Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004), страница 3

1.32. Даны три точки А(хм ум сл), В(х2, ув, хз), С(хз, уз, кз), не лежащие на одной прямой. Найти координаты точки пересечения медиан треугольника АВС. 1.33. Зная радиус-векторы гм г2, гз, г4 вершин А, В, Р, А1 параллелепипеда АВСРА1ВлС1Ры выразить через них радиус-векторы остальных четырех вершин. 1.34. Отношение длин оснований АР и ВС трапеции АВСР равно т: и. Выразить радиус-векторы вершины Р, точки ЛХ Х й Линейные соотноиеения пересечения диагоналей трапеции и точки Я пересечения боковых сторон через радиус-векторы гм г2, гз вершин А, В, С. 1.35.

Доказать, что радиус-вектор центра правильного многоугольника есть среднее арифметическое радиус-векторов его вершин. 1.36. Зная радиус-векторы гм го, гз вершин треугольника, найти радиус-вектор центра окружности, вписанной в треугольник. 1.37. В плоскости треугольника АВС найти точку О такую, что ОА+ ОВ+ ОС = о. Существуют ли такие точки вне плоскости треугольника? 1.38. В точках, имеющих радиус-векторы гм ..., г„, сосредоточены массы тм ..., то.

Найти радиус-вектор центра тяжести этой материальной системы. 1.39. Однородная проволока согнута в виде угла АОВ со сторонами ~ОА~ = а и ~ОВ~ = Ь. Найти координаты центра тяжести проволоки в системе координат О, ОА/а, ОВ/Ь. 1.40. Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, имеющей форму четырехугольника АВСЮ с вершинами в точках А(3, 1), В(7,3), С(0,4), Х1( — 1,2). 1.41. Доказать, что если диагонали четырехугольника в точке пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм. 1.42.

Точки К и В являются серединами сторон АВ и ВС параллелограмма ОАВС. Доказать, что точка пересечения диагоналей ОАВС совпадает с точкой пересечения медиан треугольника. ОКВ. 1.43. Точка К лежит на продолжении стороны АВ треугольника АВС за точку В, точка В на продолжении стороны ВС за точку С, точка ЛХ на продолжении стороны СА за точку А, причем )АВ(: )ВК! = (ВС); (СХ ( = (СА): )АЛХ!. Доказать, что точки пересечения медиан треугольников АВС и КВЛХ совпадают. 1.44. На сторонах АВ и АС треугольника АВС взяты соответственно точки ЛХ и ХХ так, что ~АЛХ~: ~ВЛХ~ = т~ . пы ~АХ~: ~СЖ( = тз .

нз. Точку пересечения отрезков Вйе и СЛХ обозначим через О. Найти отношения)ВО): )ОЛс( и )СО(: (ОЛХ). 1.45. Применяя результат задачи 1.44 при т~ = п~ = то. = = нз = 1, доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. Гл. 1. Векгпоры и коордипагпы 1.46 (р). Вершина Р параллелограмма АВСР соединена с точкой К, лежащей на стороне ВС, такой, что ~ВК~; ~КС~ = = 2: 3. Вершина В соединена с точкой Л, лежащей на стороне СР, такой, что ~СГ ~: ~ХР~ = 5: 3.

В каком отношении точка М пересечения прямых РК и ВХ делит отрезки РК и ВЛ? 1.47. На боковых сторонах АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС расположены соответственно точки ЛХ и Х так, что ~АЛХ~: ~ВЛХ~ = т: 1, (СХ(; )ВХ~ = п: 1. Прямая ЛХХ пересекает высоту ВР треугольника в точке О. Найти отношение )РО(: (ВО!. 1.48. 1) Доказать, что средняя линия трапеции параллельна основаниям, а длина средней линии равна полусуммс длин оснований (теорема о средней линии трапеции).

