Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004), страница 2

1. Векглоры и координаты где с = +1, если базис правый, и 3 = — 1, если базис левый. Опреде- литель следует понимать символически: Е1 Е2 ЕЗ Оз ОЗ ОЗ О1 О1 Ог г з ~~1 ~22 1"3 =е1 д Р +е2 Ц Ц +ез Р з 1 2 Смешанное произведение векторов а, Ь, с в любо31 базисе выражается формулой: о1 с32 с33 (а,Ь,с) = Д 42 Дз (ез,ез,ез).

'У1 1'2 "~3 Если базис е1, ез, ез ортонормирован, то (е1, ез, ез) = 3 (число 3 определено вылив). Тройка векторов а, Ь, с является правой, если знак определителя О1 1-12 123 д1 /~2 дз 71 'У2 73 совпадает со знаком числа х, и левой в противном случае. Это утверждение справедливо при любом базисе.

Косинус угла 1р межлу векторами а, Ь, заданными своими координатами, можно вычислить по формуле (а, Ь) [а[ [Ь[ Площадь параллелограмма, .построенного на векторах а, Ь, равна Я = [[а,Ь)[. Объем параллелепипеда, построенного на векторах а, Ь, с, равен Ъ' = [(а, Ь,с)[. Любой вектор Ь на плоскости или в пространстве можно представить в виде суммы двух векторов х — у так, чтобы вектор х был коллинеарен данному ненулевому вектору а, а вектор у ортогонален вектору а. Вектор х называется ортогональной проекпией вектора Ь на прямую, направление которой определяется вектором а; вектор у называется ортогональной составляющей вектора Ь относительно втой прямой.

Пусть в пространстве даны два базиса е1, ез, ез и е', е~з, е', и векторы второго базиса выражаются через векторы первого базиса по формулам е, = аые1+ а21ез+аззез, ! е', = а12е1 + а22е2+ а32ез (1) Ф ез — — аззе1 + аззез+ аззез. Тогда координаты о1, оз, оз вектора в первом базисе выражаются через его координаты о'„оз, оз во втором базисе следующим образом: у 1. Ливейные соотнопгевия г г г ог = аы11, + аюог+ агзоз, Ог а21О1 т а22П2 + а23113 (2) г г оз а31о1 + а32о2 + аззо3 (коэффициенты в строках форзиул (1) превращаются в коэффициен- ты в столбцах формул (2).

ПУсть в нРостРанстве Даны Две системы кооРДинат О, е1, ег, ез и О~, е1, е~, ез, причем начало второй системы координат имеет в пеРвой системе кооРДинаты аю, аго, азо, а вектоРы втоРого базиса выражаются через векторы первого базиса по формулам (1). Тогда координаты х, у, 3 точки в первой системе координат выражаются через ее координаты х', у', 3' во второй системе формулами: г г г х = а11х + аггу + а132 + аго, У = аюх'+ аггу'+ агзг'+ аго, 3 = азгх + азгу + азз2 + азо В задачах з 1 система координат считается общей декартовой без каких-либо дополнительных условий. В задачах З 2, если не оговоре- но противное, координаты векторов задаются в ортонормированном базисе, а координаты точек в прямоугольной системе координат. В задачах 3 3, если не оговорено противное, координаты векторов задаются в ортонормированном правом базисе, координаты точек в прямоугольной системе координат, базис которой имеет правую ориентацию.

й' 1. Линейные соотношения 1.1. Доказать утверждения: 1) конечная система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима; 2) конечная система векторов, содержащая два равных вектора, линейно зависима. 1.2. Может ли быть линейно зависимой система, состоящая из одного вектора? 1.3. Доказать, что для любых трех векторов а, Ь, с и любых трех чисел о, г3, у векторы сза — 13Ь, ?Ь вЂ” 1гс,,бс — уа линейно зависимы. 1.4. Даны три вектора н(1,2), Ь( — 5,— 1), с( — 1,3).

