Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004), страница 7

5.17. Две медианы треугольника лежат на прямых х+ у = = 3 и 2х+ Зу = 1, а точка А(1, 1) является вершиной треугольника. Составить уравнения сторон треугольника. 5.18. Точки К(1, — 2), Ь(3,4) и ЛХ(5,0) являются соответственно серединами сторон АР, АВ и ВС четырехугольника АВСР, диагонали которого пересекаются в точке 0(2, 2). Найти координаты вершин четырехугольника. 5.19. Составить уравнения прямых, проходящих через точку А( — 1, 5) и равноудаленных от двух точек В(3, 7) и С(1, — 1). 5.20. (р). Составить уравнения прямых, равноудаленных от трех точек А(3, — 1), В(9,1) и С( — 5,5). 5.21.

Через вершину С параллелограмма АВСР проведена прямая, пересекающая продолжения сторон АВ и АР соответственно в точках К и Ь таких, что (АК(/)АВ! = 5(АХ )/)АР). Найти отношение площади параллелограмма к площади треугольника АКР. В задачах 5.22 — 5.62 система координат прямоугольная 5.22. Указать хотя бы один нормальный вектор прямой, которая: 1) имеет угловой коэффициент Й; 2) задана общим уравнением Ах + Ву+ С = О. 5.23. Составить уравнение прямой, проходящей через точку.

А( — 3,4) и перпендикулярной прямой: 34 Гл. 2. Примял и лоскошпь 1) х — 2у+5 = 0; х — 1 у+2 2) — = — ' 2 3 3) х=2; 4) у= — 1; 5) х = 3 + 1, у = 4 — 71. 5.24. Точка А(3, — 2) является вершиной квадрата, а точка ЛХ(1, 1) — точкой пересечения его диагоналей. Составить уравнения сторон квадрата. 5.25. Длина стороны ромба с острым углом 60' равна 2. Диагонали ромба пересекаются в точке М(1,2), причем большая диагональ параллельна оси абсцисс.

Составить уравнения сторон ромба. 5.26. На прямой 5х — у — 4 = 0 найти точку, равноудаленную от точек А(1,0) и В( — 2, 1). 5.27. Найти расстояние от точки А(1, — 2) до прямой, заданной своим уравнением: Ц 2х — Зу+5=0; 2) 4х — Зу — 15 = 0; 3) 4х=Зу; 4) 4х — Зу — 10 = 0; 5) х=7; 6) у=9. 5.28. Найти расстояние между параллельными прямыми Ах+ Ву+С1 = 0 и Ах+ Ву+Се = О. 5.29. Составить уравнения прямых, параллельных прямой — 2х+у+5 = 0 и отстоящих от точки А(1,— 2) на расстояние ъ'20. 5.30. Точка А лежит на прямой 2х — Зу+ 4 = О.

Расстояние от точки А до прямой Зу = 4х равно 2. Найти координаты точки А. 5.31. Точка А лежит на прямой х +у = 8,причем А равноудалена от точки В(2,8) и от прямой х — Зу+ 2 = О. Найти координаты точки А. 5.32. Найти координаты всех точек, равноудаленных от точки А( — 1, 1) и прямых у = — х и у = х+ 1. 5.33. Найти множество точек плоскости, отношение расстояний от которых до двух пересекающихся прямых А1х+ В1у+ С1 = 0 и Аех+ В2у+ С2 = 0 есть постоянная величина й > О. з а. Прямая ва плоскости 35 5.34 (р). Даны точка А(1,2) и прямая Зх — у+ 9 = О.

Найти координаты: 1) проекции точки А на прямую; 2) точки В, симметричной с А относительно прямой. 5.35. Составить уравнение прямой, симметричной прямой Зх — у + 5 = 0 относительно прямой х + у = 1. 5.36. Даны уравнения сторон треугольника: х+ 2у+ 1 = О, 2х — 9 — 2 = О, 2х + у+ 2 = О. Составить уравнение высоты, опущенной на третью сторону. 5.37. Точка Н( — 3,2) является точкой пересечения высот треугольника, две стороны которого лежат на прямых у = 2х, и 9 = — х+ 3. Составить уравнение третьей стороны. 5.38.