2) Точки Е и Е являются серединами сторон АВ и СР четырехутольника АВСР (на плоскости или в пространстве). Доказать, что если ~ЕР~ = ((ВС(+(АР))/2, то АВСР трапеция (теорема, обратная теореме о средней линии трапеции). 1.49. На сторонах АВ, ВС и СА треугольника АВС взяты соответственно точки М, Х, Р так, что (АМ~ = ~АВ~(п, ~ВЛХ~ = = (ВС)/и, ~СР~ = (СА(/и. Площадь треугольника АВС равна Я.

Найти площадь треугольника, полученного при пересечении прямых АХ, ВР и СЛХ. Вывести отсюда, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. 1.50. Доказать, что четыре отрезка, соединяющие вершины тетраэдра с точками пересечения медиан противоположных граней, пересекаются в одной точке и делятся в этой точке в отношении 3: 1, считая от всрп|ины. 1.51.

Доказать, что три отрезка, соединяющие середины скрещивающихся ребер тетраэдра, пересекаются в одной точке и делятся в этой точке пополам. 1.52. На диагоналях АВ1 и СА1 боковых граней треугольной призмы АВСА1В~С1 расположены соответственно точки Е и Р так, что прямые ЕР и ВС1 параллельны. Найти отношение )ЕР): )ВС1(. 1.53. На диагонали ВС1 боковой грани треугольной призмы АВСА1В1С~ взята точка ЛХ, а на диагонали СА1 другой боковой грани — точка Х.

Прямая ЛХМ параллельна плоскости АВВ1Аь Найти отноп|ение (СХ(; (СА1(, если )ВМ(: )ВС1( = =1:3. ~ 2. Скалярное произведение вектаорое 15 й 2. Скалярное произведение векторов 2.1. Найти скалярное произведение векторов а и Ь, если: 1) ~а~ = 3, ~Ь~ =1, ~(а,Ь) =45', 2) )а! = 6, )Ь! = 7, Л(а, Ь) = 120', 3) !а! = 4, !Ь! =2, ~(а,Ь) = 90"; 4) !а! = 5, !Ь! = 1, а и Ь сонаправлены; 5) !а! = 2, !Ь! = 3, а и Ь противоположно направлены. 2.2.

Вычислить выражение !а!~ — ъ'3(а, Ь) + 5!Ь|~, если: 1) !а/ = 2, /Ь| = 1, ~(а,Ь) = 30', 2) /а! = 3, /Ь/ = 2, Л(а,Ь) = 150'. 2.3. Найти скалярное произведение векторов а и Ь, задан- ных своими координатами: 1) а(4,— 1), Ь( — 1,— 7); 2) а(2,1), Ь11,— 3); 3) а(1,2), Ь( — 4,2). 2.4. Найти угол между векторами а и Ь, заданными свои- ми координатами: 1) а(1,2), Ь12,4); 2) а(1,2), Ь14,2); 3) а(1,2), Ь( — 2,1); 4) а(1,— 1), Ь( — 4,2); 5) а(2,— 1), Ь( — 4,2).

2.5. Найти расстояние между точками А и В, заданными своими координатами: Ц А( — 1,2), В(5,10); 2) А~з,— 2), в(з,з); 3) А(1,2), В(1,2). 2.6. Найти скалярное произведение векторов а и Ь, задан- ных своими координатами: 1) а(3,2,— 5), Ь(10,1,2); 2) а(1,0,3), Ь( — 4,15,1); 3) а(2,1,5), Ь17,.— 9,— 1). 2.7. 11айти угол между векторами а и Ь, заданными свои- ми координатами: 1) а(1, — 1, 1), Ь(5, 1, 1); 2) а(1, — 1,1), Ь( — 2,2, — 2); 3) а(1, — 1, 1), Ь(3, — 3, 3); 4) а(1,— 1,1), Ь(3,1,— 2); 5) а(1,— 1,1), Ь(4,4,— 4).

