А.А. Самарский - Введение в численные методы

ВВЕДЕНИЕ В ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Самарский А. А. 167 38 55 61 91 96 110 243 137 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЕ Алгоритм неустойчивый 13 — условно устойчивый 13 — экономичный 1 1 Аппроксимация разностная (на сотке) 138 — суммарная 254 Весовые множители 70 Вычислительная неустойчивость 115 Жесткие системы уравнений 192 Задача Дирихле 211 — корректная 14 — Коши 32 — краевая 32 — некорректная 15 — о собственных значениях 42 Интерполянта 61 Книга написана на основе курса лекций, читавшихся автором па факультете вычислительной математики и кибернетики МГУ, и предназначается для ознакомления с началами численных методов.

Теория численных методов излагается с использованием элементарных математических средств, а для иллюстрации качества методов используются простейшие математические модели. В книге рассматриваются разностиые уравнения, численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, линейных и нелинейных алгебраических уравнений, разностные методы для уравнений в частных производных.

Для студентов факультетов и отделений прикладной математики вузов. ОГЛАВЛЕНИЕ з 3. Консервативные разностные схемы 152 Предисловие з 4. Однородные схемы на 159 Введение 7 неравномерных сетках Глава 1. Разностные уравнения 23 9 5. Методы построения разностных з 1. Сеточные функции 23 схем з 2.

Разностные уравнения 26 Глава У. Задача Коши для 174 з 3. Решение разностных краевых задач 34 обыкновенных дифференциальных для уравнений второго порядка уравнений з 4. Разностные уравнения как 8 1. Методы Рунге — Кугта 174 операторные уравнения 8 2. Многошаговые схемы. Методы 184 8 5. Принцип максимума для Адамса разностных уравнений з 3. Аппроксимация задачи Коши для 195 Глава П. Интерполяция и численное 61 системы линейных обыкновенных интегрирование дифференциальных уравнении первого з 1. Интерполяция и приближение порядка функций з 4. Устойчивость двухслойной схемы 200 з 2.

Численное интегрирование 70 Глава У1. Разностные методы для 211 Глава Ш. Численное решение систем 85 эллиптических уравнений линейных алгебраических уравнений з 1. Разностные схемы для уравнения 211 з 1. Системы линейных алгебраических 85 Пуассона 8 2. Решение разностных 221 уравнений уравнений 8 2. Прямые методы Глава УП.

Разностные методы решения 232 з 3. Итерационные методы уравнения теплопроводности з 4. Двухслойная итерационная схема с з 1. Уравнение теплопроводности с 232 чебышевскими параметрами постоянными коэффициентами з 5. Попеременно-треугольный метод 120 з 2. Многомерные задачи З 6. Вариационно-итерационные методы 126 теплопроводности з 7. Решение нелинейных уравнений 130 з 3. Экономичные схемы 250 Глава 1У. Разностные методы решения 137 Дополнение 260 краевых задач для обыкновенных Литература 266 дифференциальных уравнений Предметный указатель 267 8 1.

