Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004), страница 4

Вектор с имеет длину 1 и делит пополам угол между а и Ь. Вычислить координаты вектора с. 2.24 (р). Даны два вектора а и Ь, причем а у'= о. Выразить через а и Ь ортогональную проекцию вектора Ь на прямую, направление которой определяется вектором а. 2.25. Найти сумму ортогональных проекций вектора а на стороны правильного треугольника. 2.26. Дан вектор а(1,1). Найти ортогональную проекцию вектора Ь на прямую, направление которой определяется вектором а, и ортогональную составляющую вектора Ь относительно этой прямой, если вектор Ь имеет координаты; 1) (1, — 3); 2) (1, — 1); 3) (3,3); 4) (-2, — 2). 18 Гль 1. Векттторы и коордииатлы 2.27. Дан вектор а(1, — 1,2).

Найти ортогональную проекцию вектора Ь на прямую, направление которой определяется вектором а. и ортогональнук> составляющую вектора Ь относительно этой прямой, если вектор Ь имеет координаты: 1) (2,— 2,4); 2) (1,1,2); 3) (4,0,-2). 2.28. Даны два вектора а(3,— 1) и Ь( — 1,1). Найти вектор х, удовлетворякпций системе уравнений (х, а) = 13, (х, Ь) = -3. 2.29. Даны векторы а(т/3, — 3) и Ь(1, — 1). Найти все векторы х, образующие угол тт/3 с вектором а и такие, что (Ь, х) = 1. 2.30. Даны три вектора а(4,.1.,5), Ь(0,5,2) и с( — 6.,2,3).

Найти вектор х, удовлетворяющий системе уравнений (х,а) = = 18, (х,Ь) = 1, (х,с) = 1. 2.31. Даны ненулевой вектор а и скаляр р. Выразить через а и р какой-нибудь вектор х, удовлетворяющий уравнению (х,а) =р. 2.32. Объяснить геометрический смысл всех решений векторного уравнения (х,а) =р, а также его частного решения, коллинеарного вектору а: 1) на плоскости; 2) в пространстве. 2.33.

Объяснить геометрический смысл: 1) решения системы векторных уравнений (х, а) = р, (х, Ь) = т1 на плоскости (векторы а и Ь неколлинеарны); 2) решения системы векторных уравнений (х, а) = р, (х,Ь) = т1, (х,с) = сч в пространстве (векторы а., Ь, с нскомпланарны). 2.34 (р). Даны два вектора а(1,— 1,1) и Ь(5,1,1). Вычислить координаты вектора с, который имсет длину 1 и ортогоналсн векторам а и Ь. Сколько решений имеет задача? 2.35. Даны два вектора а (1, — 1, 1) и Ь (5,1,1). Вектор с имеет длину 1, ортогонален вектору а и образует с вектором Ь угол агссоз (~/2/27). Вычислить координаты вектора с.

Сколько решений имеет задача? 2.36. В равнобедренном треугольнике медианы., проведенные к боковым сторонам, взаимно псрпсндикулярны. Найти углы треугольника. 2.37. В параллелограмме АВСР точки К и  — середины сторон ВС и СР. Найти ~АР1 если (АК) = 6, ~АВ~ = 3, а угол КАЛ = тт/3. Х е. Ска хрвое произведение векгаоров 2.38. Длины сторон треугольника связаны соотношением аг + бог = 5сг. Доказать, что две медианы треугольника перпендикулярны. 2.39. Длины соседних сторон параллелограмма относятся как т: и, а угол между этими сторонами равен се. Найти угол между диагоналями параллелограмма.

2.40. В выпуклом четырехугольнике сумма квадратов двух противоположных сторон равна сумме квадратов двух других противоположных сторон. Найти угол между диагоналями четырехугольника. 2.41. В прямоугольной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны, а отношение длин оснований равно ш:и (т > > и). Найти: 1) отношение длин боковых сторон; 2) отношение длин диагоналей; 3) величину острого угла трапеции. 2.42. Доказать, что если в треугольнике равны длины двух медиан, длины двух высот или длины двух биссектрис, то этот треугольник равнобедренный.

2.43. Пусть М точка пересе сения медиан треугольника АВС. Доказать, что (АМ(~+ )ВМ(г+ (СМ(~ = (~АВ~г+ + (ВС) г + (АС(г) с3 2.44. Длины ребер ААи АВ и АР параллелепипеда АВСРАсВсСсРс равны соответственно а, 6, с. Величины углов между ними е'.ВАР, ~Ас АР и ~Аг АВ равны соответственно о,,б, у.

Найти длину диагонали АСь 2.45. Дан произвольный тетраэдр АВСР. Доказать: если перпендикулярны ребра АВ и СР и ребра АС и ВР, то ребра ВС и А.Р также перпендикулярны. 2.46. Даны два отрезка АВ и СР (вообтт~е говоря, в пространстве). Доказать, что отрезки перпендикулярны, если ~АС~ + ~ВР~~ = ~АР~ + (ВС~ . Верно ли обратное утверждение? 2.47. В правильном тетраэдре АВСР точки М и Р -- середины ребер АР и СР соответственно, точки Х и Я .

центры граней ВСР и АВС соответственно. Найти угол между прямыми Мст и РЯ. 2.48. Длина ребра куба АВСРАсВсСгРс равна а. Точка Р—. середина ребра ССы точка Я "центр грани ААсВгВ. От- Гл. Е Векгпоры и координаты 20 резок МХ с концами на прямых АР и А~ В~ пересекает прямую РЯ и перпендикулярен ей. Найти длину этого отрезка. 2.49.