Гли 1. Вектпоры и координаты 2.8. Найти расстояние между точками А и В, заданными своими координатами: 1) А(4,— 2,3), В(4,5,2); 2) А( — 3,1,— 1), .В( — 1,1,— 1); 3) А(3, — 3, — 7)., В(1, — 4, — 5). 2.9. Даны три вектора: а( — 1,2), Ь(5,1), с(4, — 2). Вычислить: 1) Ь(а,с) — с(а,Ь); 2) ~а~~ — (Ь,с); 3) ~Ь!з+(Ь,а+Зс). 2.10.

Даны три вектора: а(1,— 1,1), Ь(5,1,1), с(0,3,— 2). Вычислить: 1) Ь(а,с) — с(а,Ь); 2) )а(~ + (с(з — (а, Ь) (Ь, с); 3) (а,с) (а,Ь) — !а/з(Ь,с). 2.11. Доказать, что векторы а и Ь(а,с) — с(а,Ь) взаимно перпендикулярны. 2.12. Верно ли, что для любых векторов а, Ь, с, й выполняется соотношение (а,Ь) . (с,с1) = (а,с) (Ь,д)? 2.13. Даны три вектора а, Ь, с такие, что ~а~ = ~Ь~ = ~с~ = 1,. а+ Ь+ с = о. Вычислить (а, Ь) + (Ь, с) + (с, а). 2.14.

В треугольнике АВС даны длины сторон. Найти скалярное произведение (АС,ВС), если: 1) )АВ( = 5, ВС! =3, )АС(=4; 2) )АВ(=7, ВС)=4, (АС(=5; 3) )АВ! = 3, ВС! = 2, )АС! = 3. 2.15. Дан треугольник АВС. Выразить через Ь = АВ и с = =АС: 1) длину стороны ВС; 2) длину медианы АМ; 3) площадь треугольника. 2.16. В треугольнике АВС проведена высота АХХ. Найти координаты вектора АН в базисе, образованном векторами АВ и АС. 2.17. Доказать, что для произвольного прямоугольника АВСР и для произвольной точки М (лежащей или не лежащей в плоскости прямоугольника) имеют место равенства: 1) (ЛХА,ЛХС) = (МВ,ЛХР); 2) )МА!'+ )МС!' = ~МВ('+ МР~'.

Э" 2. Сна лрное произведение вентаоров 2.18. В трапеции АВСР отноп|ение длин оснований ~АР~; ; ~ВС~ равно 3. Выразить через Ь = АВ и с = АС; 1) длины сторон и углы трапеции; 2) длину отрезка ЯМ, где Я точка пересечения боковых сторон трапеции, ЛХ - точка пересечения диагоналей. 2.19 (р). Длины базисных векторов е1 и е2 общей декартовой системы координат на плоскости равны соответственно ъ'2 и 1, а угол между ними равен 45'. Вычислить длины диагоналей и углы параллелограмма, построенного на векторах, имеющих в этом базисе координаты (2, 2) и ( — 1, 4). 2.20.

Длины базисных векторов е1 и ео общей декартовой системы координат на плоскости равны соответственно 4 и 2, а угол между базисными векторами равен 120'. Относительно этой системы координат заданы вершины треугольника А( — 2,2), В( — 2, — 1), С( — 1,0). Найти длины сторон и углы треугольника. 2.21. Длины базисных векторов еы ео, ез равны соответственно 3, и/2, 4, .а углы между ними равны ~(еыеэ) = = ~(ев, еэ) = 45', ~(ем ез) = 60'. Вычислить длины сторон и углы параллелограмма, построенного на векторах, имеклцих в этом базисе координаты (1, — 3, О) и ( — 1, 2, 1).

2.22. Длины базисных векторов еы еэ, еэ равны соответственно 1, 1, 2; углы между ними равны Л(емеэ) = 90', ~(еы ез) = ~(еэ, еэ) = 60'. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах а( — 1,0,2) и Ъ(2, — 1,1). 2.23. Из одной точки отложены три вектора а(0, — 3, 4), Ь(4, 1, — 8) и с.