Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004), страница 5

3. 23. Даны точки А (2, 1, — 1), В (3, О, 2), С (5, 1, 1), Р (О, — 1, 3), являющиеся вершинами тетраэдра. Найти: 1) объем тетраэдра; 2) длину высоты тетраэдра, опущенной из вершины С. 3.24. Длины базисных векторов ем ео, ез в пространстве равны соответственно 1, 2, ~'2, а углы между ними равны; л'.(ен ез) = 120', Л(еы ез) = 45', е'.(ез, ез) = 135'. Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах, имеющих в этом базисе координаты ( — 1,0,2), (1,1,3), (2,— 1,1).

3.25. Даны неколлинеарные векторы а, Ь и скаляр р. 1) Найти какой-нибудь вектор х, удовлетворяклций уравнению (х,а, Ь) = р. 2) Объяснить геометрический смысл всех решений уравнения (х, а, Ь) = р, а также его частного решения, ортогонального к векторам а, Ь. 3.26. Доказать тождества: 1) (а, Ь,с)~+ [[[а,Ь),с[[~ = [[а, Ь)[~. [с[~; Х о.

Векторное и емееиаииое произведения оеитороо 23 2) [[а, Ь], [с, й]] = с(а, Ь, й) — й(а, Ь, с); 3) й(а, Ь,с) = а(Ь,с,й) + Ь(с,а, й) + с(а,Ь,с1); 4) ([а, Ь],[Ь, с],[с,а]) = (а, Ь, с)~; а Ь с 5) (а,Ь,с)[х,у] = (а,х) (Ь,х) (с,х) (а,у) (Ъ,у) (с,у) (а,х) (Ь ) ( ) ,х с,х 6) (а,Ь,с)(х,у,х) = (а,у) (Ъ,у) (с,у) (а,и) (Ъ,я) (с,я) 3.27. Доказать, что проекция вектора Ь на прямую, перпендикулярную вектору а, равна [а, [Ь, а]]/[а[~. 3.28. Доказать, что: 1) если векторы [а,Ь], [Ь,с], [с,а] компланарны, то векторы а, Ъ, с компланарны; 2) если векторы [а, Ь], [Ь, с], [с, а] компланарны, то они коллинеарны.

3.29 (р). Две тройки векторов ам аа, аз и Ьм Ьз, Ьз называются взаимными, если (а;,Ь,) = 0 при г ф 1, (а,,Ь;) = 1. 1) Доказать, что для существования тройки Ьм Ьз, Ьз, взаимной к ам аз, аз, необходимо и достаточно, чтобы векторы ам ао, аз были некомпланарны; 2) выразить в атом случае векторы Ьм Ь2, Ьз через векторы ам аз, аз. 3) Доказать, что если векторы ам аз, аз образуют базис, то векторы взаимной тройки образуют базис той же ориентации (базис, взаимный к базису ам аг, аз).

3.30. Для тройки векторов аз(3,0,1), аг( — 1,1,2), аз(1,2,1) найти взаимную тройку (см. задачу 3.29). 3.31. Решить систему векторных уравнений в пространстве: (х,а) = р, (х, Ь) = о, (х, с) = о (векторы а, Ь, с некомпланарны). Геометрическая интерпретация решения дается в зада ее 2.33. 3.32. 'Гочка ЛХ лежит на ребре ВВ1 куба АВСРА1В1С1Рм причем [ВЛХ; [ЛХВ1[ = 2: 1. Длина ребра куба равна а. Найти расстояние между прямыми СР1 и ЛХР. 3.33. Доказать, что площадь треугольника, составленного из медиан треугольника АВС, равна 3/4 площади треугольника АВС. 3.34. В треугольнике АВС через точку Н на стороне АС проведена прямая параллельно стороне ВС до пересечения со Гл.

Х. Векгпоры и координаты стороной АВ в точке М. Площадь треугольника ВНЛХ в 4,5 раза меньше площади треугольника АВС. Найти отношение )АМ); (ЛХВ). 3.35. Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны. Найти площадь трапеции, если длина высоты ее равна ее. 3.36. Площадь трапеции АВСР равна Я, отношение длин оснований ~АР~: ~ВС~ = 3: 1. Отрезок ММ параллелен стороне СР и пересекает сторону АВ. При этом ~АМ~: ~ВХ~ = 3: 2, )ЛХМ); ~СР~ = 1: 3; отрезок АЛХ параллелен отрезку ВХ.