Даны координаты двух вершин треугольника А(1,3), В(2, 5) и точки пересечения его высот Н(1,4). Найти координаты третьси вершины треугольника и составить уравнения его сторон. 5.39. Точка А(1,2) является серединой одного из оснований прямоугольной трапеции, а точка В(3, — 1) серединой средней линии.

Боковая сторона, перпендикулярная основахт1 у — 2 ниям, лежит на прямой = . Составить уравнения 3 4 остальных сторон трапеции. 5.40. Точка А( — 1,4) вершина ромба АВСР, диагонали которого пересекаются в точке ЛХ(2, 3). Точка Р(3, 1) лежит на стороне АВ. Составить уравнения сторон ромба. 5.41. Составить уравнения сторон прямоугольного треугольника, если С( — 3,4) вершина прямого угла, ЛХ(1,2) середина гипотенузы, а точка Н(3,3) лежит на гипотенузе. 5.42. В треугольнике АВС точки М~(2,3), ЛХз(0,7) и ЛХа( — 2,5) . середины сторон ВС, СА и АВ.

Составить уравнение прямой АВ. Найти угол между медианами АЛХ~ и ВМз. 5.43. В параллелограмме АВСР вершины А и С имеют координаты (1,2) и (7,10) соответственно, Н(3,0) основание высоты, опущенной из В на сторону АР. Составить уравнение прямой АР. Найти угол меж,чу прямыми АР и АВ. 5.44. В параллелограмме АВСР точки К( — 1,2), Х(3,4) и ЛХ(5,6) — середины сторон соответственно АВ, ВС и СР. Составить уравнение прямой ВС. Найти угол между прямыми АВ и АЛХ. Гл.

В. Прлмол и лоскостпь 5.45. В трапеции АВСР с основаниями АР и ВС сторона СР перпендикулярна основаниям, точки А и С имеют координаты соответственно (5,2) и ( — 2,3), а продолжения боковых сторон пересекаются в точке Р( — 3,6). Составить уравнение прямой АР. Найти угол между прямыми АР и АВ. 5.46. Точки К(1,3) и Х( — 1,1) являются серединами оснований равнобедренной трапеции, а точки Р(3,0) и Я( — 3,5) лежат на ее боковых сторонах. Составить уравнения сторон трапеции.

5.47. Найти угол между прямыми: 1) 2х+у — 1=0иу — х=2; 2) х=4и2х — д — 1=0; 3) = и х — 2 у — 1 х — 1 у+2 3 — 4 4 3 х — 1 у — 3 х — 4 у 4) = и 1 2 — 2 — 4' 5) х=31,у= — 1+2~их=1 — 2~,у= — 5+~. 5.48. Составить уравнения прямых, проходящих через точку А(3,1) и образующих с прямой Зх = у+ 2 углы в 45'. 5.49. Точка А(2,0) является вершиной правильного треугольника, а противолежащая ей сторона лежит на прямой х+ у — 1 = О. Составить уравнения двух других сторон. 5.50.

Основание равнобедренного треугольника лежит на прямой х+2у = 2, а одна из боковых сторон -- на прямой у+ 2т = 1. Составить уравнение другой боковой стороны треугольника, зная, что ее расстояние от точки пересечения данных прямых равно 1/~5. 5.51. Рассматривается тот угол между прямыми у = х+ 1 и у = 7х+ 1, внутри которого лежит точка А(1,3). Найти координаты точки В, лежащей внутри этого угла и удаленной от данных прямых соответственно на расстояния 4~2 и ъ 2. 5.52. Составить уравнения сторон угла с вершиной в точке В. В угол вписана окружность радиуса В с центром в точке А: 1) А( — 1,3), В( — 4,1), В = 2; 2) А(1, — 2), В( — 2, — 1), Л = 3.

