Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004), страница 6

4.22. Дан параллелепипед АВСРА»В»С» Р». Найти кооопдинаты точки пространства в системе координат А, АС, АВ», АА», если известны ее координаты х', у', з' в системе координат Р,РР,РС,РВ. 4.23. Координаты х, у каждой точки плоскости в первой системе координат выражаются через координаты х', у этой же точки во второй системе координат соотношениями х = = апх'+ а»2у +а»о, у = а»пх'+а2зу'+ азо.

Первая система координат является прямоугольной. При каком необходимом и 28 Гли 1. Векгпоры и координаты достаточном условии вторая система также является прямоугольной? 4.24. Координаты х, д, г каждой точки пространства в первой системе координат выражаются через координаты х, у', х' этой же точки во второй системе координат соотношениями х = а11х'+ агау'+ а1зх'+ аш, у = аз1х'+ иззу'+ аззз'+ ахь х = аз1х'+ ааву'+ азах'+ азо.

1) Пусть первая система координат является прямоугольной. При каком необходимом и достаточном условии вторая система также является прямоугольной? 2) При каком необходимом и достаточном условии ориентация базисов первой и второй систем одинакова? 4.25. На плоскости даны две прямоугольные системы координат О, ем ез и О~, е1, е~2. Начало второй системы координат имеет в первой системе координаты хо, уе, а векторы е1 и е~2 получаются из векторов е1 и ез соответственно поворотом на один и тот же угол ео в направлении кратчайепего поворота от е1 к ез. 1) Найти координаты точки в первой системе координат, если известны ее координаты х~, д' во второй системе. 2) Найти координаты точки во второй системе координат, если известны ее координаты х, у в первой системе.

3) Найти координаты точки О во второй системе координат. 4.26. На плоскости даны две прямоугольные системы координат О, ем ез и О~, е', е!~. Начало второй системы координат имеет в первой системе координаты 1,3, а векторы е~ и е~ получаются из векторов е1 и еа соответственно поворотом на один и тот же угол ~р в направлении кратчайшего поворота от о1 к оз. Найти координаты точки в первой системс координат, если известны ее координаты х', у' во второй системс, считая угол ~р равным: 1) 60', 2) 135', 3) 90', 4) 180'. 4.27. На плоскости даны две прямоугольные системы кооРдинат О, ем ео и О~, е|, ез~.

Начало втоРой системы кооР- динат имеет в первой системе координаты хе, дв, а векторы е~ и — ез~ получаются из векторов е1 и ео соответственно поворотом на один и тот же угол у в направлении кратчайшего поворота от е1 к ез. ~ 4. 3 мтеа базиса и системы координат 29 1) Найти координаты точки в первой системе координат, если известны ее координаты х, у' во второй системе. 2) Найти координаты точки во второй системе координат, если известны ее координаты х, у в первой системе. 3) Найти координаты точки О во второй системе координат.

4.28. В прямоугольном треугольнике АВС, длины катетов которого равны ~АВ~ = 3 и ~ВС~ = 4, точка Р является основанием высоты, проведенной из вершины прямого угла. Векторы ем ез, ем е!в имеют длину 1, причем е1 сонаправлен с ВА, ез сонаправлен с ВС, е1 сонаправлен с АС, е~ сонаправлен с РВ. Найти координаты точки плоскости в системе координат В, ем ез, если известны ее координаты х~, у~ в системс координат Р, / / ЕМ Ев. 4.29. В пространстве даны две прямоугольные системы координат О, ем ез, ез и О~, е» е~з, е~з. Начало второй системы координат имеет в первой системе координаты — 1,3,5. Вектор е~ образует углы, равные 60', с векторами е1 и ез и острый угол с вектором ез. Вектор е!~ компланарен с векторами е1 и ез и образует с вектором ез острый угол. Тройки ем ез, ез и е1, е~, е~з одинаково ориентированы.

Найти координаты точки пространства в первой системе координат, если известны ее координаты х', у', з' во второй системе. 4.30. В пространстве даны две прямоугольные системы координат О, ем ез, ез и О', е1, е~, е~з. Точки О и О' различны, а концы векторов е, и е'„отложенных соответственно из точек О и О', совпадают (г = 1, 2, 3). Найти координаты точки пространства в первой системе координат, если известны ее координаты х', у', з' во второй системе.

Глава 2 ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В втой главе уравнения прямой на цлоскостн, прямых и плоскостей в пространстве используются в векторной и координатной форме. Основные понятия: направляющий вектор прямой, наврав яющие векторы, плоскостпи, норм льный вектпор прямой па плоскости, нормальный вектор лоскостпи, пучок прямых па плоскостпи, пучок и связка плоскощпей, а также параллельпостгч перпендикулярпость, углы, расстоян л и проекции. Всюду, кроме задач 6.33 и 6.34, под проекцией понимается ортогональная проекция. 3 5. Прямая на плоскости Прямая линия на плоскости может быть задана: 1) векторным уравнением в параметрической форме г=го+а1 (а~о), (1) где а — направляющий вектор прямой, го — радиус-вектор фиксированной точки на прямой; 2) нормальным векторнтям уравнением (г — го, и) = 0 (и ~ о), (2) где п нормальный вектор прямой; 3) общим уравнением в декартовой системс координат Ах+Ву+С=О (А +В у'.-0).

