Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974)

В. И. СМИРНОВ КУРС ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ТОМ ВТОРОЙ ИЗДАНИЕ ДВАДЦАТЬ ПЕРВОЕ, СТЕРЕОТИПНОЕ Донуизено Министерством аммиака и кредитка снеииакитоео образованна СССР е качестве учебннка д* ° студентов ме онако.матвмсаически о физико.мотвмати вские фокукьтетов уНиаерс тстав ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ~ .1АВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО.МА1ГАТАТИЧЕГК071 ЛНТЕРАТУ[>Ы МОСКВА !УТЕ ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к девятнадцатому изданию ГЛАВА! ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ $ 1.

Уравнения первого порядка 1. Общие понятия (9), 2. Определение решения по начальному условию. Теорема существования и единственности (11). 3. Уравнения с отделяющимися переменными (13). 4. Примеры (15). 5. Однородное уравнение (19).

6. Линейные уравнения и уравнение Бернулли (23). 7. Способ Эйлера — Коши (28). 8. Применение степенных рядов (30). 9. Общий интеграл и особое решение (32). 10. Уравнения, не решенные относительно у' (34). !1.. Уравнение Клеро (36). ! 2. Уравнение Лагранжа (39). 13. Огибающие семейства кривых и особые решения (4!). 14. Изогональные траектории (44). й 2. Дифференциальные уравнения высших порядков н системы уравнений 15. Общие понятия (46). 16. Графические способы интегрирова) ния дифференциального уравнения второго порядна (48). 17.

Уран. пение уом /(к) (5!). 18. Понижение порядка дифференциаль. гого уравнения (52). 19. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений (56). 20. Примеры (60). 21. Системы уравнений н уравнения высших порядков (64). 22.

Линейные уравнения с частными производными (66). 23. Геометрическая интерпретация (69). 24. Примеры (71). ГЛАВА Ы ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ $8. Общая теория н уравнения с постояинымн козффнциентамн 25. Линейные однородные уравнения второго порядка (75), 26. Линейные неоднородные уравнения второго порядка (79). 27. Линейные уравнения высших порядков (80). 28.

Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (82). 29. Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постояннымн коэффициентами (85). 30. Частные случаи (86). 31. Корни решений н колеблющиеся решения (88). 32, Линейные уравнения высших порядков с постоянными козффициентами (92).

33. Линейные уравнения и колебательные явления (94). 34. Собственные и ОГДЛВДВНИВ влнумдениые колебания (96). 35. Свнусондальная внешняя сала н резонанс (98) 36. Предельные задачи (103). 37. Примеры (106). 33. Символический метод (106). 89. ЛннеВные олиородяые ураанення вмсшвз порядков с постоянными козффипнснтамв (189). 40. ЛинеЯнме неоднороднме уравнения с постоянными козффипяеитамя (! 12). 41. Пример (113):. 42. Уравнение Эйлера (! 15). 4Х Системы линеЯныз уравнений с постоянными козффяпяентамя (1!7). 44. Примеры (121).

9 4. Интегрирование с вомощьш степенньш рядов............ 124 45. Интегрированяе линейного уравяекия с помощь» степенного ряда (124). 46. Примеры (127), 47. Рааломение решсняа в обоб. щенннй степенной рад (129). 48. Уравнение Бесселя (131). 49. Уравнения, приаолящиеса к уравнению Бесселя (134). 9 5. Дополнительные сведении по теории днффервяинальнмх уран. неынй . !36 50. Метод последовательныз првбаижений для аинейныз ураане. ний (136). Ы. Случай нелинейного уравнения (144). 52. Дополнения к теореме с)шествования н едянстаенноств (150).

53. Сзодиность метода Эйлера — Коши (153). 54. Особые точки дифферепинаяьныз уравнений первого порядка (!56). 55. Автономные системы (!65). 56. Примеры (!67). глава пг КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 9 6, Кратные нятегралм 173 57. Объемы (173). 58. Двукратянй интеграл (!76). 59. Вычислевяе двукратяого нпгеграаа (!79). 60. Криволинейные координаты (!82). 61. Трехкратный интеграл (1Вбл 62.

((илннлрвчесзяе и сферические коорлннщы (191), 63. Крязолннейиые координаты в пространстве (195Л 64. Основные свойства кратных интегралов (197). 65. Площадь поеерзности (198). 66. Интегралы по поверхности и формула Остроградского (201). 67. Интеграаы по определенной стороне поверхности (205).

68. Моменты (207). ф 7.)(риволяиейнме интегралы . . 211 69. Опрелелепие криаолинеЯного интеграла (2!!). 70. Работа сизо. лого пола. Примеры (215). 71. Плшцадь и криволинейный интегал (2!9). 72. Форнула Грияа (2Ю). 73. Формула Стокса (224) 4. Независимость криволинейного интеграла от пути на лаос- коста (227). 75. Саучай многосвязной обласгя (232). 76. Независимость криаолинеЯного интеграла от путя в пространстве (234). 77. Установив|несся течение хндкостн (236). 78. Интегрирующий мномптсуь (238).

79. Урааненяе в полвыз диффсрснпиалаз для случая трез перемеяныз (243). 80. Замена переменныз в двойном интеграле (244). ф 6 Иесвбствеииме интегралы и иитегралм, вавнсящяе от параметра 247 81. Интегрирование поа знаком интеграла (247). 82. Формула Дмпале (249), 33. дифференцирование под знаком интеграла (252). Примеры (255). 85. Несобственные интегралы (260). 86. Неаб. оглавление созютно сходящиеся интегралы (264р 87. Рэвномерно сходящиеся пнтегралы (267).