5.53 (р). Составить уравнение биссектрисы того угла между прямыми х — 7у = 1 и х+ у = — 7, внутри которого лежит точка А(1,1). 5.54. Составить уравнение биссектрисы острого угла между прямыми х — 7у = 1 и х+ у = — 7. Х а. Прямая ва плоскости 37 5.55. Составить уравнения биссектрис внутренних углов треугольника, стороны которого заданы уравнениями Зу = 4х, 4у = Зх, 5х + 12у = 10. 5.56.

Вершинами треугольника являк~тся точки А(20, 15), В( — 16,0), С( — 8,— 6). Найти длины радиусов и координаты центров вписанной и описанной окружностей. 5.57. Даны координаты двух вершин треугольника А(2, — 1), В(1,5) и точки пересечения его биссектрис ЦЗ,О). Составить уравнения сторон треугольника. 5.58. Точки А(1,2) и В( — 3,0) вершины равнобедренного треугольника АВС, углы А и В при основании равны агссов(1/~ 5). Найти координаты вершины С, зная, что она лежит по ту же сторону от прямой АВ, что и точка М(2, 3).

5.59. Сторона АВ треугольника АВС задана уравнением х — у + 1 = О, сторона ВС уравнением 2х — Зу + 5 = О, сторона АС вЂ” уравнением Зх — 4у+2 = О. Составить уравнение прямой, проходящей через вершину С так, что точка пересечения этой прямой со стороной АВ удалена от стороны АС на расстояние 1/5. 5.60. Составить уравнения прямых, образующих угол агссов(1/~Л) с прямой х+2у — 1 = О, и удаленных от точки А(1,1) на расстояние 1.

5.61. Найти радиус и координаты центра окружности, проходящей через точку А( — 1, 3) и касающейся прямых 7х+ у = 0 н х — у+8= О. 5.62. Гипотенуза прямоугольного треугольника лежит на прямой 2х + у — 2 = О, а точка С(3, — 1) является вершиной прямого угла. Плоп1адь треугольника равна 9/4. Составить уравнения прямых, на которых лежат катеты. Замена системы координат (5.63 — 5.67) 5.63.

Даны две системы координат О, ем ез и О', е~, е~2. Начало второй системы координат имеет в первой системс координаты аш, азе, а базисные векторы второй системы имеют в базисе первой системы координаты аы, а2~ и а~2, аз2 соответственно. В первой системе координат прямая задана уравнением Ах+ Ву+ С = О. Составить уравнение этой прямой во второй системе. 38 Гл. 8. Прлмал и лосквсть 5.64.

На плоскости даны три точки А(2, 3), В(1, 4), С( — 1,2) и прямая х — 5у+7= О. Составить уравнение этой прямой в новой системе координат А, АВ, АС. 5.65. Прямые Зу = х+ 2 и Зх+ 2у — 5 = 0 являются соответственно осями О~х~ и О~у~ новой системы координат, а точка А( — 1,2) имеет в новой системе координаты (1,1).

1) Найти координаты точки в исходной системе координат, если известны ее координаты х', у' в новой системе. 2) Составить в новой системе координат уравнение прямой, которая в исходной системе задается уравнением 5х — 4у + 7 = О. 5.66. В пРЯмоУгольной системе кооРДинат О, еь ез пРЯ- мая задана уравнением ь'Зх+ 2у — 6 = О. Начало новой прямоугольной системы координат находится в точке О'( — 2,3), а базисные векторы е1 и е~2 получаются из векторов е1 и ев соответственно поворотом на угол ЗО' в направлении кратчайшего поворота от е1 к е2. Составить уравнение данной прямой в системе координат О~, е1, е~2. 5.67. Две взаимно перпендикулярные прямые, заданные в прямоугольной системе координат уравнениями 2х — у+1 = 0 и х+ 2у — 7 = О, являются соответственно осями О'х' и О'у' новой прямоугольной системы координат, а точка А(2,0) имеет в новой системе положительные координаты.