Буслов, Яковлев - Введение в численный анализ

Оглавление 0.1 От авторов 1 Введение. Пространства с метрикой 13 2 Аппроксимации функций 2.1 Интерполяция 13 2.1.1 Задача интерполяции 13 2.1.2 Чебышевские системы функций . 2.1.3 Интерполяция многочленами 2.1.4 Погрешность интерполяции 2.1.5 Оценка Агк+1 (х). 2.1.6 Сходимость интер1юляции, Примеры 19 2.1.7 Сплейвы 26 2.2 Аппроксимации Паде 26 2.2,1 "Наивный "подход 2.2.2 Детермннантное Представление полвномов Паде 28 2.2.3 Аппроксимации Паде в бесконечно удаленной точке . 30 33 3 с%моленное дифференцирование 3.1 Дифференпнрование ннтерполяционного полинома 33 34 3.2 Конечные разности 3.2.1 Оператор Ь н обобщенная степень 3.2.2 Интерполяционный многочлен Ньютона для равноотстоящих узлов 37 4 Нисленное интегрирование 39 4.1 Наводящие соображения 472 Квадратурные формулы Ньютона-Котеса 40 4.2.1 Случай равноотстоящих узлов 40 4.2.2 Оценка погрешности квадратурных формул Ньютона-Котеса 4.3 Формулы Гаусса-Кристофеля 4.3.1 Пределы алгебраической степени точности 4.3.2 Ортогональные полиномы 4.3.3 Свойства ортогонельных полнномов 4.3.4 Примеры ортогональных полнномов 4.3.5 Погрешность квадратурных формул 4.4 Примеры квадратурных формул 4.4.1 Число узлов Ь вЂ” 1 .

4.4.2 Число узлов Ь = 2 . 4.4.3 Число узлов Е = 3 . 4.5 Составные квадратурные формулы 50 4.5.1 Сходимость квадратурных формул . 50 4.6 Другие формулы 51 4.6.1 Сплайн-квадратура 51 52 4.6.2 Формулы Филона 4.6.3 Составные формулы Филона 53 5 Системы уравнений 55 5.1 Решение нелинейных уравнений . 5.1.1 Одномерный случай. 56 5.1.2 Метод Ньютона 5.1.3 Метод секущих 57 5.1.4 Многомерный случай 60 5,2 Решение линейных систем 5.2.1 Обусловленность линейных систем, погрешность 60 60 5.2.2 Метод Гаусса . 5.2.3 Ь-В разложение 5.2.4 Метод прогонки 5.2.5 Метод Зейделя 5.2.6 Сходимость метода Зейделя 6 Алгебраические спектральные задачи 6.1 Некоторые сведения из матричной теории 6.2 Собственные числа зрмнтомых матриц 70 6.2.1 Интерполяционный метод 70 6.2.2 Нахождение максимального по модулю собственного значения 70 72 6.2.3 Обратные итерации 72 6,3 Незрмвтовы матрипы 6.3.1 Дополнительные сведения 72 6.3.2 Метод итераций для максимального по модулю собственного числа кратности 2 в случае жорда- 73 НОВОЙ аномалии 7 Поиск минимума 7.1 Случай одной переменной 7.1.1 Метод золотого сечения 78 7.1.2 Метод парабол 7.2 Функции многих переменных 7.2.1 Координатный спуск 7.2.2 Нанскорейший спуск 80 7.2.3 Метод сопряженных направлений 80 8 Дифференциальные уравнения 8.1 Общие сведения 8.1.1 Задача Коши 8.1.2 Краевая задача 8.1.3 Задача Штурма-Лиувилля .

8.1.4 Что понимается под численным решением . 8.2 Задача Коши 8.2.1 Получение явных схем 8.2.2 Схема Эйлера (метод ломаных) 8.2.3 Методы Рунге-Кутта 8.2.4 Методы Адамса 8.3 Краевая задача 8.3.1 Метод стрельбы 8.3.2 Метод сеток (разностный метод) 8.3.3 Сходимость сеточных методов 8.3.4 Метод Нумерова 8.4 Зализа Штурма-Лиувилля 8.4.1 Метод стрельбы 8.4.2 Метод сеток 8.5 Разностный оператор второй производной 8.5.1 Оператор второй производной 8.э.2 Разностный оператор 8.э.3 Резольвента 83 83 83 85 85 85 86 87 88 89 90 93 93 8.5.4 Теория возмущений 0.1 От авторов Предлагаемое издание является первой частью учебника для студентов естественнонаучных факультетов и представляет собой изложение вводных лекпий по численным методам, читавшихся на протяжении ряда лет авторами в первом семестре П курса фызического факультета СПбГУ.