Основныепонятия теории Список обозначений 270 разностных схем з 2. Однородные трехточечные 149 разностные схемы ый) 167 ении) Интерполяционный полипом 62 — — Лагранжа 64 — — Ньютона 64 Интерполяция эрмитова 65 Итерационные методы 90 Итерационный метод двухшаговый т'трехслойный) 97 — — неявный 97 — — одношаговый (двухслойный) 97 — — явный 97 Квадратурная формула 70 — — Гаусса 82 — — Котеса 74 — — прямоугольника 71 — — Симпсона 72 — — трапеции 71 — — Чебышева 83 Коэффициенты Лагранжа 62 Краевые условия 33 — — 1-го рода 33 — — 2-го рода 33 Краевые условия 3-го рода 33 Кубическая сплайн-интерполяция 65 Линейно независимые векторы 39 — — решения 27 Линейное пространство 38 — — действительное 38 — — комплексное 38 Мажорантная функция (мажоранта) 55 Матрица верхняя треугольная 87 — диагональная 86 †ленточн 88 — нижняя треугольная 86 — разреженная 87 Мера обусловленности 89 Метод Адамса — Штермера 191 — баланса т'интегро-интерполяционн — Бубнова — Галеркина 173 — вариационно-разностный 171 — вариационного типа 126 — верхней релаксации 101 — дихотомии 130 — Зейделя 99 — касательных 133 — конечных элементов 173 — линеаризации 133 — минимальных невязок 127 — Ньютона 133 — переменных направлений 251 — Пикара (последовательных приближ 175 — попеременно-треугольный 120 — поправок 128 — прогонки 34 — — встречной 37 — — левой 37 — — правой 37 Метод простой итерации 98 — прямой 89 — прямых 234 — разделения переменных 222 — Ритца 172 — Ричардсона 115 — Рунге 82, 165, 178 — Рунге — Кутта 174 — секущих 136 — скорейшего спуска 128 — сопряженных градиентов 129 — стационарный итерационный 102 — сумматорных тождеств 171 — Штермера 189 — энергетических неравенств 144, 207 Минимизирующий квадратичный функционал 171 Наилучшее среднеквадратичное приближение 68 Невязка для разностной схемы на решении 146 Норма оператора 40 Обратное интерполирование 67 Однородная разностная схема 150 Оператор единичный 41 — линейный 40 — неотрицательный 41 — обратный 40 — ограниченный 40 — положительный 41 — разрешающий 111 — самосопряженный 41 — сопряженный 41 — факторизованный 129, 252 — экономичный т экономичность оператора) 119 Операторное уравнение первого рода 88 Операторы перестановочные 41 Ошибка округления 10 Погрешность аппроксимации для краевого условия 146 — — в точке, и-й порядок 139 — — для уравнения 146 — — на решении 147 — — па сетке 140, 185 — — оператора 139 — квадратурной формулы 70 — метода 10 Погрешность неустранимая 10 Полипом обобщенный 68 — Чебышева 112, 114 Принцип максимума 55 Пространство евклидово тунитарное) 39 — нормированное 39 — сеточных функций 46 — энергетическое 45 Процесс Эйткена 81 Равенство Парсеваля — Стеклова 69 Равномерное приближение 69 Разделенные разности 1-го порядка 64 — — 2-го порядка 64 Размерность линейного пространства 39 Разностная производная 139 — — левая 139 — — правая 139 — — центральная 139 — схема 141 — — Адамса 188 — — аддитивная 256 — — безусловно устойчивая (пример) 182 — — двухслойная 181, 197 — — Дугласа — Рекфорда 254 — — квазиустойчивая 145 — — консервативная 152 ††коррек 142 — — Кранка — Николсона 230 — — крест 212 — — локально-одномерная 258 — — многошаговая 184 — — и-го порядка точности 146 — — ш-шаговая (и >= 1) 185 ††неустойч 142 — — неявная 198 — — одношаговая 181 — — Писмена — Рекфорда 251 — — предиктор — корректор (счет— пересчет) 180 — — расщепления 258 — — р-устойчивая 201 — — Рунге — Кугта 179 — — с весами 198 — — с опережением 198 — — симметричная 198 — — условно устойчивая схема (пример) 182 — — устойчивая 142, 143 Разностная схема чебышевская итерационная 112 — — чисто неявная 198 — — Эйлера 141, 176 — — экономичная 250 — — явная 198 Разностное уравнение линейное с постоянными коэффициентами 26 — — ш-го порядка (и >= 1) 26 — — однородное 28 Разностные неравенства 27 — формулы Грина 50 Сетка квадратная 212 — неравномерная 16 — равномерная 16 Сеточная функция 16, 138 Сплайн порядка и 66 Среднеквадратичное уклонение 68 Сходимость разностной схемы 146 — с квадратичной скоростью 134 Уравнение теплопроводности 232 Устойчивость разностной схемы с весами 182 Формула Тейлора 74 Формулы бегущего счета 125 Численное интегрирование 70 Число обусловленности 89 Шаблон 139 — квадратурной формулы 71 ПРЕДИСЛОВИЕ Эта книга представляет собой введение в теорию численных методов, использующее минимум сведений из анализа, линейной алгебры и теории дифференциальных уравнений.

Книга возникла в результате обработки лекций, которые автор читал в течение нескольких лет для студентов второго курса факультета вычислительной математики ц кибернетики Московского государственного университетаим.М. В. Ломоносова. Содержание книги традиционное — интерполяция и аппроксимация, численное интегрирование, решение нелинейных уравнении, прямые и итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений, разностные методы решения задачи Коши и краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.