Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004), страница 8

1) Найти координаты точки в исходной системе координат, если известны ее координаты х, у' в новой системе. 2) Составить в новой системе координат уравнение прямой, которая в исходной системе задается уравнением 4х + у — 1 = О. 8 6. Плоскость и прямая в пространстве Плоскость может быть задана: 1) векторным пвраметринввким уравнением г=гв+аи+Ьь ([а,Ь! ~о), (1) где а, Ь вЂ” направляющие векторы плоскости, гв — радиус-вскгор фиксированной точки плоскости; 2) аврм льнам векторным уравнением (г — гв,п) = О (и ф о), (2) где и — нормальный вектор плоскости; 3) вби1им уравнением в декартовой системе координат Ах+ Ву+ Сг+ Р = О (А + В + С ~ О).

(3) Уравнение (2) ъюжно записать в виде у б. Плоскошпь и прлмал в пространстве (г,п) = Р, а уравнение (1) — в виде (г — го,а,Ь) = О. (4) Если уравнение (1) записать в общей декартовой системе координат, то получим параметрические уравнения плоскости х=хо+оди+оздд, у=уо+бди+бзи, 2 =2о+дди+узо. Уравнение (4) в координатной форме равносильно уравнению х — хо У вЂ” Уо 2 — 20 од ддд уд = О. о2»'2 32 Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой, можно записать в векторной форме (г -.

го, гд - го, г2 -. го) = О и в координатной форме т хо У Уо хо хд — хо Уд — Уд хд — 20 = О. х2 хо У2 УО 22 20 Здесь хо у„з„д = 0,1,2, декартовы координаты данных точек, а г., соответствующие радиус-векторы. Всякий вектор а(о,дд,'д), компланарный плоскости, заданной в общей декартовой системе координат уравнением (3), удовлетворяет уравнению Ао+ Вд3+ С д = О. Если систеьда координат прямоугольная, то норхдаддьньдм вектором плоскости (3) является, например, вектор с координатами А, В, С.

Если плоскость задана уравнением (3), то для координат всех точек, лежащих по одну сторону от нее («в положительном полупространстве»), выполняется неравенство Ах+ Ву+ Св+.Р > О, а для координат всех точек,лежащих по другую сторону («в отрицательном полупространстве»), — неравенство Ах+ Ву+ Сз+ Р < О. Расстояние от точки с радиус-вектором гд до плоскости, заданной уравнением (2), равно [(гд — го,п)[дд[п[. Расстояние от точки ЛХ(хд, Уд,хд) До плоскости, заДанной в пРЯмоУгольной системе кооР- дават уравнением (3), равно ~»*,»в»»0*,»»~!,/»А'»в»0'. Прямая линия в пространстве может быть задана: 1) векторным параметрическим уравнением г=го+а8 (алло), (5) где а — направляющий вектор прямой, го — радиус-вектор фиксированной точки прямой; 2) векторными уравнениями [г — го, а] = о (а ф о) 40 Гл.

2. Прлмол и лоскошпь или (г,а) =Ь (афо, (а,Ь) =0), равносильными уравнению (5). Если уравнение (5) записать в общей декартовой системе коор- динат, то получим параметрические уравнения прямой линии: х=хо+оГ~ У =УО+~й 2=20+'Уй Исключением парамегра 1 параметрические уравнения приводятся к канонической форме х — хо У вЂ” Уо 2 зо о Если у = О, то канонические уравнения принимают вид х — хо У вЂ” Уо 2 = хо. о Аналогично записываются уравнения прямой, если о = 0 или Д = О. Если ф = у = О, то канонические уравнения прямой линии имеют внд У = Уо, 2 = хо.

Аналогично записываютсЯ канонические УРавнениЯ, если другая пара компонент направляющего вектора нулевая. Уравнение прямой, проходящей через две различные точки, можно задать в векторной форме г = г1 + (г2 — г1)1 и в координатной форме х — х1 у-У1 хе о1 Х2 Х1 У2 У1 22 21 Здесь гг, г2 — радиус-векторы данных точек, а (х1, у1, 21 ), (хт,у2,22) — их декартовы координаты. Если х1 — — х2, то уравнения У вЂ” У1 2 — 21 прямой принимают вид х = х1, = .

Если жс х1 = х2 У2 У1 22 21 и уг = У2, то уравнения прямой запишутся в виде х = х1, у = уг. Ана- логично рассматриваются другие случаи совпадения одной или двух координат точек. Прямую можно задать и как линию пересечения двух непарал- лельных плоскостей с помощью их уравнений. Векторные уравнения прямых и плоскостей (6.1 — 6.12) 6.1.

Записать уравнение: 1) плоскости г=го+аи+Ьп в виде (г,п) = Р; 2) прямой г = го + а~ в виде [г, а) = Ь; 3) прямой (г, а) = Ь в виде г = го + а~; 4) прямой (г, и;) = Р„2' = 1, 2, в виде (г, а) = Ь; 5) прямой (г, и;) = Р„2' = 1, 2, в виде г = го + а~. 6.2. Найти необходимое и достаточное условие, при котором плоскости (г,п1) = Р1 и (г, п2) = Р2. Х б.

