Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики (2-е изд., 2004)

УДК 517.95 ББК 22.311 В57 Владимиров В. С., Ж ври но в В. В. Уравнения математической физики: Учебник для вузов. 2-е изд., стереотип. Мл ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 400 с. — 1БВХ 5-9221-0310-5. Учебник — сокращенный и упрощенный вариант курса В.С. Владимирова «Уравнения математической физикиь (5-е издл Мл Наука, 1985). Курс читался автором в течение многих лет (1964 — 1986) студентам Московского физико-технического института. Основная особенность курса широкое использование понятия обобщенного решения краевых задач классической математической физики, часто гюзволяющее придать строгий математический смысл формальным вычислениям. Одна из глав книги посвящена теории обобщенных функций и действиям с ними.

Для студентов высших учебных заведений с повышенной математической подготовкой. © ФИЗМАТЛИТ, 2002, 2003, 2004 © В. С. Владимиров, В. В. Жаринов, 2000, 2003, 2004 1БВ5) 5-9221-0310-5 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Глана 1 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАх1 МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 31.1. Некоторые понятия и предложения теории множеств, теории функций и тсории операторов . 1. Точечные множества в Еч (13). 2. Классы функций (15). 3. Пространство непрерывных функций С(Т) (17). 4. Интегралы типа потенциала (18). 5. Пространство функций Гг(С) (21), б.

Ортонормальные системы (23). 7. Полные ортонормальные системы (25). 8. Линейные операторы и функционалы (26). 9. Линейные уравнения (28). 10. Эрмитовы операторы (30). 3 1.2. Основные уравнения математической физики . 1. Уравнение колебаний (32). 2. Уравнение диффузии (36). 3. Стационарное уравнение (38). 4. Уравнения газо-гидродинамики (40). 5. Уравнение Максвелла (40). 6. Уравнение Шредингера (42). 3 1.3.

Классификация квазнлинейных дифференциальных уравнений второго порядка . 1. Классификация уравнений в точке (43). 2. Выражение оператора Лапласа в сферических и цилиндрических координатах (45). 3. Характеристические поверхности (характеристики) (46). 4. Канонический вид уравнений с двумя независимыми переменными (47).

5. Пример. Уравнение Трикоми (53). 3 1.4. Постановка основных краевых задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка 1. Классификация краевых задач (54). 2. Задача Коши (56). 3. Краевая задача для уравнений эллицтического типа (57). 4. Смешаннзл задача (58).

5. Другие краевые задачи (59). Оглавление 6. Корректность постановок задач математической физики (6Ц. 7. Теорема Коши- Ковалевской (62). 8. Пример Адамара (63). 9. Классические и обобщенные решенил (64). Глава П ОБОБЩЕННЫЕ <Х>УНКЦИИ 3 2.1. Основные и обобшенные функции . 1. Введение (65). 2. Пространство основных функпий П (67). 3. Пространство обобщенных функций Ю' (70). 4. Носитель обобщенной функции (72). 5. Регулярные обобщенные функции (74). 6. Сингулярные обобщенные функции (75). 7. Формулы Сохопкого (77). 8.

Линейная замена переменных в обобщенных функциях (78). 9. Умножение обобщенных функций (79). 10. Упражнения (8Ц. 32.2. Дифференцирование обобщенных функций 1. Производные обобщенной функции (82). 2, Свойства обобщенных производных (82). 3. Первообразная обобщенной функпии (85). 4. Примеры, п = 1 (88). 5. Примеры, и > 2 (92). 6. Упражнения (99). 3 2.3. Свертка обобщенных функций 101 1.

Прямое произведение обобщенных функций (10Ц. 2. Определение свертки обобщенных функпий (104), 3. Свойства свертки (108). 4. Существование свертки (110). 5. Уравнения в сворточной алгебре Пе~ (112). 6. Регуляризация обобщенных функций (114). 7. Ньютоновы потенциалы — примеры сверток (115). 8. Упражнения (117). 32.4. Обобщенные функции медленного роста 118 1. Пространство основных функций о (118). 2. Пространство обобщенных функций медленного роста о' (119).

3. Примеры обобщенных функций медленного роста (12Ц. 4. Структура обобщенных функций с точечным носителем 1123). 3 2.5. Преобразование Фурье обобщенных функций медленного роста 124 1. Преобразование Фурье основных функций из о (124). 2. Преобразование Фурье обобщенных функций из о' 1126).

3. Свойства преобразования Фурье (128). 4. Преобразование Фурье обобщенных функций с компактным носителем (130). 5. Преобразование Фурье свертки (13Ц. 6. Примеры, и = 1 (132). 7. Примеры, п > 1 (136). 8. Упражнения (140). Оглавление Глава П1 ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАСТА КОШИ 3 3.1. Фундаментальные решения линейных дифференциальных операторов 142 1. Обобщенные решения линейных дифференциальных уравнений 1142). 2, Фундаментальные решенил (144). 3. Уравнения с правой частью (146). 4. Метод спуска (147).