88. Прииеры (270). 89, Несобственные кратные интегралы (274). 90. Примеры (278). б 9:. Мера и теория нитвгрнрбввини . 283 91. Предварительные понятия (283), 92. Основные теоремы (286). 93. Счетные нножества. Действия над точечными множествамн (288). 94. Мера Жорлана (291), 95. Квалрируемые мнохгества (293). 96. Независимость от выбора осей (296). 97. Случай любого числа намерения (298). 98. Интегрируемые функции (299). 99. Вычисление двойного интеграла (30!). 100. и-кратные интегралы (3(4).

101. Примеры (305). 102. Внешняя мера Лебега (307). 103. Йэмернмыс множества (309). 104. Ивмеримые функции (3!4). 105. Дополнительные сведения (318). 106, Интеграл Лебега (320!. 107. Свойства итюеграла Лебега (323). 108, Интегралы от неограниченных функцнй (327), 109. Предельный переход под знаком интеграла (331) !10.

Теорема Фубннн (334). 11!. Интегралы по множеству бесконечной меры (337). гллвл !ч ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ВОЛЯ б 1О. Основы векторной алгебры ЗЧ9 1!2. Сложение н вычитание векторов (339). !13. Унножение вектора на скаляр. Конпланарность векторов (341). !!4. Разложение вектора по трем пскомпланарным векторам (342). !15. Скалярное произведение (343). !!6. Векторное произведение (345).

1!7. Соотпощенин между скалярным и векторным произведениями (347!. !18. Скорости точек вращающегосв твердого тела; момент вектора (349). $ П. Теория пола . й1 119. Дифференцирование вектора (351). 120. Скалярное поле н его гралнснт (353). 121. Векторное поле; расходнмость н вихрь (357). 122. Потенциальное и соленондальиое коля (360ь 123.

Направленный элемент поверхностя (362). 124. Некоторые формулы векторного анализа (364). 125. Движение твердого эсла и малая деформацна (3668 12Гь Уравнение непрсрывностя (363Ь )27. Уравнения гндродннаннхн идеальной жидкости (370). 128. Уравнения распространения звука (371).

129. Уравнение тсллопронолности (373). 130. Уравнения Максвелла (375). 131. Выраженпе оператора Лапласа в ортогональпых координатах (377). 132. Операция дифференцирования дая случая переменного моля $)83). Гплпл ч ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ В!Е Кривые на ндоскостн и в цространствв.... 133. Плоская кривая, ее кривизна и эволюта (388). !34. Эвольастпа (394).

13о. Естественное урзвнснне кривой (395). !36. Основные элементы кривой а пространстве (396). 137. Формулы 'ррене (400). !38. Сопрнкзсающзяся плоскость (401). 139. Винтовые аннин (4025 !40. Поле единичных лекторов (4Щ ОГЛЛВЛВННВ В 13. Элементы теорик поверхностей ... ........, . . 405 141.

Параметрические уравнения поверхности (405). Ы2. Переел днфференцязльрав форна Гаусса (408). 143. Вторал дифферевпнальнзя форме Гаусса (4091 144. О кривизне линий, нэчерчея. пых па поверхности (4!1). !45. индякатриса Дюпене в формула Эйлера (414). 146. Определение главных радиусов крявизпм и гаэвныз направлений (417). 147. Линни крнэпэпм (418). 148. Теореме Дюпена (421). !49. Прнмерм (422). 150. Гзуссоэз крнвкзнэ (424). 151.

Вариация элементе площади и срсшвя кривизна (425). 152. Огнбзкчцзя семейства позерзностей и привык (428). 153. Раэзертмвэющнеся позерхностя (431). гллвл щ РЯДЫ ФУРЬЕ В 1* Гармонический анализ. '435 154. Ортогонзльность тригонометрических фуякцнй (435). 155. Теорема Дирнхле (440). 156. Промеры (442). !57.

Рзэломение в промемутке (О, н) (444). 158. Периодические функции периоде 1~ ( (449). 159, Средняя квадратичная хогреапость (451л 1 . Общие ортогонатьпме системы Функций (456). 16!. Класс ут (461). 162. Сходимость в среднем (462Ь !63. Ортоиормнровавнйс системы воХр (465).

В 16. Доволвительные сведения яз теории рядов Фурье........ 469 164. Разломепне в ряд Фурье (469). !65. Вторая теорема о срелнем (474). 166. Интегрзл Днрпхлс (477). 167. Теорема Диризле (431). 168. Прибляшеняе к непрерывной функции полииомами (483). 169. Формула замкнутости (488). ПО. Характер схо. линости рядов Фурье (490). 171. Улучшение сзодямостн рядов Фурье (495). 172. Пример (498). $16 Интеграл Фурье н крвткые радЫ Фурье............... 501 173. Формула Фурье (50!Х 174.

Рядн Фурье в комплексной форме (509Ь 175. Кретине ряды Фурье (510). гллвл тп УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ $ 17. Волновое уравиеяие 5!3 176. Уравнение колебаняй струпы (5!3). 177. Решение Дзламбера (5!7Ь 178. Частные случаи (520). 179. Ограпнчемная струил (524). 180, Способ Фурье (523). 181. Гзрноннхи и стоячие волны (531). 182. Вынунденнме колебания (534). 183. Сосредоточенная сила (537). 184. Формула Пуассона (541), 185. Ииляпдрнчсскис волны (545). 186. Случай и-мерного прострэистза (547).

!87, Неоднородное волновое уравнение (549). 183. Точечпмй источник (5531 !89. Поперечные колебанмя мембрэи (554) 190, Прямоугольная мембрана (555). 191. Круглая мембрана (559). 192. Теорема единственности (566). 193. Примеиеяне интеграла Фурье (569). $18, Телеграфное уравнение 571 194.