С этим связано ограничение материала вошедшего в учебник, поскольку ко второму курсу студенты еще не обладают достаточной математической подготовкой. необходимой для реализапии многих численных методов. В частности, не освещены вопросы численного решения дифференциальных уравнений в частных производных, некорректных задач и ряда других, относюпихся ко второй части курса по численным методам, преподаваемого на 1У курсе физического факультета, и готовящимся к публикации в качестве второй части настоящего пособия. Тем не менее некоторые вопросы вводного курса численных методов требуют предварительных знаний, выходящих за рамки об'ема математических сведений, получаемых студентами на 1-и и даже П-м курсе, поэтому авторы сочли как необходимым так и возможным, включить в соответствующих местах базовые сведения из функпионального анализа и математической физики, чтобы сделать изложение материала в разумных пределах независимым от априорных знаний читатели.

В книге принята нумерация формул по главам. Приведенная библиография частично представляет собой источник справочного материала, но, в основном, рассчитвна на дальнейшее изучение численных методов. Авторы рады возможности выразить свою благодарность нашему коллеге С.Ю.Славянову, прочиэввшему рукопись и сделавшему ряц ценных замечаний, и признательны Т.В.срроловой за помощь в наборе текста. Глава 1 Введение. Пространства с метрикой В численных методах математическая задача решается как правило приближенно.

Получаемое приближение в том или ином смысле должно быть "близко расположенным" к истинному решению, поэтому понятию близости необходнмо придать четкий математический смысл, чтобы иметь критерий сравнения и возможность утверждать, что такое-то приближение есть "хорошее "приближение, а такое-то — нет. Все об'екты, которые изучаются в численных методах, принадлежат некоторым пространствам (различиым пространствам функций, векторным пространствам) с различными свойствами.

Общим для всех этих пространств является 1гонятие расстояния, которое н является мерой близости элементов. Поэтому естественно начать изучение численных методов с наиболее обп1его пространства, для любой пары элементов которого, определено расстояние. Таковым является меглрическое пространство. Определение. Пусть М вЂ” некоторое множество и р — бинарная функция называемая мвшрикой, р: М х М э В,з. = (О, со), такая что для любых элементов множества ЛХ выполнено 1) р(х, у) = О оо х = у; 2)р(х,у) = р(у,х); 3)р(х, х) < р(х, у) + р(у, х) — неравенство треугольника, тогда пара (ЛХ, р) называется метрическим пространством. Заметим, что если на одном и том же множестве М определить другую бинарную функцию с указанными свойствами, то мы будем иметь, соответственно, и другое метрическое пространство.

Структура метрического пространства позволяет говорить о сходимости последовательностей элементов данного пространства. Именно, последовательность х, называется сходящейся (по метрике) к элементу х если !пп р(х„х) = О . На практике же, имея дело с последовательностями приближений х, к точному решению х поставленной задачи, проверять выполнение этого условия зачастую не представляется возможным. поскольку само это решение. как правило, неизвестно, и есть лишь возможность сравнивать приближения х, между собой, то есть выяснять является ли данная последовательность фундаментальной (последовательностью Коши). Напомним, что последовательность х, называется фундаментальной, если Ч е > О Здг Ч1, Л > Х р(хи хь) < е. Метрическое пространство, в котором любая фундаментальная последовательность имеет предел, принадлежащий этому же пространству, называется полним.

Как известно, любое неполное метрическое пространство (М, р) можно пополнить 1ог] единственным образом с сохранением расстояния, если понимать под элементами пополнения (ЛХ', р") классы эквивалентных друг другу фундаментальных последовательностей (последовательности (х„) и (д„) называются эквивалентными, если р(х, у„) -+ О при п -+ оо), а в качестве новой метрики р" принять следуюшую: р" (х", д*) = 11ш р(хь, уг), где элементы хы дэ являются Й-ми элементами из э-~ ю произвольных представителей (х„1 и (у ) классов эквивалентных последовательностей, отвечающих элементам х* и 7 у соответственно. При этом элементы пространства (М, р) всюду плотны в (М*,р ), Простым примером вепш~ного метрического пространства служит отрезок (0,1] с метрикой р(х,у) = ]х — у].

Это пространство неполное, так как последовательность 1/и. очевидно, является фундаментальной, но ее пределом является О, и он не принадлежит отрезку (0,1]. Пополнением служит замкнутый отрезок [0,1]. Естественно, что полнота пространства, является существенным обстоятельством для численных методов, поскольку последовательность приближений, принадлежащих одному классу объектов, может иметь предел этому классу не принадлежащий и, следовательно, не обладать требуемыми свойствами.

Как правило в численных методах зюзача поиска решения х методом последовательных приближений может быть сформулирована в виде задачи о нахождении неподвижной точки некоторого сжимающего отображения А: Ах = х Напомним, что точка х называется неподвижной точкой отображения А заданного в метрическом пространстве, если выполнено (1). Само же отображение А называется сжимающим или сжатием, если существует такое число 0 < а < 1, что для любых элементов х, у метрического пространства (2) р(Ах,Ау) < ар(х,у) . Заметим, что всякое сжимающее отображение непрерывно, поскольку если х — > х, то из (2) следует, что Ах -э Ах. Важным свойством сжимающего отображения является существование неподвижной точки.