Задачник (Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Уравнения математической физики (2000))

УПКэиэ ЬЬК П 755 3.34 игу за ив и ° 3ЗВИ 9-ВММ.М9-3 МГУ М В И 2000 КВ.З р,нпи Р,СИ.ОР зза м вв:м гми*,азцу ° вмк МГУ, 2ПИ. — М9 5ЗВИ 5-59407-079-5 »7 5 и а вм кмгу,,а, М 4,9, „ УЛК 55 7 5 мкпэи г'~~У-~ " -~~Р т к р р «4 р т 4. З «и р р а» аь Тр ............50 т з. 90 лр пу, п уи и, л Ут, а Р. - и « ° ур 'ил 'м "п,".

Т 7. Р «Пр .,5 ур ВЛ,,ПУ т к м 5 пм и Ъ В р ьр а . . . .74 т 9. В ур ° П «р УР 5 '0 Ву т«эа.к В Вцч "и р,,,.......94 а.н Т» и Р.В.С 3 М Ур . а 4 -М,"Ну К5ЧУ агс,ант т р 47 а ь р а -М,*ну Кэзм ° «В м,цн у,эмз Всв Р ВПМ а РАВ РВХХК5 т н н ум (э], ээр,нр. У-с,. »У.»2, 5, Эи,ни 6. в;ббр и с бр р в р н р р ч э р б р р он н (чу) р иу р .р„. см сс . ° ри р у р (, ) у р ( и.! (чу )- (чу))и-((б(ч, )-б(ч. ))у +ж~*, ~ Ъ(ч ) пр - . М ° (чс)-* "чч ч у у с и Э Пу б р у р н у н р э с р н уч -.и- ° ° нс и н р ури, б ,р бур и Н и р=-»,м » О в Рб„м н , ° р» р р у к, пр... „».),р,, ур р р р н (»=с с,с=с и.и=и ус) ч с М у Э 2.

Э и и у и, мр ну»р н нбе р и р и р ч р р ) ) У(,у) Ъбу у б У В; Р б у У Р УР " И =И И (*,У) = И(,У)- , , бр УВ Р Уу ,='.Р.-Ь Иб У И И Рр. р р (У б б б, =И' Э т рур р р б Р УР У (,У) К У б У Д б Ю ' Р* д* (, й) р... р [у,уббр) У'(,ф«й О УИ И Р З р ур р Пу Р Р Р Р Р Р Р фу б б у У У Е И р ч л ( .у, .У) р р у и р р (и«буиббби И Р Р,УИУ П, В " убу у Пу ур р =1 у ' фу ю Уу(у.рбуи Р УИ б РУ . фу «бр — р, Уу(УУ)=бр( — У) Уу,(ИУ)= УУ(ИУ - ) УУ(*,У)=УУ(Р,Р'У) б Ф О,(к!)= *Р)- -а'!).О(к-2 с,с), ОО(к!)= =(1 !441)' аяр(. а*'с(! *1)) О(кс(144 !)сс(1+4ас))7 1 я . фу а О(,С)= - — б р(. ку(а))р ,р, (с о) н*й ° с я , =а и„,а' ! Нйа а б ир у! к-ас (а-аа с!) О(,с)=У(» — а) ! й фу й ! й!'г у ! И и б а я !.