Найти площадь треугольника В%С. 3.37. Точка ЛХ -- середина бокового ребра АА1 параллелепипеда АВСРА-„В1С1 Рп Прямые ВР, МР1 и А1С попарно перпендикулярны. Известны длины отрезков: ~ВР~ = 2а, )А~С) = 4а, )ВС) = ЗаХ2. Найти длину высоты параллелепипеда. 3.38. Доказать, что любая плоскость, проходящая через середины двух скрещивающихся ребер произвольного тетраэдра, делит этот тетраэдр на две одинаковые по объему части. 3.39. В правильном тетраэдре АВСР проведены два сечения, параллельные ребрам АС и ВР.

Найти длину ребра тетраэдра, если площади сечений равны 51 и Яз, а расстояние между секущими плоскостями равно Й. 3.40. Доказать, что все четыре грани произвольного тетраэдра равновелики тогда и только тогда, когда они конгруэнтны. 5 4. Замена базиса и системы координат 4.1. На плоскости даны два базиса ем ез и е'„е~. Векторы второго базиса имеют в первом базисе координаты ( — 1,3) и (2, — 7) соответственно. 1) Найти координаты вектора в первом базисе, если известны его координаты ее1м ее~~ во втором базисе. 2) Найти координаты вектора во втором базисе, если известны его координаты ам еез в первом базисе.

3) Найти координаты векторов еи ео во втором базисе. 4.2. В пространстве даны два базиса еп ез, ез и е1, е~з, е~з. Векторы второго базиса имеют в первом базисе координаты (1, 1, 1), ( — 1, — 2, — 3), (1, 3, 6) соответственно. 1) Найти координаты вектора в первом базисе, если известны его координаты а1м о!~, о~з во втором базисе. З" З. 3 мена базиса и системы координат 25 2) Найти координаты вектора во втором базисе, если известны его координаты оы се2, сез в первом базисе. 3) Найти координаты векторов еы ез, ез во втором базисе. 4.3. На плоскости даны две системы координат О, еы ео и О~, е~ы е~2. Начало второй системы координат имеет в первой системе координаты ( — 1, 3), а базисные векторы второй системы имеют в базисе первой системы координаты (2,3) и (1,1) соответственно.

1) Найти координаты точки в первой системе, если известны ее координаты х', у' во второи системе координат. 2) Найти координаты точки во второй системе, если известны ее координаты х, д в первой системе координат. 3) Найти координаты точки О во второй системе и координаты векторов еы ев в базисе второй системы координат. 4.4. В пространстве даны две системы координат О, еы еа, ез и О~, е~м е~з, е~з. Начало второй системы координат имеет в первой системе координаты (1, 1, 2), а базисные векторы второй системы координат имеют в базисе первой системы координаты (4,2,1), (5,3,2), (3,2,1) соответственно.

1) Найти координаты точки в первой системе координат, если известны ее координаты х', у', з' во второй системе. 2) Найти координаты точки во второй системе, если известны ее координаты т,, у, г в первой системе. 3) Найти координаты точки О во второй системе координат и координаты векторов еы ез,ез в базисе второй системы. 4.5. Координаты х, у каждой точки плоскости в системе координат О, еы ео выражаются через координаты х', у этой же точки в системе О', е~м ез~ фоРмУлами х = 2х' — У'+ 5, у = зх'+ у' + 2. 1) Выразить координаты х', у' через координаты х, у.

2) Найти координаты начала О и базисных векторов еы ез первой системы координат во второй системе. 3) Найти координаты начала О' и базисных векторов е~, е~2 второй системы координат в первой системе. 4.6. Координаты х, у, з каждой точки пространства в системе координат О, еы е2, ез выражаются через координаты х, у', з' этой же точки в системе О', е1, е~, е~з формулами х = х'+ у' + з' — 1, у = -х' + з' + 3, з = -х' — у' — 2. 1) Выразить координаты т,', д', е' через координаты х, у, з. 2) Найти координаты начала О и базисных векторов еы ео, ез первой системы координат во второй системе.