(3) Уравнение (2) можно записать в виде (г,и) = В. Если уравнение (1) записать в общей декартовой системе координат,. то получим параметрические уравнения прямой на плоскости х = хо+ от, у = уо+ ба При о у: О, Д ф 0 исключением параметра 1 параметрические уравнения прямой приводятся к канонической форме х — хо у — уо и )з При и = 0 каноническое уравнение прямой принимает вид х=хо, при В=Π— вид у=уо.

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки, может быть записано в векторной форме г = г, + (гз — г, )1 У б. Прлльал иа плоскости ив координатной форме и» у у« Ут У» Здесь г~ и гз — радиус-векторы данных точек, а х«, у~ и хм уз — их декартовы координаты. При х« = хт нлн у« = уз уравнение прямой принимает соответственно внд х = х~ или у = у». Для данной прямой линии ее направляющий н нормальный векторы определены с точностью до умножения на ненулевое число. Направляющим вектором прямой, заданной общим уравнением (3), является, например, вектор с координатами — В,А.

Если система координат прямоугольная, то нормальным вектором прямой (3) является, например, вектор с координатами А, В. Есчи прямая задана общим уравнением (3),то для координат всех точек, лежащих по одну сторону от нее («в положительной полуплоскостн»), выполнено неравенство Ах + Ву+ С > О, а для координат всех точек, лежащих по другую сторону («в отрицательной полуплоскости»), -- неравенство Ах+ Ву -» С < О. Расстояние от точки с радиус-вектором г» до прямой, заданной векторныл«уравнением (2), равно ~(г~ — ге,п))/~п .

Расстояние от точки ЛХ(хму») до прямой, заданной уравнением (3) в прямоугольной системе координат, равно ~Ах~+Ву, +С~!»/А~+Вз. Векторные уравнения прямых (5.1 — 5.5) 5.1. Нри каком необходимом и достаточном условии прямые г = г~+ а~1 и г = гз+аз1: 1) пересекаются в единственной точке; 2) параллельны, но не совпадают; 3) совпадают? 5.2. Найти угол между прямыми, заданными своими уравнениями: 1) г = г~ +а~1 и г = ге+ аз1; 2) (г,п~) = Р~ и (г,пз) = Р».

5.3. Две прямые заданы векторными уравнениями (г, и) = = Р и г = го + а1, причем (а, и) ф О. Найти радиус-вектор точки пересечения прямых. 5.4. Даны точка Мо с радиус-вектором го и прямая (г, и) = = Р. Найти радиус-векторы: 1) проекции точки Мо на прямую; 2) точки ЛХН симметричной с Мо относительно данной прямой. 32 Гл. В. Прлмал и лоскаппь 5.5. Найти расстояние от точки ЛХо(ге) до прямой, заданной уравнением: 1) (г, и) = В; 2) г = г1+ а1. В задачах 5.6 — 5.21 система координат общая декартова 5.6.

Указать хотя бы один направляющий вектор прямой„ которая: 1) имеет угловой коэффициент Й; 2) задана общим уравнением Ах + Ву+ С = О. 5.7. 1) Записать уравнение прямой х = 2+31, у = 3+21 в виде Ах+ Ву+ С = О. 2) Записать уравнение прямой Зх — 4у+ 4 = 0 в параметрической и канонической формах. 3) Найти угловой коэфф1щиент прямой х = 2+ 31, у = 3 + 21. 5.8.

Составить уравнение прямой, проходящей через точку А( — 3,4) и параллельной прямой: 1) х — 2у+5 = О; х — 1 у+2 2 3 3) х = 2; 4) у= — 1: 5) х = 3 + 1, у = 4 — 71. 5.9. Составить уравнение прямой, проходящей через две данные точки: 1) А( — 3,1) и В(1,2); 2) А(0,2) и В( — 1,0); 3) А(2,1) и В(2,— 5); 4) А(1,— 3) и В(3,— 3). 5.10. Установить, пересекаются, параллельны или совпадают прямые данной пары; если прямые пересекаются, найти координаты точки их пересечения: 1) х — Зу — 2 = 0 и 2х+ у — 1 = 0; 2) х+Зу — 1=0 и 2 — 2х — бу=О; 3) — х — у — 3 = 0 и Зх+ Зу+ 1 = 0; 4) х = 1+ 21, у = 1 — 1 и х = 2 — 1, у = 2+ 1. 5.11. При каких а прямые ах — 4у = 6 и х — ау = 3: 1) пересекаются; 2) параллельны; 3) совпадают? 5.12.

При каких а три прямые ах+у = 1, х — у = а, х+ у = а имеют обшук> точку? 1 О. Прямая иа плоскости 33 5.13. Точка ЛХ лежит на прямой Ах+ Ву+ С = 0; вектор ЛХЛХ~ имеет координаты А, В. Доказать, что точка ЛХ1 лежит в положительной полуплоскости относительно прямой с уравнением Ах + Ву + С = О. 5.14. 'Гочка ЛХ(3,2) является центром параллелограмма, а его стороны лежат на некоторых четырех прямых. На каждой из этих прямых расположена одна из точек: Р(2, 1), Я(4, — 1), Л( — 2, 0), Я(1,5). Найти уравнения прямых. 5.15. Даны две вершины треугольника (3,— 1) и (1,4) и точка пересечения его медиан (0,2).

Найти координаты третьей вершины треугольника и составить уравнения его сторон. 5.16. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(1,2) так, что отрезок этой прямой, заключенный между прямыми Зх+ у+ 2 = 0 и 4х + у — 1 = О, в точке А делится пополам.