Шубин М.А. Лекции об уравнениях математической физики (2-е изд., 2003)

ЛЕКЦИОННЫЕ КУРСЫ жиолив1 ИОИГИВ одве. жии жвды М.А. ШУВИН Лекции об уравнениях математической ФИЗИКИ Издание второе, исправленное мцнмо Москва юоз УДК 517.95(075) ББК 22. 16+22.311 Ш 95 Шубин М.А. Ш 95 Лекции об уравнениях математической физики.

— 2-е взд., испр. — Мд МЦНМО, 2003. — 303 с. 1ВВХ 5-9009 16-97-9 В книге изложено почти без изменений содержание годового курса лекцяй по уравнениям математической физики, прочятанпых автором на экспериментаэьном потоке механико-математического факультета МГУ. По сравнению с имевяцимися математическими курсами акцент делается на связи и взаимодействия с геометрией я физиком, а также на физическую интерпретацию результатов.

Книга содержит элементы теории основных уравнений математнческоя физики, изложенные на основе функционаэьного анализа и теории обобщенных функций. В частностя, в княге дано нетрадиционное изложение простеюцих аспектов теории потенциааа, в также обсуждюотся коротковолновые асямптотики решений гвперболкческнх уравнении, связывающие волновую онтику с геометряческой. В конце каждого параграфа книги имеются задачи, помогающие усвоению материала и дополняющие основное содержаняе книги. Для студентов, аспирантов, научных рвботняков — математиков и фязиков.

ББК 22.16+22.311 МЦНМО выражает благодарность компании И~ фщщД Демос за предоставление высокоскоростного и качественного доступа в Интернет © Шубин М.А., 2001, 2003. © МЦНМО, 2001, 2003. 1ЯВ1ь7 $-900916-97-9 Оглавление Предисловие .

$1. Линейные дифференциальные операторы............. 1.1. Определение и примеры................. 1.2. Полный и главный символы.......,.......... 1.3. Замена переменной 1.4. Приведение к каноническому виду операторов 2-го порядка с постоянными коэффициентами 1.5. Характеристики. Эллиптичность и гиперболичность 1.6. Характеристики и приведение к каноническому виду операторов и уравнений 2-го порядка при и — 2..........................

1.7. Общее решение однородного гиперболического уравнения с постоянными коэффициентами при п = 2. Задачи . $2. Одномерное волновое уравнение.................... 2.1. Уравнение колебаний струны................. 2.2. Неограниченная струна. Задача Коши. Формула Даламбера 2.3. Полуограниченная струна. Отражение волн от конца струны 2А.

Ограниченнаяструна. Стоячиеволны.Метод Фурье (метод разделения переменных) ........... Задачи $3. Задача Штурма — Лиувилля . 3.1. Постановка задачи . 8 10 10 11 13 17 19 22 23 24 24 34 36 43 46 46 Огллвлвнив 3.2. Простейшие свойства собственных значений и собственных Функции..... 3.3. Коротковолновая асимптотика .........,..... 3.4.

Функция Грина и полнота системы собственных функций . Задачи . $4. Обобщенные функции 4.1. Мотивировка определшшя. Пространства основных функций 4.2. Пространства обобщенных функций........... 4.3. Топология и сходнмость в пространствах обобщенных функций .. 4.4. Носитель обобщенной функции...............

4.5. Дифференцирование обобщенных Функций и их умножение на гладкую функцию..........,... 4.6. Общее понятие транспоннрованного оператора. Замена переменных. Однородные обобщенные функции . Задачи . $5. Свертка н преобразование Фурье 5.1. Свертка и прямое произведение обычных функций . Прямое произведение' обобщенных функций .... Свбртка обобщенных функций ............... Дальнейшие свойства свертки. Носитесь и носитель сввгулярности свертки ................. Связь между свойствами гладкости фундаментального решения и решений однородного уравРешения с изолированными особенностями. Теорема об устранимой особенности для гармонических функций Преобразование Фурье обобщенных функций умеренного роста 5.8.

Схема применения преобразования Фурье длл нахождения фундаментальных репшввй.......... 5.9. Теорема Лвувилля, Задачи . 5.2 5.3 5.4 5.6 $6. Уравнение теплопроводноств....................... 6.1. Физический смысл уравнешщ теплопроводности 47 50 53 57 59 59 64 68 72 76 89 93 95 95 97 100 105 107 113 117 118 121 123 123 Огллвлвннв 6.2.

Простейшие краевые задачи для уравнения теплопроводности и уравнения Лапласа ............ 6.3. Пример обоснования гармоничности предельной функции 6.4. Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности. Интеграл Пуассона..............., 6.5.

Фундаментальное решение для оператора теплопроводности. Формула Дюамеля.............. 6.6. Оценка производных решенвя гвпозллиптического уравнения . 6.7. Принцип Хольмгрена. Единственность решения задачи Коши для уравнения теплопроводности .. 6.8. Схема решения первой и второй краевых задач методом Фурье .......................