26 Гл. й Вектпоры и координаты 3) Найти координаты начала 0' и базисных векторов е1, ез, ез второй системы в первой системе. 4.7. Найти координаты вектора в базисе еа(2,3), е2(3,4) на плоскости, если известны его координаты о1» а~2 в базисе е1(1, — 1), е~(2, — 3). 4.8. Найти координаты вектора в базисе е1(1,3,2), еа( — 1,1,0), ез(2, — 1,1) в пространстве, если известны его координаты а1м о~~, а~з в базисе е~( — 1,0,2), е~(1,1, 1), е~з(4,3, — 1).

4.9. Найти координаты точки в системе координат 0(2, — 1), е1(1,5), ео( — 1,4) на плоскости, если известны ее координаты х', у' в системе координат 0'(3,2), е1(1, — 1), е~(4,2). 4.10. Найти координаты точки в системе координат 0(1,3, 3), е1(3,3,1), ез(3,5,2), ез(1,2,1) в пространстве, если известны ее координаты х', д', з' в системс координат 0'( — 1,0,2), е',(1, — 2,1), е~(4,2,1), е~(2, — 1,3). 4.11 (р). В параллелограмме АВСР точка Е лежит на диагонали ВР, причем ~ВЕ~: ~ЕР~ = 1: 2. Найти координаты точки плоскости в системе координат А, АВ, АР, если известны ее координаты х', у' в системе координат Е, ЕС, ЕР.

4.12. В параллелограмме АВСР точка Е лежит на стороне ВС, а точка Е -- на стороне АВ, причем ~ВЕ~: ~ВС~ = = 1: 4, (ВЕ(: (АЕ! = 2: 5. Найти координаты точки плоскости в системе координат С, СЕ, СР если известны ее координаты х', у' в системе координат Е, ЕЕ, ЕР. 4.13. В треугольнике АВС точка Р лежит на стороне ВС, а точка Е лежит на продолжении стороны АС за точку С, причем ~ВР~: ~РС~ = 1: 2, (АС); ~СЕ~ = 3; 1. Найти координаты точки плоскости в системе координат А, АВ, АС, если известны сс координаты х', у' в системе координат .Р, РА, РЕ. 4.14. В треугольнике АВС точка Р лежит на стороне АС, а точка Е на отрезке ВР, причем ~АР~; (АС! = 1: 3, )ВЕ); ~ЕР~ = 2: 3. Найти координаты точки плоскости в системе координат А, АВ, АР если известны ес координаты х', д' в системс координат С, СВ, СЕ. 4.15.

Дан правильный шестиугольник АВСРЕЕ. Найти координаты точки плоскости в системе координат А, АВ, АЕ, если известны ее координаты х~, у в системе координат С, СВ, СЕ. б 4. 3 мена базиса и системы координат 27 4.16. В трапеции АВСР диагонал»л пересекаются в точке Е, а длины оснований ВС и АР относятся как 2: 3. 11айти координаты точки плоскости в системе координат А, АВ, А.Р, если известны ее координаты х', у' в системе координат Е, ЕА, ЕВ. 4.17. В трапеции АВСР длины оснований ВС и АР относятся как 3: 4, точка Е является серединой основания АР, а продолжения боковых сторон пересекаются в точке Г.

Найти координаты точки плоскости в системе координат Е, ЕВ, ЕС, если известны ее координаты х', у' в системе координат Г, ГВ, ГС. 4.18. В основании призмы АВСРА» »ѻл лежит ромб с острым углом А, равным 60'. Точка К лежит на продолжении ребра АВ за точку В, причем угол АРК прямой. Найти кое»»- динаты точки пространства в системе координат А, АВ, АР, АА», если известны ее координаты х', у', з' в системе координат К, КА, КР, КС». 4.19. В треугольной призме АВСА»В» С» точка ЛХ - - точка пересечения медиан грани А»В»С». Найти координаты точки пространства в системе координат А, АВ, АС, АВ», если известны ее координаты х', у', х' в системе координат А», А»В, А»С, А»ЛХ.

4.20. Н тетраэдре АВСР точка ЛХ точка пересечения медиан грани ВСР. Найти координаты точки пространства в системе координат А, АВ, АС, АР, если известны ее координаты х', у', з' в системе координат ЛХ, МВ, ЛХС, МА. 4.21. В правильной шестиугольной пирамиде ЯАВСРЕГ с вершиной Я точка ЛХ является центром основания. Найти кооЕдинать» точки пространства в системе координат А, АВ, АГ, АЯ если известны ее координаты х', у', г' в системе координат Е. 8С, Й~, ВЛХ.