! р 0 Яр г у р й. г д О ни !. — й 7 оу фу ( с) у р, я (О,с) = О, (с,с] = О р с о я у й „р, У Р Р Р Р й б пу оу (.!) Уи а я р 04 1.1 0 р у «(о!)=о,к(сс)=о ! с о Л х и у! и, Р р И фу И !.„(я,)= ( — *)),р~-(,') с~,.=ог.г,. ~ лу фу (,с) у р ур о к ! суо у,(о!)=о р я. ур у (1,1)=1; — \ б у и (11)=о, ау раба! а б я Р " ' р* р р ур , = с, р и— =й.(о(!). (о,у))ду'(у) !5 р и д д у! =додд! н р р ° уд р у й й срд рд р й Об у, у руру й Н!о рур* н р р ° рн,р ! =«! ! .! у ! й 'б' и ! р „д«р о «д! . р о н рн. д у пд. ! о .д у й д о»рю» р «р йь в й и о й й р р й о й и л р д "у и р р д и С д ' у б р д пр рд д ! ««р й д,- ' «„,о ду,!до, (о!)=н(!).д(уу)=н,(!),! о! (д,о) = о(*), о й д б ! . и „д(.!)= (*,!)+и(*,!); и(,!) ° б р йд.д и(о,!)=н,(д),и(у, )=и,(!) н...д. и(*д)=- (и,(!)-и,(!))до (у) т 2. Р и УИ7ИЩЩЩ ИЩЩЩима ар п ]7], м72. Р Ч 22 23 (» 0), ° и * 2=0 и() р м, Р(Р) п » м Я м и ре 000 п р и и р' е „,„и ир ре и= 2,, Р О.

м -ер-.и Ъ м ' ' м ]р,,р,] п м е е еро воевав реаиеа во оеп мемр м р . Х()Т(0, Х р Т— рэ р я р )р и р „,О * 7 рви; (О.Р)=О.и(72)=О.Р О. и(,0) = р:(р), 0 И и И! . Р с и и " р и 7(*).7(Р). и р и и Х( ) 7(р) ур рм Х(р) Ти а р Х„"(*) Т(р) К(р) 'Т(р) оо а ° у ° ° р ° (-Л) х;(,)+л х(*)=о, т(у)уа' л т(у)-о и р..р и х() т(У) р р р й у й й х(о)=о,х(У)=о.а б в ° р, (х'„(а)ул к()=о,о * |х(о)-о, х(у)=о у, а а Ввур -Иу б и Уу ,(,,У)=т х„(*) 'т(У).

р ° у р, ц ) . Рр Р,у Р "У У " В"" Р " Р" Р й Р т„(у)=л„р~ ( — 1 .Р~.л. = иу,п=у,л„у, ~ УЛ у(пу)=л л. «и('--а).е р~-~ — ) .у~ а р Ф (У б «Х(а) Ир а Л а *й б 5 ур ° У'(у) в у .«.а. ° б °,у„,,а, ° а х„(а) т„(У) Л„,бу у 5 и Р У "\" У й (а,о)=х,л„яп( — - ) )=о( ) (о4 оу и() ° -Оу (Х.(а)) - ° ° Р (ап ) (У!„ Р< оур Оу» Р(а) (х. (,)) Фу" о м«у р р РФИ ч ( "у 1 Ф(м И )" М р р * р з-у ч 1 У У'1 Р ,0 * 1,у 0; „(Оу)=0,,()у)-в,у О (к,о) Р(к), О в * 1 Х(к).т(1) и р к ур Х(к) то) В * Х;,( ) Тро =-л= оки.

т Р к Х( ) ' Т(у) х(*) т(1) и у ., в Х' (к) Л Х( ) = 0. ,Х,(О)=О,Х((1(=О ос у»*в ю Фу К() р 2 02 —.02 О в Р (1 у, (0,1( в. ». » Фу «о Т(к) к(к) 1 Р " (Т.в) = (Т(*) х(к)ок И Р, (ХоХ)=0 Р 1 «М ,-.,()(~ = ОЗТТ) и.к (Х„(' «в х,(' = (во'=1, ;'х„(' = ( Т ~.ь = -', 1 2 =1,2,3, т.р р м,з Р ь,ж »--* т (О=А, = 1 р 2-.2„— 1,2,З... Т.(1)=А„С -( — -(.1).А„=СО ( том) 'УР Р "Р У У * р р Х()т(1)=А,=~ Х.(,) 1.0)=А„. (~ ) р~-~'~') 1), =12), О у р (,1)=А,Р~А .РК~-( ) 1~ СОУ~ — К) Р"'УРИ" ЧУ 1О и,.и'и„,о * 1,1»0 ,(О с) - О. «(с,г) = О, с 0 и(«,0) = Н(с), О с 1 19 у (*,01=А,»А'А, сн — *~с и( ) Р (1 г Оур (х„(и)), (0,1) в и Оур Оу«и() р,с в (Х.(')) в - * ° Н„= — *,', =0.1.2,, (с;Х.) (Х.(' '" 1' 2' (ин ) и -ин,=-) (и)Оси„=-)и(*) н,н —, сь 1, с! ) А =«„-=01Д..., .. (.,-,— с..