Плоскостпь и врлмаа а пространства 1) пересекаются по прямой; 2) параллельны, но не совпадают; 3) совпадают. 6.3. Найти необходимое и достаточное условие, при котором прямые г = г~ + а~1 и г = ге+ ае1; 1) пересекаются (т.с, имеют единственную общую точку); 2) скрещиваются; 3) параллельны, но не совпадают; 4) совпадают. 6.4. Даны прямая г = ге+ а1 и плоскость (г,п) = Р. При каком необходимом и достаточном условии: 1) опи пересекаются (имеют единственную общую точку); 2) они параллельны (не имеют общих точек); 3) прямая лежит в плоскости? 6.5.

Найти радиус-вектор точки пересечения: 1) прямой г = ге+аХс плоскостью (г, и) = Р (ссли (а, и) ~ ~'= О); 2) прямой [г, а) = Ь с плоскостью (г, и) = Р (если (а, н) ф у'= О). 6.6. Точка Мо определяется радиус-вектором ге. Составить уравнения: 1) прямой, проходящей через точку ЛХе перпендикулярно плоскости (г,п) = Р; 2) плоскости, проходящей через точку ЛХе перпендикулярр й г = г~ + аХ.

6.7. Составить векторное уравнение плоскости, проходящей через прямую г = ге+ а1 и точку ЛХ~(г~), не лежащую на зтой прямой. 6.8. Даны точка ЛХе(ге) и плоскость (г, и) = Р. Найти радиус-вектор: 1) проекции точки ЛХе на плоскость; 2) точки ЛХы симметричной с Ме относительно плоскости. 6.9. Даны точка ЛХе(ге) и прямая г = г~ + а1.

Найти радиус-вектор; 1) проекции точки ЛХе на прямую; 2) точки ЛХм симметричной с ЛХе относительно прямой. 6.10. Составить уравнения; 1) проекции прямой г = го + а1, нс перпендикулярной плоскости (г, и) = Р, на зту плоскость; Гл. 2. Прямил и плоскость 2) прямой, пересекающей прямую г = г~+ а1 под прямым углом и проходящей через точку ЛХо(го), не лежащую на данной прямой (перпендикуляра, опущенного из точки Мо(го) на прямую г = гг+аХ); 3) прямой, пересекающей две скрещивающиеся прямые г = г~+ а~1 и г = гз+ аз1 и проходящей через точку Мо(го), не лежащую ни на одной из этих прямых; 4) прямой, пересекающей две скрещивающиеся прямые г = г~ + а~1 и г = гз + аз1 под прямыми углами (общего перпендикуляра к этим прямым).

6.11. Найти расстояние: 1) от точки ЛХо(го) до плоскости (г,п) = Р; 2) между двумя параллельными плоскостями г = г~ + аи+ +Ьи и г=гз+аи+Ьи; 3) между двумя параллельными плоскостями (г, п) = Р~ и (г,п) = Рз, 4) от точки Мо(го) до прямой г = г~ + а1: 5) от точки ЛХо(го) до прямой [г, а] = Ь; 6) между двумя параллельными прямыми г = г~+а4 и г = гз+а~; 7) между двумя параллельными прямыми [г, а] = Ь~ и [г,а] = Ьз; 8) между двумя скрещивающимися прямыми г = г~+ а~1 и г = ге+ аз1; 9) между двумя скрещивающимися прямыми [г, ад] = Ьд и [г,аз] = Ьз. 6.12. Даны прямая г = го+ а1 и плоскость (г,п) = Р, не параллельные между собой.

Точка ЛХ лежит на прямой и удалена от плоскости на расстояние р. Найти радиус-вектор точки ЛХ. В задачах 6.13 — 6.44 система координат обнгая декартова 6.13. Точка М лежит в плоскости Ах+ Ву+Сз+Р = О, вектор ЛХМ~ имеет координаты (А, В, С). Доказать, что точка М~ лежит в положительном полупространстве относительно данной плоскости. 6.14. 1) Зная параметрические уравнения плоскости: л = 1+ и — и, у = 2+ и+ 2и, г = — 1 — и+2и, составить ее общее уравнение. 2) Зная общее уравнение плоскости 2л — Зу+ с+ 1 = О, составить ее параметрические уравнения. ,4 б.

Плоскость и прлмал в простропствс 6.15. Доказать, что направляющий вектор а прямой, заданной в виде пересечения двух плоскостей А1х+ В1у+ С1 с + +Р1 = О, Азх + Взу + Сзс + Рз = О, можно находить по правилу «векторного произведения» В1 С~ С1 А1 А1 В1 ' = В, С, " + С, А, " + А, В, " не только в прямоугольной правой, но и в общей декартовой системе координат.

6.16. 1) Записать уравнения прямой х = 2 + 31, у = 3 — 1, с = 1 + 1 в виде пересечения двух плоскостей и в канонической форме. 2) Записать уравнения прямой х — у+ 2г + 4 = О, — 2х + у + +а+ 3 = 0 в параметрической и канонической форме. 6.17. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(1, — 1, 2) и параллельной плоскости: 1) х — Зу+2с+1=0; 2) х=5; 3) у=4; 4) с=З; 5) х=4 — и+и, у=2+и+2и, с= — 1+7и+Зи. 6.18.