Сопротивление трения при обтекании плоской пластины (Раздаточный материал)

3. СОПРОТИВЛЕНИЕ ТРЕНИЯ ПРИ ОБТЕКАНИИ ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНКИ Котелкин В.Д. Длл практических приложений большой интерес представвпот силы взаимодействия между газом и движушимся в газе телом (аэродинамические силы). Величина подъемной силы определяет грузоподъемность летательного аппарата, а от силы сопротивления зависят скорость и экономичность полета. При полете с постоянной скоростью развиваемая лвнгателем мошность равна произведению силы сопротивления на скорость. Прямое измерение интегральных аэродинамических сил можно выполнить с помощью аэродинамических весов. Однако для создания совершенных моделей летательных аппаратов конструктору недостаточно информации только о полных аэродинамических силах, необходимо также знать как эти сквы распределены по поверхности аппарата.

Только зная детальное распределение сил давления и трения на поверхности летательного аппарата можно вычислить силы и моменты, действующие на отдельные элементы конструкции, т. е. получить информацию, необходимую для обеспечения запаса прочности изделия и безопасности полета, поскольку крылья большого размаха и плошади подвергаются воздействию как больших сил, так и значительных крупшшх и изгибающих моментов. Понятно, что проведение местных поверхностных измерений требует гораздо больших затрат труда, чем интегральные измерения. Предпринимались попытки прямого измерения локальных сил с помощью так называемого «плаваюшего злементв>, т. е.

элемента заделанного «заподлицов с поверхностью и могущего смещаться под действием сил со стороны потока. Этот подход не получил распространения на практике из-за своей сложности. Нашли применение подходы, основанные на измерении статического давления на поверхности и скорости вблизи поверхности н последующем вычислении поверхностных снл.

Измерение скорости потока на малом расстоянии от обтекаемой поверхности и вычисление местной силы трения составляет основное содержание настояшей работы. Измерение скорости на малых расстояниях от поверхности также вызывает серьезные трудности, поскольку здесь имеют место большие градиенты скорости в поперечном направлении, а сама скорость стремится к нулю. Для измерения скорости в работе используются мапенькие 37 зонды-трубки полного давления (трубка Пито, представляюшая усеченный вариант трубки Пито-Прандтля), скорость вычисляется из интеграла Бернулли, где статическое давление определяется в результате отдельных измерений. Ясно, что с помошью трубки Пито нельзя провести измерения на расстоянии меньше радиуса трубки, это в лучшем случае дает 0,1 мм. Применение для измерения скорости термоанемометров позволяет приблизиться к поверхности на расстояние порядка 0,01 мм.

Термоанемометром называется зонд, у которого чувствительным элементом является нагретая электрическим током проволочка из платины, длиной около 1 мм и диаметром до 0,01 мм и менее. Проволочка натянута на конце вилочки, ножки которой являются проводниками электрического тока н присоединены к мостику Уинстона с измерительными приборами н электропитанием. Под действием воздушного потока проволочка меняет свою температуру, а следовательно и электрическое сопротивление, что регистрируется измерительными приборами. Однозначная зависимость показаний электроприборов от скорости воздушного потока, перпендикулярного к проволочке, устанавливается тарировкой.

Вязкие внутренние напряжении Первые уравнения движения жидкостей и газов (Л. Эйлер, 1755), в качестве внутренних напряжений содержали только силы давления, хорошо известные из гидростатики рй=-р 88. Этн уравнения прн стационарном обтекании тела приводят к парадоксу Даламбера-Эйлера, т. е. отсутствию силы сопротивления согласно теории и наличию последней в экспериментах.

Понадобилось немало времени н усилий экспериментаторов для открытия эффекта трения на молекулярном уровне и измерения коэффициента этого трения, получившего название коэффициента молекулярной вязкости. Было установлено, см. рис. 1, что при обтекании на элемент поверхности со стороны потока кроме силы давления -рл действует сила трения т, называемая касательным напряжением. Со стороны стенки на поток действует такая же по величине, но противоположная по направлению сила, которая тормозит поток у стенки, рис. 1, причем на самой стенке это торможение является полным (за исключением разреженных газов), что используется в качестве граничного условия, называемого условием прилнпания вязкой жидкости.

Естественно ожидать, что касательные напряжения булут возрастать с увеличением 38 скорости потока, для многих жидкостей н газов справедлива линейная зависимость (закон трения Ньютона) Й= и†Такие среды называются ньютоновскнмн. Коэффициент пропоршюнальности р зависит от молекулярного состава сплошной среды (а также ее температуры), он измеряется экспериментально н называется динамическим коэффициентом молекулярной вязкости.