1. '«„, Осс«1, с О; и(ос)=о,,(с.с)=0.1 О и(«,0) =Н( ), 0 * 1. нс в, с р(г) Н=«„,О *сс.с О, ,(Ос)=0, (11)=О,с 0; (О) * — 1 05 с1 нн и(с,г) с ,О и!с О; гн(о!)=1, (сг)-о,г о, с,о)=о н с (с,г) —,0 си!с О, (Ос)-.0, (сс)=0,1»0, (*.О) = ! — *, 0 и С гг ви ° (,г) Ь «( с) в Н=«' „,аи с,с О, «,(Ог)=0, (ис)=0,1 0; ( .0)= с()иг2) Ои* и. н в (,с) 1ьни(*,с) нн+ ув и О"" р с,ур ц и(О,г) гг гс „,Ос «,с 0; (О,Г)=а.,(ив)-О,Г О.

«( 01=« (Ь*сг) 0«««« нм «(пг) сса "(пг) н с га и О"" га ° и,,ас«1,с О, ,,(Ог)=о,п(сг)-о,г (*,0)=*,оп*(1. н и (св) Ьа (*.1) =.и',0 1,1 О, (Ог]=и, .-с г, (с,г)=», = гс,г о; (,О)=, Оп«с,=««юг н и (с,г) ° 1г «(,и) 12. „-Ь (-СС),а * С.г О, ь;си«а о,н=ссшгг и,(ог)=о, (с,г)=и,г а; («,0)=,=аиа.ан сс. гиа (сн) 1«пи(«,г) н='.„,,о * с,г о; ,,(О,г)-р,,(г,г)=р,г,а,р= *г, (*,о) = о. о «. с н,и,, (*,и] йп (пг) н ',„,а с,г о, ,(Ог)-.о,«„(сг)+ь (с«)=а,ь= юг,г О, (,О) = «(с), 0 и «н С . Л с сг -... 0=«с.с ° . 1.-«„,. гвв . (Х4 а Ь;.

— ))Х„(( ... Ь.-о, О*г,го, ,(0«)-Ь, и(ог)=0, Ь, = г, г О: и,(лг)+Л, (С,г)=а, Л, =с аг, г О, и(,0)= ( ), О.. ш ва в аа л 1 ур И..ш,ру, Ва(лш) а"и',Оа 1,1 01 (0,1)=О, 91,1)-.0.1 О, (*,0) О,Ок л1. н,» » и(и,!) Р а 1 ! ЧЬ р -р у .уд у 1 р у . ° Рш р..лш у у «! 2(ву) Р«Ф. р 1 ° рд л.у. Г(вр)=~(„(1)У.(и) . -* 2.(1)= — ". (ж) ,!Х ( ФФ '!Л аФР У ( 1 в1 р 01т ру а,, д, р. ач ° (Х.(*)) «(,!)=2'т(1)Х,(*), ° ) ,=аЪ ау,,о * 11 0 У =ашу! и(01)-О,и(Ш)=О,У 0; ( .О) = О, 0 а д л 1. Р К„( )=руд — *, =1,2,1,,— а Фу, 1 шур,*.л у каФ Фур лФу 2 (Х()) 1,' ' 1 ( — ',ишка=20 1 Р ' а р Фур (Х()), р О и 1 л(20+1) ау а, 20 у! рш" '!'РР р а \ К т(г)+'( — 1 т(г)=о, т„'(г)+-.) т(г)- т.(о)=о, т„(о)-о.

