прандтля. В последующих параграфах рассмотрены более сложные модели: модели переноса турбулентной вязкости и двухпараметрические модели типа й-с модели. Полуэмпирическим моделям в предлагаемом курсе лекций уделено сравнительно скромное место по двум причинам.

Во-первых, именно этот подход наиболее полно освещен в литературе и может быть свободно изучен по учебникам. Во-вторых, основной целью данного курса является знакомство с методами изучения свойств мелкомасштабной турбулентности (однородной изотропной турбулентности), которая как раз и остается за полем зрения полуэмпирических моделей. Поэтому описание этих подходов необходимо только для общего знакомства с идеологией метода, дающего возможность ссылаться на него в дальнейшем и проводить не обходимые сравнения. 1 ОСНОВЫ 1.1 Уравнения движения жидкости Гидродинамика - это раздел механики сплошных сред, описывающий движение жидкостей и газов в рамках модели сплошной среды.

Последнее означает, что рассматриваются масштабы ~ » ~, где ~ - длина свободного пробега молекул. Рассматривается физически бесконечно малый объем, и вводятся характеристики среды: скорость ~ и две термодинамические величины: давление Ри плотность Р. 1.1.1 Уравнение непрерывности Законы движения выводятся из законов сохранения. Сначала используется закон сохранения вещества.

В пространстве фиксируется некоторый объем Ч, ограниченный поверхностью 5, масса которого равна Изменение массы этого объема есть д д — т = — 1 рл', Й д~„ а вытекающий из объема поток жидкости ~р „Л. Если за положительное направление принять направление движения из рассматриваемого объема, то условие сохранения массы можно записать в виде Правая часть равенства преобразуется по теореме Остроградского- Гаусса ~рч„сБ = ~ йч(рР)сЛ~. Тогда — + йч(ра) = О, др д~ которое называют уравнением непрерывности (неразрывности).

Для несжимаемой жидкости плотность есть величина постоянная (р = сопи) и уравнение (1.1) упрощается: йи(ю) = О (1.2) Важно отметить, что уравнение неразрывности справедливо и для идеальной, и для реальной жидкости. 1.1.2 Идеальная жидкость Уравнения для скорости выведем сначала для идеальной жидкости. Идеальная жидкость- это жидкость без вязкости и теплопроводности. Закон сохранения импульса для движущегося жидкого объема есть — () риа)= ~~~ 7",, где в правой части стоит сумма всех сил, действующих на выделенный объем.