5. Фундаментальное решение линейного дифференциального оператора с обыкновенными производными (150). 6. Фундаментальное решение оператора теплопроводности (150). 7. Фундаментальное решение волнового оператора (151). 8. Фундаментальное решение оператора Лапласа (152). 9. Фундаментальное решение оператора Гельмгольца 1154).

10. Упражнения (155). 9 3.2. Волновой потенциал . 156 1. Свойства фундаментального решения волнового оператора 1156). 2. Дополнительные сводення о свортках (158). 3. Волновой потенциал (161). 4. Поверхностные волновые потенциалы (163). 3 3.3. Задача Коши для волнового уравнения 167 1. Задача Коши для обыкновенного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (168). 2. Постановка обобщенной задачи Коши для волнового уравнения (169). 3. Решение обобщенной задачи Коши (171). 4.

Решение классической задачи Коши 1173). 5. Упражнения (174). 33.4. Распространение волн . 177 1.Наложение волн и области влияния (177). 2. Распространение волн в пространстве (177). 3, Распространение волн иа плоскости 1179). 4. Распространение волн на прямой 1182). 5. Метод распространяющихсл волн (184). 6. Метод отражений. Полубесконечная струна (187). 7.

Метод отражений. Конечная струна (189). 53.5. Задача Коши для уравнения теплопроводностн 191 1. Тепловой потенциал (191). 2. Поверхностный тепловой потенциал 1194). 3. Постановка обобщенной задачи Коши для уравнения теплопроводности (196), 4. Решение задачи Коши (197).

5. Упражнения (198). Оглаеление Глава 1Ч ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 202 212 225 230 1 лава Ч КРАЕВЫЕ ЗАДАх1И ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИх1ЕСКОГО ТИПА 9 5.1. Задача на собственные значения 1. Постановка задачи на собственные значения 1243). 2. Формулы Грина 1244). 3. Свойства оператора 7 (246). 4. Свойства собственных значений и собственных функций оператора б (247).

5. Физический смысл собственных значений и собственных функций 1251). 3 5.2. Задача Штурма — Лиувилля 1. Функция Грина 12эе2), 2, Сведение задачи Штурма — Лиувилля к интегральному уравнению (255). 3. Снойства собственных 252 34.1.

Метод последовательных приближений . 1. Интегральные уравнения с непрерывным ядром 1202). 2. Повторные ядра. Розольвента (206). 3. Интегральные уравнения Вольтерра 1209). 4. Упражнения (211). 3 4.2. Теоремы Фредгольма 1. Интегралы|ые уравнения с вырожденным ядром 1212).

2. Теорема Фредгольма для интегральных уравнений с вырожденным ядром (215). 3. Теоремы Фредгольма для интегральных уравнений с непрерывным ядром 1218). 4. Следствия из теорем Фредгольма (222). 5. Упражнения 1224). 2 4.3. Интегральные уравнения с эрмитовым ядром . 1. Интегральные операторы с зрмитовым непрерывным ядром 122эе). 2. Лемма Арчела — Асколн (226). 3. Интегральные уравнения с эрмитовым непрерывным ядром (227). 24.4.

Теорема Гнльберта — П1мидта и ее следствия............ 1. Теорегла Гильберта — Шмидта для эрмитова нопрерывного ядра (230). 2. Билинейное разложение повторных ядер 1234). 3. Билинейное разложение эрмитова непрерывного ядра (235). 4. Решение неоднородного интегрального уравнения с эрмитовым непрерывным ядром (237). 5. Положительно определенные ядра 1239).

6. Развитие геории интегральных уравноннй 1240). Оглавление значений и собственных функций (257). 4. Нахождение собст- венных значений и функций (258). 9 5.3, Гармонические функции 1, Формула Грина (262). 2. Распространение формул Грина (264). 3. Теорема о среднем арифметическом (266). 4. Принцип максимума (267). 5. Следствия из принципа максимума (268). 6. Стирание особенностей гармонической функции (269). 7. Обобщенно-гармонические функции (270).

8. Дальнейшие свойства гармонических функций (271). 9. Аналог теоремы Лиувилля (272). 10. Поведение гармонической функции на бесконечности (273). 11. Упражнения (275). 35.4. Метод Фурье для задачи на собственные значения . 1. Общая схема метода (276). 2. Примеры (277).

3 5.5. Ньютонов потенциал 1. Объемный потенциал (282). 2. Потенциалы простого и двойного слоя (283). 3. Физический смысл ньютоновых потенциалов (286). 4. Поверхности Ляпунова (287). 5. Свойства потенциалов простого и двойного слоя на поверхности о (288). 6. Разрыв потенциала двойного слоя (289). 7. Разрыв нормальной производной потенциала простого слоя (291). 8. Упражнения (293). 55.6.

Краевые задачи для уравнений Лапласа н Пуассона в прост- ранстве 1. Постановка основных краевых задач (294). 2. Теоремы единственности рошения краевых задач (295). 3. Сведение краевых задач к интегральным уравнениям (297). 4. Исследование интегральных уравнений (299). 5. Решение задач Дирихлс и Неймана для шара (303). 35.7. Функция Грина задачи Дирихле 1.