Задачи . 57. Пространства Соболева. Обобщенное решение задачи Дирихле 7.1. Пространства Н'(П) 7.2. Пространства Н~(Й) . 7.3. Интеграл Днрвхле. Неравенство Фридрихса .... 7.4. Задача Дирихле (обобшенное решение) ........ Задачи 68. Собственные значения и собственные фувкцви операто- ра Лапласа . 8.1. Симметрические и самосопряжеввые операторы в гнльбертовом пространстве ................ 8.2. Расширение по Фридрихсу...................

8.3. Дискретность спектра оператора Лапласа в ограниченной области . 8.4. Фундаментальное решение оператора Гельмгольца и аналитичность собственных функций опе. ратора Лапласа во внутренних точках области. Уравнение Бесселя . 8.5. Варвациоввые принципы. Поведение собственных значений при изменении области. Оценки собственных значений Задачи $9. Волновое уравнение 125 135 141 144 146 148 148 154 159 161 168 170 170 174 179 188 192 195 ОГлАВление 11.3 11.4 Физические задачи,приводящиек волновому уравнению . 9.2. Плоские, сферические и цилиндрические волны 9.3. Волновое уравнение как гамильтонова система ..

9.4. Сферическая волна от мгновенной вспышки и решение задачи Коши для трехмерного волнового уравнения 9.5. Фундаментальное решение трехмерного волнового оператора и решение неоднородного волнового уравнения 9.6. Двумерное волновое уравнение (метод спуска) .. Задачи $10. Свойства потенциалов и их вычисление ..............

10.1. Определение потенциалов.................... 10.2. Функции, гладкие вплоть до Г с каждой стороны, и их производные 10,3. Скачки потенциалов 10.4. Вычисление потенциалов .................... Задачи $11. Волновые Фронты и коротковолновое приближение для гиперболических уравнений . 11.1. Характеристики, как поверхности разрывов.... 11.2. Уравнение Гамильтона — Якоби.

Волновые фронты, бихарактеристики и лучи ................ Характеристики гиперболического уравнения... Быстро осциллирующие решения. Уравнение зйконала и уравнения переноса................. 11.5. Задача Ковш с быстро осциллирующими начальными данными Задачи Ответы и указания . Список литературы Указатель обозначений . Предметный указатель . 205 195 198 201 213 215 218 220 220 223 229 230 234 235 235 240 248 250 262 268 270 294 298 300 1 вИаИ Ие теИтпу тИи ипй а втуИ ЯотешИеге ауез апд ауез Иеисе: Тшо Гоадз дтиетуед тп а шоод, апд 1— 1 тооИ тИе опе !езз стасе!ед Иу, Апд йат Иав тпаде ай тИе Щтетгпсе.

Вонент Рнозт. Тне ВОАО пот ТАкен Теперь остпаетсл тполько вэдохнутпь, а ~ а у Я ззог на лю6ую тропннну свернуть, Н выоор пал на нехозхеный путь. Тогдато все и решилось. РОБЕРТ ФРОСТ. ДРУГАЯ ДОРОГА ~Перенод А, Вяяого) Предисловие Не будет большим преувеличением сказать, что все, что мы видим (а также слышим, осязаем и т. д.), описывается уравнениями в частных производных или, слегка более ограничительно, уравнениями математической физики. Среди процессов и явлений, адекватные модели которых основаны на таких уравнениях, можно упомянуть, например, колебания струны, волны на поверхности воды, звуковые и электромагнитные волны (в частности, свет), распространение тепла н диффузия, гравитационное притяжение планет и галактик, поведение электронов в атомах и молекулах, а также Большой Взрыв, приведший к образованию нашей Вселенной.

Не удивительно, что уравнения с частными производными образуют сегодня огромную и необозримую область математики и математической физики, использующую методы всей остальной математики (от которой эта область, впрочем, неотделима) и оказывающую обратное влияние на весьма многие части математики, физики, химии, биологии и других наук. Огорчительный вывод состоит в том, что ни одна книга и, тем более, ви один учебник не могут достичь полноты в описании этой области. Эта ситуация типична в сегодшппней науке, однако это не облегчает задачи авторов учебников, по которым должно учиться каждое следующее поколение студентов и аспирантов. Остается единственная возможностгс показать читателю ькартинки с выставкие, выбранные по вкусу автора (или авторов), т.

е. несколько типичных методов и задач. При этом приходится жестоко ограничить себя в выборе материала. В этой книге изложено почти без изменений содержание годового курса лекций по уравнениям математической физики, прочитанных автором на экспериментальном потоке механико-математического Пгедисловие факультета МГУ, В книге приведены задачи, разбиравшиеся на семинарах, а также входившие в домашние задания. Лекции происходили один рзз в неделю в течение всего года, а семинары в одном из семестров еженедельно, а в другом один раз в две недели.

Автору хотелось написать курс одновременно краткий и современный. Как оказалось, эти требования в иэвестнои степени противоречат друг дРугу. Требование краткости заставило автора, во-первых, излагать ряд идей на простейших примерах, а во-вторых, опустить многие вещи, которые должны были бы войти в современный курс, но сильно увеличили бы его объем. С особым сожалением я опустил уравнение Шредингера, рассчитывая, впрочем, на происходивший параллельно курс квантовой механики. По-видимому, в современном курсе уравнений математической физики стоит говорить что-то и о нелинейных уравнениях.