В правильном тетраэдре АВСР точки Е и Е являются серединами ребер АР и ВС соответственно. На ребро СР взята точка Х, на отрезке ЕЕ точка М так, что л'.МХС = 45', ~ЯМЕ = атосов [2/3). В каком отношении точки М и?У делят отрезки ЕЕ и СР? 2.50. В правильной шестиугольной пирамиде ЯАВСРЕЕ ф вершина) длина стороны основания равна 2. Вершины К и М ромба КАМЕ лежат на ребрах АВ и БР соответственно, и [КМ[ = 3, а отрезок КЕ пересекает ребро ЯВ. Найти объем пирамиды. 3 3. Векторное и смешанное произведения векторов 3.1. Найти векторное произведение векторов а и Ь, заданных своими координатами: 1) а(3, — 1, 2), Ь[2, — 3, — 5); 2) а[2, — 1, 1), Ь [ — 4, 2, — 2); 3) а(6, 1, О)., Ь(3, — 2, О). 3.2.

Упростить выражения; 1) [а+Ь, а — Ь); 2) [а — Ь+ с/2, — а+ 2Ь вЂ” 5с). 3.3. Доказать, что векторное произведение не изменится, если к одному из сомножителей прибавить вектор, коллинеарный другому сомножителю. 3.4. Векторы а и Ь не коллинеарны. При каких значениях скаляра Л коллинеарны векторы Ла+ Ь и За+ ЛЬ? 3.5. Векторы ем ев, ез образуют; 1) ортонормированный правый базис; 2) ортонормированный левый базис; 3) ортогональный правый базис. Выразить векторные произведения [ем ез], [ез, ез), [ез, е~[ через векторы ем ез, ез. 3.6.

Известно, что а = [Ь, с[, Ь = [с, а), с = [а, Ь). Найти длины векторов а, Ь, с и углы между ними. 3.7. Решить задачи: 1) 2.34; 2) 2.35, дополнительно потребовав, чтобы ориентация тройки векторов а, Ь, с совпадала с ориентацией ортонормированного базиса, в котором заданы координаты векторов. З о. Векторное и емееааииое произоедеииа еектороо 21 3.8. На векторах а(2,3,1) и Ь( — 1,1,2), отложенных из одной точки, построен треугольник. Найти: 1) площадь этого треугольника; 2) длины трех его высот.

3.9 (р). Длины базисных векторов е1 и ез общей декартовой системы координат на плоскости равны соответственно 3 и 2, а угол между ними равен 30'. В этой системе координат даны координаты трех последовательных вершин параллелограмма: (1,3), (1,0) и ( — 1,2). Найти площадь параллелограмма. 3.10. Доказать, что площадь выпуклого четырехугольника АВСР равна половине длины векторного произведения [АС, ВР~. 3.11. Доказать, что сумма векторов, перпендикулярных к граням произвольного тетраэдра, равных по длине площадям этих граней и направленных в сторону вершин,противолежащих этим граням, равна нулю. 3.12.

Доказать, что для трех нсколлинсарных векторов а, Ь, с равенства [а, Ь1 = [Ь, с) = [с,а) выполняются тогда и только тогда, когда а+ Ь + с = о. 3.13. Доказать тождества: Ь) (Ь,Ь) (а, а) (а, Ь) 2) [а, [Ь, сЦ = Ь(а, с) — с(а, Ь); 3) [[,Ь),[, 11)= ) д (а,с) (а,г1) 3.14. Даны ее, р, у плоские углы трехгранного угла. Найти его двугранные углы. 3.15. Даны два вектора а и Ь такис, что а ~ О, (а, Ь) = О.

Выразить через а и Ь какой-нибудь вектор х, удовлстворякь еций уравнению [х,а) = Ь. 3.16. Объяснить геометрический смысл всех решений векторного уравнения [х,а) = Ь, а также его частного решения, коллинеарного вектору (а, Ь). 3.17. Из одной точки отложены четыре вектора а, Ь, с, г1. Вектор е1 имеет длину 1 и образует с некомпланарными векторами а, Ь, с: 1) равные острые углы; 2) равныс тупые углы. Выразить вектор д через векторы а, Ь, с.

Гл. 1. Вектпоры и координаты 3.18. Из одной точки отложены четыре вектора а( — 1,1, — 1), Ь( — 1,1,1), с(5, — 1, — 1) и г1. Вектор е1 имеет длину 1 и образует с векторами а, Ь, с равные острые углы. Вычислить координаты вектора е1. 3.19. Найти смешанное произведение векторов а, Ь, с, заданных своими координатами; 1) а(1,— 1,1), Ь(7,3,— 5), с(-2,2,-2); 2) а(3,5,1), Ь(4,0,— 1), с(2,1,1); 3) а(2,1,0), Ь(3,4,-1), с(-1,-3,1); 4) а(1, 2, 3), Ь(5, — 2, 1), с(2, 1, 2). 3.20.

Проверить, компланарны ли векторы, заданные своими координатами в произвольном базисе: 1) а(2,3,5), Ь(7,1,— 1), с(3,— 5,— 11): 2) а(2,0,1), Ь(5,3,— 3), с(3,3,10). 3.21. Векторы а, Ь, с некомпланарны. При каких значениях скаляра Л компланарны векторы а+ 2Ь+Лс, 4а+5Ь+бе, 7а+ 8Ь+ Л2с? 3.22. Три некомпланарных вектора а, Ь, с отложены из одной точки. Найти: 1) обьсм треугольной призмы, основание которой построено на векторах а и Ь, а боковое ребро совпадает с вектором с; 2) объем тетраэдра, построенного на векторах а, Ь, с.