Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике

УДК 531(07) ББК 22.31 П12 Рецензенты: заведующий кафедрой теоретической физики факультета физикоматематических и естественных наук Российского университета дружбы народов профессор Ю. П. Рыбаков; профессор кафедры теоретической механики и мехатроникн механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова Д. В. Трещев Павленко Ю. Г. Задачи по теоретической механике: Учеб. пособие; Для вузов. — 2-е изд., перераб. и доп. — Мл ФИЗМАТЛИТ, 2003.

536 с. !ВВ1»' 5-9221-0302-4. В книге приведены решения 560 задач по всем разделам курса теоретической механики. Цель сборника — помочь читателю овладеть фундаментальными методами теоретической механики и научить применению математического аппарата теории лля исследования конкретных систем. Рассмотренные задачи относятся к анализу движения заряженных частиц в электромагнитных полях, космических аппаратов в ньютоновом поле тяготения, проблеме коррекции орбит космических аппаратов, небесной механике, колебаниям линейных и нелинейных систем, динамике твердого тела, электромеханике, релятивистской динамике.

Существенная особенность книги — математические аспекты гамильтонова формализма представлены как мощный аппарат анализа широкого спектра задач на основе разработанных автором методов интегрирования систем общего вида. Для студентов физико-математических факультетов университетов и высших технических учебных заведений, обучающихся по специальностям «Механика»з «Прикладная математика», «Физика», «Астрономия», аспирантов и преподавателей.

© ФИЗМАТЛИТ, 2003 Ос Ю. Г. Павленко. 2003 1ЯВХ 5-9221-0302-4 Учебное издание ПАВЛЕНКО Юрий Григорьевич ЗАДКИ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ Редактор О.В. Сале»3кал Оригинал-макет: Н.Ю. Савченко Оформление переплета: А.Ю. А левана ЛР № 071930 от 06.07.99 Подписано в печать 16.10.02. Формат 60 х 90/16 Бумага офсетная. Печать офсетная Уел. печ. л.

33,5. Уч.-изд, л, 36,65. Тираж 3000 зкз. Заказ № Издательская фирма «Физико-математическая литература» МАИК «Наука,'Интерпериодика» 117997 Москва, Профсоюзная, 90 Р гоа11: бюпа1йп~а1к.гн Отпечатано с готовых диапозитивов в ППП «Типография «Наука» 121099 Москва, Шубинский вер., 6 15ВН 5-9221-0302-4 9 785922 103022 ОГЛАВЛКНИК Предисловие ко второму изданию .

Предисловие к первому изданию 97 105 Глава 1. Уравнения Ньютона 1.1. Кинематика . 1.2. Одномерное движение 1.3. Интегрирование уравнений движения ...... 1.4. Движение частиц в электромагнитных полях . 1.5. Задача Кеплера 1.6. Космодинамика Глава 2. Уравнения Лагранжа. 2.1. Уравнения Лагранжа первого рода ........... 2.2. Уравнения Лагранжа в независимых коор,линатах Глава 3. Динамика системы частиц. 3.1.

Задача двух тел . 3.2. Рассеяние частиц . 3.3. Динамика систем многих частиц. 3.4. Движение тела переменной массы... Глава 4. Линейные колебания 4.1. Собственные колебания одномерных систем . 4.2. Собственные колебания многомерных систем 4.3. Вынужденные колебания Глава 5. Нелинейные колебания 5.1. Метод усреднения, 5.2.

Системы с медленно изменяющимися параметрами 5.3. Движение в быстроосциллирующем внешнем поле . Глава 6. Динамика твердого тела.................... 6.1. Тензор инерции. Кинематика 6.2. Уравнения Эйлера...... 6.3. Уравнения Лагранжа 6.4.

Движение космического аппарата в ньютоновом псле тяготения 6.5. Электромеханика . Глава 7. Уравнения Гамильтона 7.1. Канонические уравнения и канонические преобразования 7.2. Линейные канонические преобразования ............ 7.3. Системы специального вида 9 9 25 38 49 64 77 122 122 131 142 163 171 171 177 196 218 218 228 235 241 241 247 263 300 311 344 344 360 370 Оглавление 7.4. Уравнение Гамильтона-Якоби 385 Глава 9. Решение канонических систем методом усреднения 423 9.1.

Введение . 423 9.2. Квадратичные системы . 425 9.3. Нелинейнь1е системы 433 Глава 8. Каноническая теория возмущений 8.1. Введение . 8.2. Интегрирование уравнений движения...... 8.3. Реакция системы на внешнее возмущение 8.4. Гамильтонова теория специальных функций Глава 10. Метод удвоения переменных... 10.1. Введение . 10.2. Специальные приложения метода удвоения . 10.3.

Интегрирование уравнений движения..... 10.4. Гамнльтонова теория специальных функций 10.5. Сингулярно-возмущенные уравнения Глава 11. Релятивистская динамика........... 11.1. Кинематика . 11.2. Релятивистская динамика 11.3. Гамильтонов формализм в релягивистской динамике Справочные данные Литература . 393 393 396 401 416 443 447 453 459 463 472 472 483 507 527 529 Предисловие но огпорому изданию 1хпогапва ~пег» посс» Предисловие ко второму изданию Первое издание книги опубликовано издательством Московского университета в 1988 г. Во втором издании книги приведены решения 160 новых задач. Включена новая глава 11 «Релятивистская механика».