Найти координаты векторов 2а+ ЗЬ вЂ” с, 16а+ 5Ь вЂ” йс. 1.5. Даны три вектора а(1, 3), Ь(2, — 1), с( — 4, 1). Найти числа сз и ф такие, что сза+ рЬ+ с = о. 1.6. Проверить, что векторы а( — 5, — 1) и Ь( — 1,3) образуют базис на плоскости. Найти координаты векторов с( — 1,2) и д(2, — 6) в этом базисе. 10 Глы 1. Векттторы и иоордиттатлы 1.7. Вектор а имеет в некотором базисе координаты (х, 1 — х), вектор Ь координаты (х~ — 2х, х~ — 2х+ Ц. При каких значениях х векторы 1) коллинеарны; 2)одинаково направлены? 1.8. Даны четыре вектора а(3,0, — 2), Ь(1,2, — 5), с( — 1,1,1), е1(8,4,1). Найти координаты векторов — 5а+Ь вЂ” Ос+ с1, За— — Ь вЂ” с — е1. 1.9.

Даны четыре вектора а(4,1, — 1), Ь(3, — 1,0), с( — 1,1,1), с1( — 1,3, 4). Найти числа ет, р, ? такие, что ета+ тбЬ+ ус+ с1 = о. 1. 10. Проверить, что векторы а(4, 1, — 1), Ь(1, 2, — 5) и с( — 1, 1, 1) образуют базис в пространстве. Найти координаты векторов 1(4, 4, — 5), пт(2, 4, — 10), п(0, 3, — 4) в этом базисе. 1.11. Проверить, будут ли компланарны векторы 1, гп и п; в случае положительного ответа указать линейную зависимость, их связывающую (здесь а, Ь, с .

три некомпланарных вектора): 1) 1=2а — Ь вЂ” с, пт=2Ь вЂ” с — а, п=2с — а — Ъ; 2) 1=а+Ь+с, п1=Ь+с, п= — а+с; 3) 1=с, пт=а — Ь вЂ” с, п=а — Ъ+с. 1.12. Из одной точки пространства отложены три вектора а, Ь, с. Доказать, что конец вектора с тогда и только тогда лежит на отрезке, соединяющем концы векторов а и Ь, когда выполнено равенство с = ета+ рЬ, где ет ) О, р > О, о + ф = 1.

В каком отношении конец вектора с делит этот отрезок? 1.13. В параллелограмъее АВСР точка К .- середина отрезка ВС и точка О - точка пересечения диагоналей. Принимая за базисные векторы АВ и АР, найти в этом базисе координаты векторов ВР, СО, КР. 1.14. В треугольнике АВС точка ЛХ . середина отрезка АВ и точка О точка пеепесечсния медиан. Принимая за базисные вектоуы АВ и АС, найти в этом базисе координаты векторов АЛХ, АО, ЛХО. 1.15. В трапеции АВСР длины оснований АР и ВС относятся как 3: 2.

Принимая за базисные векторы АС и ВР, найти в этом базисе координаты векторов АВ, ВС, СР, РА. 1.16. В трапеции АВС.Р длины оснований АР и ВС относятся как 3: 1. О точка пересечения диагоналей трапеции, Я вЂ” точка пересечения продолжений боковых сторон. Принимая за базисные векторы АР и АВ,найти координаты векторов АС, АО, АЯ. Х й Линейные соотношении 1.17. Точки Б и Г являются серединами сторон АВ и СР четырехугольника АВСР. Доказать, что ВГ = (ВС+ АР)(2.

1.18. Дан правильный гнестиугольник АВСРЯГ. Принимая за базисные векторы АВ и АГ найти в этом базисе координаты векторов ВС, СР, РВ, ВГ, ВР, СГ, СВ. 1.19. В трапеции задачи 1.16 точка И - - середина стороны СР. Найти координаты вектора АР в базисе ОЯ, ОЛХ. 1.20. В треугольнике АВС точки К и Х середины сторон ВС и АС соответственно. Точки ЛХ и Х лежат соответственно на отрезках АК и ВЕ так, что ~АИ~: ~ЛХК~ = 6; 1 и ~ВЛХ~: ~ЛХЦ = 8: 3. Точка Р середина отрезка ЛХЮ. Найти координаты вектора АВ в базисе ЛХХ, СР. 1.21.