= 2! 91 и' у ФФ «9'Р 1 = 0,1,2, з р . «(ог) ар нв о (,г) И,= '„+1,,0 5!.1»0.1,= ,(Ог)=О, (!2)-0,5«О! («,0)-. О, О 5 ««1. р у. у" *р р и Ъ„.О««51,1 о; ,(02)=0,,(11) Р,! О,р=а««г! ,(,О)=О,О5* ! с Фу, .б ц= ъ 91,0 * 1,1. О,г" = игг! ,(О,г)=О,«,(1,5]=о,г 0; («,0) О, О « о 1. г й (у.г) ! в" Р " Рв 5 ъ„+ 1,.0 51,1 О! 1,=«р г, (Ог)=О,,(гг)=0,1 0; «(*,О) = О, 0 — 1 О =«„(г),ои,г О; (О.г) = О , «( ,г) = О, 1 О; (,0)-.0,0«* и О.й ( г) 9 «,= 20 « —.г о, 2 (ОИ)=25,,(~,д~=в,~ О; (,О)= 5*,0и«и —, 2 н «««(„г) ги «(,0)=о,о и-" 2 гии (кк) 75 ги 26 27 +2»2««5»,0 —,г О, 2 (Ог)-.2 „«,г-,с)=о.с о, '~2' ,= „+*,о * «,г о; и(о,г) - О, «( ,г] = о,г а; (»,0) = «и 2», О к ни (к) , - « «„, 7 0 и Г(к,с) ИРУ И б УГ Р У У УР г Р "2',У.(г)У () .

„„„„. КУ .,Ии, ,, 0 и,,и„, «О гэ ,О Г,г,а; ,(О,с)-.0, (7»)=г,г О; (*,о)=о, а« О и,о к г,гио, ,(о,г)=г,и,(у,г)=с,г О; «(*,о)-о,о иг «,— „-,О к г,г а; «(ог)=ооо(гг)=г,г а; (,о)=о,а «иу. — 7,0 к Г,с О; г, (о г) —. \, «(7 г) = о, с у о; (».О) = О, 0 и, = „««и«2» иик,о,г О; (о,г)=о,«,(к,г)-о,г о, (ко)-о,о к П ПЛ ПР (,0) = с„„ 3! зр л ! ур 3!).. ззз,з!. у, зп,ззп кг, зл,з, 34 Пр «зи .И, !-3 (5,!), р у "УР "*" ! и Р 6 5*55 ПП «у 6 6 Р Р "Р З ° .*.Об, . - „б,, к б 6 — 4 зуз ',— * 5,! О, Р Н и зп и „,р р бу ! р„,, ! (!)=! ',Р(!)- — 6'+ из! и у П у „( !) Р(!)=! + '+! 2 з 3!'.— 56,! О! и (л 0) = 5 !п 5 .— Р Р 66 у 535,— * 5,! 0; (*,0) -.

О, — «5 .! О. П б .,г Р 6 Рр «( )= (6) 66560(6) З*,Т(У]= У Р» У (Ч,!)= ° ПП* И,=» 55„„! 0 У У Р ! "УР о 33 О = „ие' х,—,! О. и(,О)-ю х,— ,=и„+О ! — е е,еив, Р *Р Ри ! О е,— хе,! О, и(оо]-.о, . Ф»» уи! Р е 3! ! Рее)! ~! е (*!Ухе! р ! Рииз* о.в о(,!) ! О. Р у е=! »(кв)= е' . ~~™ у . 3 , и(х,!) = у Р ур и иии =» —,е О, .(Р.О) = е е* ",- Р 4 —.и,— х,! О; (,о)=ипх.е",- К ,! о; (х.о)=и( ),— ~ (*,!) 3!. Р У У Я Р' " Р З ир Р *в" '*""" !" л х„'+Л х=о, т,,'+и' 3 т=о, в=и' о еи.ух иу у * з=з' о в Р Р Р "з у' " ( е)= /А(Р) ехр(- '! е+еое)из О— 42(ц*йц)= — Р1 24 Iцр 1 б р О, бр Л(4) (х,в) = ц(ц); ц( ) А(В) ' вр -»к ц ро ц р р в (хл)- )) - )ц(б)бхр( 244)44~ хр(- ацврр йх) й й2ц й (х,р)- )й(*.йр)ц((М р ц М)='(й(*,О: )(4)а(. С(*йр)- )охр(- 'Ф'р+рб(х-О))й в ° 1 «(х.р) ц оа)й й = 2 )ц цоцбйцй ц = цй О, )а Р* (вй в - ° р-» ц ФФР ° ц рр у в р р 'рц и Фр й Фр, цц л Фу ' „"2(хр),— 4 у О, РЬ .