Теперь сборник содержит решения 560 задач, иллюстрирующих приложения методов теоретической механики к исследованию пгирокого круга проблем. Представлены задачи по всем разделам классической механики: динамика частицы во внешнем поле и тел переменной массы, динамика системы частиц, уравнения Лагранжа, линейные и нелинейные колебания, динамика твердого тела, электромеханика, уравнения Гамильтона и канонические преобразования. Задачи по электромеханике рассмотрены в рамках лагранжева формализма.

Включены также 42 задачи по релятивис гской динамике, которые отсутствуют в известных сборниках задач по механике. Ряд задач, представляющих различные аспекты одной проблемы, представлен в нескольких разделах сборника. Значительно расширен раздел, включающий множество задач, иллюстрирующих применение новых методов интегрирования систем нелинейных уравнений общего вида, представленных в гамильтоновой форме. Существеггно дополнены новыми задачами главы 1, 4, 6, 7.

В главу 1 введен новый раздел пКосмодинамика». Здесь собраны задачи, в которых вектор Лапласа используется для анализа коррекции траектории космического аппарата в пространстве и относительного движения в окрестности траектории космического аппарата. Приведено решение задачи о движении в космосе с малой тягой и задача о «гравитационном ударе» при облете планеты. Изложены решения задачи двух тел, упругого рассеяния частиц, ограниченная задача трех тел, рассмотрен вклад Луны в ускорение свободного падения.

В главу 6 вошли задачи о движении маятника Пошехонова, гирокомпаса, кельтского камня, гироскопической стабилизации и пределе Роша. Раздев пЭлектромеханика» содержит 20 задач, в которых рассмотрены бесконтактные подвесы, космическая электростанция, униполярный генератор Фарадея, электромагнит, асинхронный двигатель, проводники во вращающемся магнитном поле, движение диэлектриков и парамагнетиков в неоднородном поле. Главы 8 — 9 посвящены важнейшему разделу механики гамильтонову формализму. Основная цель этого раздела -- представить математические аспекты гамильтонова формализма как мощный аппарат решения широкого круга задач механики, физики и прикладной математики. Здесь следует отметить задачи, связанные с линейным и нелинейным параметрическим резонансом, движением магнитного момента в переменном магнитном поле, континуальным пределом дискретной Предисловие ко второму изданию цепочки атомов, гамильтоновой теорией специальных функций.

Особый интерес представляют задачи главы лКаноническая теории возмущений». В этом варианте теории эволюция произвольной динамической переменной определяется рядом, каждый член которого содержит интегралы от мультискобок Пуассона, связанных с многовременными функциями Грина. Приведена задача, в которой поставлена проблема определения мощности спонтанного и индуцированного излучения электронов, движущихся в открытом резонаторе. Последняя глава «Релятивистская механика» посвящена применению лагранжева и гамильтонова подходов к решению задач релятивистской механики в параметрическом представлении. В этом случае координаты и время зависят от одного параметра — собственного времени, а уравнения движения ковариантны относительно преобразования Лоренца. Следует отметить важную для приложений задачу о движении частиц в плосковолновых полях и релятивистскую задачу Кеплера. Приведены задача о движении релятивистской частицы в гиперболическом волноводе., представляющая интерес для проблемы сепарации частиц по энергии и удельному заряду., и задача об автофазировке протонов в синхрофазотроне.

«Задачи по теоретической механике» вместе с книгой автора лЛекции по теоретической механике» (М.: Физматлит, 2002) представляют собой единое руководство по теорегической механике. В книге приводится множество задач, решение которых может заинтересовать не только студентов, изучающих механику, но и специалистов.

Я пользуюсь возможностью выразить благодарность заведующему кафедрой теоретической физики Университета дружбы народов профессору Ю.П. Рыбакову и профессору кафедры теоретической механики и мехатроники механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова Д. В. Трещеву за интерес к моей работе. Ю. Г. Павленко Предисловие к первому изданию Физика там, где есть Действие. Неизвестный автор Предисловие к первому изданию Содержание книги составляют около 400 задач, которые в течение ряда лет предлагались студентам физического факультета Московского университета на лекциях и практических занятиях. Основная цель сборника состоит в том,чтобы помочь студентам овладеть методами интегрирования уравнений движения для исследования конкретных физических проблем. Книга состоит из десяти глав.

По охватываемому материалу 1 — 4 главы соответствуют в целом традиционным курсам механики. Задачи остальных четырех глав связаны с тематикой спецкурса «Методы интегрирования канонических систем». В отличие от лагранжева формализма гамильтонов подход позволяет в принципе найти решение как каноническое преобразование начальных данных, не обращаясь непосредственно к уравнениям. В этом аспекте канонический формализм является мощным рабочим методом, позволяющим получить приближенное решение широкого круга физических и математических задач [1]. Рассмотрены проблемы, относящиеся к интегрированию нелинейных уравнений, преобразованиям Дарбу и Фрелиха, ВКБ-приближению, определению собственных векторов и собственных значений, гамильтоновой теории специальных функций.

Дополнительные преимущества дает метод удвоения переменных, позволяющий использовать канонический формализм для решения нового класса задач: алгебраических и трансцендентных уравнений, сингулярно-возмущенных уравнений, построению Паде-аппроксимантов, обращению интегралов и т. д. Широта диапазона рассматриваемых проблем обусловлена возможностью приведения к гамильтоновой форме нелинейных систем общего вида и универсальностью используемых методов интегрирования. В силу этих причин характер изложения задач имеет особенности.