В треугольнике АВС точка ЛХ середина стороны АС, точки К и Х на сторонах АВ и ВС расположены так, что ~АК~: ~КВ~ = 3: 5, а ~ВХ ~: ~ЬС~ = 2: 3. Найти координаты вектора ВМ в базисе АХ, СК. 1.22. В треугольнике АВС точки К, Х, ЛХ расположены соответственно на сторонах АВ, ВС и АС так, что ~АК~: : ~КВ~ = (ВХ(: )ХС! = )СЛХ): (ЛХА! = 3: 1. Медианы треугольника АВС пересекаются в точке Р. Найти координаты вектора АР в базисе Х К, Х М. 1.23. В тетраэдре ОАВС точки К, Х, ЛХ, Х, Р, Я -- середины ребер ОА, ОВ, ОС, АВ, АС, ВС соответственно, В точка пересечения медиан треугольника АВС. Принимая за базисные векторы ОА, ОВ и ОС, найти в этом базисе координаты: 1) векторов АВ, ВС, АС; 2) векторов КХ, Р(~, СХ, МР, Кф 3) векторов Оо' и Ко'. 1.24.

Даны три точки О, А, В, не лежащие на одной прямой. Принимая за базисные векторы ОА и ОВ, найти: 1) координаты вектора ОМ, если точка ЛХ лежит на отрезке АВ и (АМ(: )ВИ! = т: н~; 2) координаты вектора ОХ, если точка Х лежит на прямой АВ вне отрезка АВ и ~АХ~: ~ВЛХ~ = т; п. 1.25. В треугольнике АВС проведена биссектриса А.Р. Найти координаты вектора АР в базисе, образованном векторами АВ и АС. Гл.

1. Вектпоры и коордипагпы 1.26. Дан правильный шестиугольник АВСРЕЕ. Принимая за начало координат вершину А, а за базисные векторы АС и АЕ, найти координаты вершин шестиугольника и его центра. 1.27. В трапеции АВСР отнопление длин оснований АР и ВС равно 4. Принимая за начало координат вершину А, а за базисные векторы АР и АВ, найти координаты вершин трапеции, точки ЛХ пересечения ее диагоналей и точки Я пересечения боковых сторон.

1.28. Дан параллелепипед АВСРА1В1 С1Р1 . Принимая за на лало координат вершину А, а за базисные векторы АВ, АР и ААм найти координаты: 1) вершин С, Вл и Сл., 2) точек К и Ь вЂ” середин ребер А1В1 и ССл соответственно; 3) точек ЛХ и М пересечения диагоналей граней АлВ1СлР1 и АВВ1 А1 соответственно; 4) точки О пересечения диагоналей параллелепипеда. 1.29. Три точки А(хму1), В(хгиуз), С(хз,уз), не лежащие на одной прямой, являются последовательными вершинами параллелограмма. Найти координаты четвертой вершины Р этого параллелограмл|а. 1.30. Даны две различные точки А(хм умх1 ), В(хз,уо, гз).

Найти координаты: 1) точки ЛХ, лежащей на отрезке АВ и такой, что ~АЛХ~: : (ВЛХ) =т:и; 2) точки Х, лежащей на прямой АВ вне отрезка АВ и такой, что ~АХ~: ~ВХ( = т: и. 1.31. Даны две точки А(3, — 2) и В(1,4). Точка ЛХ лежит на прямой АВ, причем ~АЛХ( = З~АВ~. Найти координаты точки ЛХ, если: 1) ЛХ лежит по ту же сторону от точки А, что и точка В; 2) ЛХ и В лежат по разные стороны от точки А.