Наряду с коэффициентом динамической вязкости р используется также коэффициент кннематической вязкости ч = р/р. Уравнення движения с учетом вязких напряжений рй = -р яд+ те были выведены Стоксом в 1845 году. Уравненнн пограничного слон Как показали опыты, для наиболее интересного с прикладной точки зрения класса течений, который будет определен далее, сушественное воздействие вязких снл на течение набшодается только вблизи поверхностн обтекаемого тела, где они поддерживаются силой поверхноспюго трения, и нх действие быстро убывает прн удалении от этой поверхности.

Именно по этой причине область влияния вязкнх снл, которую назвали пограничным слоем, рис. 2, и сами вязкие напряжения долгое вркмя оставались неизвестными, а парадокс Даламбера-Эйлера не раскрытым. Определение. Если в основном потоке силы трения малы по сравнению с силами инерции, то пограничным слоем называется тонкая обяасть вблизи обтекаемой поверхности, в которой силы трения имеют тот эсе порядок, что и силы инерции.

39 Получим уравнения для приближенного описания течения в пограничном слое классическим приемом механиков, а именно: оценим отдельные члены в точных уравнениях Навье-Стокса и сохраним только члены ведущего порядка. Для оценки производных по порядку величины будем использовать отношение масштаба функции к масштабу аргумента, на котором происходит изменение функции. В нашем случае функцнямн явлюогся компоненты скорости, а аргументами — пространственные координаты. Прн проведении оценок будем исходить нз экспериментального факта, заключающегося в том, рнс. 2, что поперечный масштаб изменения скорости - толщина пограничного слоя Ю «Е — продольного масштаба изменения скорости. Тогда лля продольной скорости имеем я-)„, д /д -и„/К, д /дг-1„/д, (3.1) откуда видно, что д/дх — 1/Ь, д/4 — 1/Ь, т.

е. справедливо неравенство д/ду» д/дх. Оценки вторых производных получим рассматривая нх как последовательные первые производные дти/д ~ = д/дх(ди/дх) — Г /~А, д~и/ду~ - 1' /б~ Для опенки поперечной скорости т и ее производных используем уравнение несжимаемостн течения. Входящие в зто уравнение члены должны быть одного порядка, что достигается прн к=У д/Е (3.2) 40 /„// )„д//.д ди/дх+дч/ду =0 Отметим еще одно неравенство справедливое в пограничном слое и»ч Согласно (3.2) для производных поперечной скорости получаем оценки д /д - Г„Б/Гг д /~-)'„/Х,„дгч/д г-1' дЫЗ дгч/дуг -Г //П.

Используя полученные соотношения оценим члены в уравнениях Навье-Стокса Силы инерции = Силы давл. + Силы трения. ь2//12// ч)' /Ег «чР' /6 иди/дх+ чди/дч = -1/рд/з/де+ ч(дги/дхг + дги/дчг) (гд//г ) гд//г ч// д//з ч) /д1, идч/Ох+ чдч/дч = — 1/рдр/дч+ч(д~ч/дх +д ч/ф ) Откуда при условии д «Ь получим уравнения Прандтля (Ь.ргаъй, 1904) для течения в пограничном слое. ди/де+ дч/ф = 0 (3.3) и ди/де+ ч.ди/ду и -1/р.др/дх+иЭ и/дч (3.4) ф/д,и О (3.5) Приравнивая, согласно определению пограничного слоя, порядки ведущих членов сил инерции и сил трения, получим оценку толщины зтого слоя $~ //.-чУ /Ъ =зд -ч/,/1' д-,Я7К, (3.6) Из этой оценки видно, как толщина погрансяоя растет с увеличением вязкости и линейного размера обтекаемого тела и убывает с ростом скорости набегавшего потока Используя определение числа Рейнольдса, характеризующего отношение сил инерции к силам трения во внешнем потоке, Ке =У й!т получим оценку относительной толщины пограничного слоя ЫХ -1/~%е.

Заметим, что именно это отношение определяет точность погранслойного приближения уравнений Навье-Стокса и, в частности, выполнение условия (3.5) постоянства статического давления поперек пограничного слоя (при этом динамическое давление нли скоростной напор резко изменяется поперек слом). Условие (3.5) означает, что в пограничном слое давление является функцией только продольной координаты р и р(х) и совпадает с давлением во внешнем потоке. Таким образом для расчета хорошо (безотрывно) обтекаемых тел можно сначала решить задачу обтекания идеальной жидкостью или газом (уравнения Эйлера) и из интеграла Бернулли найти распределение давления на поверхности тела, а затем с помощью уравнений (ЗЗ„3.4) найти скорости и(х,у) и т(х,у) в пограничном слое.