ц(х,р) = О . .. * р. р О... р ° р О, «р ц й= Р— рц ц Ц йУ Рр В б й(й(у) ц „, „ц „,„ц„„ 15 (*-О) !б ,1 О (а (*О) О О(,)= [„ а Р(0,1),0 Р(-1,Г) 10 (1,1) 11 ны 1а С,н Орвгг,г к р рг и 21 р, р Ч р р гб '1 Об 1 Г 1 1 01 11 в . О ° б Фр (Нг)= "'(бг фг ° Н Гр 1Р Гр р , =и'р„— Орб1(01),— *,1 О, «(0.0) - 0[ ), -" Р(г)= — (б' й р б а =-р, (р ' а=Ой, )б.на=†7 2 (,0) = 0(р) = -'= =(:.-- '.""' . — с 1 » О р (р.г)= )12(,(,1)Р(()д(= ' )е р — - — -,— ~ООр 20 'М ( 0011 — „;:-.- с- ~-'.,',)'~ в У Г б р р Н йбб О (а,г) 1бабр(„1) ,г»и, го,, о, (,о)=г (е,* О, а- рюг О ег" " н и "и и и- , 2.

и ~ и и" И и ° р() --н В ° — е г «(о,г)=о. « ог. с нн к=и' „,О *,и О, «(он)=о,г о: ,(,,о) = р( ), О к и р и нм Ог гр б(н(,г) о * Гн „(н,). )н(н(. )«(()«О ,= '„.о *«,г о, ,(О,г) — О,»о; (*,о) = р(*), о е.« к и р.» а н а ог гр. с(н(,г) и О и ии ег ( и) = )н(н(,г)и(О)«О з ° р -..., р н ,О * е,г О, „(о,г)- о,г о, .', = ернии. О, О а и и и, . * О) = и "' = ' ГО,Г«„, (*,г), Ов (Г,г), Вв ( г) нр гв ю ор р- ио р н .«- ен О (О( . Он)р(ОУО) ОУ ср О р р р нни У "Ъ,о к 22 О ни ° -и ура р (к) ° ° * и * (У.У) УИО Р К О УУИУ 2 ЛУ У "( =О р УИО 22 «(О,к) - , = (,0)=о,ос»« ф «у ри «н « н ,р р, у (О,у] — О, и(2,2) = О,у » О; и(к,о) — И( ), 0 И 1, и( Л)-.~( — )УИ(О)иуи — (ИО ~ р2-, -- у 22 и — к -)'- й.с р~- — ) и'у ии — * и — С(р(О)ИО у(*)..., (У,ч)- )2(*)и(к)й к, и , (ИОИ)=И(О) и,, и Н О-и .( *=О О н -и(к)-.*' б( )— у 43 )б(* -«,]у(с) а (б'( — )с')- у(» )- 4 / 44(с,(У„) б — 4 м~ б( 4) с ' " 4 ' з ' —,„,Г У*с'СС.

у ( у,с)= 444' 4 '4У'4 О,„у ( у,) ( 0 * Ь'+у 4 440 . -у-с=О. Ой П) О.(.у. )4(00)ббЬ=у(ООО) у(*,у,*) 4 .4 у(с) (у,с)= (г(*)у(*)б* ()) Й= — /У(с)у'(с)б = -(У,Ч ') 1 ф„ 1 21 1 ()( ) 44 у 6М Ф Н (о, уб б()=~ ' Ы,, 2 О'бб(), о (Обу)=-(бу')=-(О(у)у()а= (у(.*)б =у(О)= = (б( )1 ) ~(*.)= )б(*-*.)Ю()б*, -'-'х-=(-»,+*) = 21 1„1 ((! ) и =б(~-~са2 — 2 1(2~2 ! „,,$, Ф'=' 1- +(у) у ,!(,-.).. ~у. (.