Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004), страница 10

я. Прям я и лосиосгоь 50 4) х+ 2у — х — 1 = 0 и Зх — 5д — 7х = 0; 5) х+Зу — я+1=0 и х=1 — и, у=2 — Зи — и, + и+и; 6) х — Зу+2х+1 = 0 и 6' — Од+ Зх+5 = О. х+1 у г — 10 — 3 4 6 я=81 и х=1+1, у = — 21, 6.64. Найти угол между плоскостью 4х+ 4у — 7г+ 1 = 0 и прямой: 1) х+у+с+1=0, 2х+д+Зс+2= 0; х — 1 д+2 г 2) 3 2 — 6' х — 2 д — 1 с+3 3) 4 4 — 7 ' х — 1 д+1 3+3 4) 11 — 4 4 6.65. Составить уравнения прямой, проходящей через точку А (1, 3, 2) параллельно плоскости Оху и образующей: 1) угол 45' с прямой х = у, - = 0:, 2) угол агсв1п(1/ъ~ГО) с плоскостью х — у = 1. 6.66. Составить уравнение плоскости, проходящей через х у точку А( — 1 2 1) параллельно прямой — = — —, = — г и образую2 3 щей угол 60' с прямой х = у, с = О.

6.67. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую х+ 5д+ г = О, х — х+ 4 = 0 и образующей угол 45' с плоскостьк) х — 4д — 8я + 1 = О. 6.68. Доказать, что две данные прямые пересекаются, и составить уравнения биссектрис острого и тупого углов между ними; 1) х=4 — 41, у=1+41, х= — 5+71их= — 3+1, у= — 1+ +2~, х= — 4+21; 2) х=4+1, д=1 — 1, с=5+41 их= — 3 — 31, у=8+31, я=1; 3) х=1+21, у=2+31, с=11 — 61 их=1+1, у=3+1, г = 7 — 1. 6.63. Найти угол между 1) 2х+у — я+1=0, х+ х+у+х †1; х — 1 у — 2 я+3 2) = = и 2 3 — 1 3) х = 5 — 21, у = 6+ 41, = 3 — 41.

прямыми: Зу+я+2 = 0 и х+Зу — с+2=0, ,~ б. Плоскость и прямая в пространства 6.69. Боковые стороны равнобедренного треугольника имеют общую вершину А(3, 4, 5), две другие вершины лежат на осях Ох и Оу, а плоскость треугольника параллельна оси Ох. Найти углы треугольника и составить уравнение его плоскости. 6.70. Даны точка А(2, — 1, 0) и прямая 1. Вычислить расстояние от точки А до прямой 1; найти координаты проекции точки А на 1 и координаты точки В, симметричной с А относительно 1; составить уравнения прямой, проходящей через точку А и пересекающей данную прямую под прямым углом («опустить перпендикуляр» из точки А на 1). Прямая 1 задана уравнениями: х — 7 у — 1 х-.З 1) 3 4 2 2) х =1+21, у=2 — 21, х= — 3+1; 3) 2х+у — а+1=0, х+у+х+2=0. 6.71.

Точка А лежит на прямой х — у — 3 = О, 2у+ х = О. Расстояние от точки А до прямой х = у = - равно тГ6. Найти координаты точки А. 6.72. Найти расстояние между прямыми: х — 4 у+1 х-1 х — 5 у 1) = = и 3 6 — 2 — 6 — 12 4' 2) х = 3+ 21, у = 10 — 31, г = 3 + 41 и х = 1+ 31, у = 1 — 21, г = 1+31; 3) х+у+х — 1=0, х+Зу — я+2=0 и х+Зу+г+2=0, х+2у — в+ 1 = О. 6.73. Даны прямые 1~ и 1о.

Составить уравнения их общего перпендикуляра (т.е. прямой, пересекающей 1~ и 12 под прямым углом); найти точки пересечения общего перпендикуляра с данными прямыми; вычислить расстояние между 1~ и 12. Прямые заданы уравнениями: 1) х=5+1, у=З вЂ” Ф, в=13+8 и х=6+1,. у=1+21., = 10 — 1; 2) 2х+7у — 13=0, Зу — 2с — 1=0 и х+у — 8=0., 2х+ +у — в=О; х — 6 у — 1 х — 10 х+4 у — 3 х-4 3) = = и 1 2 — 7 2 3 6.74.

Точки А( — 1, — 3, 1), В(5, 3, 8), С( — 1, — 3, 5), Р(2, 1, — 4) являются вершинами тстраэдра. Найти: 1) длину высоты тетраэдра, опущенной из вершины Р на грань АВС; 52 Гл. В. Прямая и плоскость 2) длину высоты основания АВС, опущенной из вершины С на сторону АВ; 3) расстояние между скре>пиваюшупмися ребрами АР и ВС; 4) угол между скрещивающимися ребрами АР и ВС; 5) угол между ребром АР и гранью АВС. 6.75.

Длина ребра куба АВСРА>В>С> Р> равна 1. Найти: 1) расстояние от вершины А до плоскости В> СР>; 2) расстояние между диагональю куба АС> и скрещивающейся с неи диагональю боковой грани СР>, 3) отношения, в которых точки пересечения общего перпендикуляра к прямым АС> и СР> с этими прямыми делят отрезки АС> и СР>. 6.76. Три грани АВСР, АВВ>А> и АРР>А> параллелепипеда АВСРА>В>С>Р> лежат соответственно в плоскостях 2х+ Зу+ 4л+ 8 = О, х+ Зу — 6 = О, г+ 5 = 0; вершина С> имеет координаты 6, — 5, 1. Найти: 1) расстояние от вершины А> до плоскости В>ВР; 2) расстояние от вершины Р до прямой АВ; 3) расстояние между прямыми АС и А>С>, 4) расстояние между прямыми АА> и ВС; 5) угол между прямыми АС и С>Р>, 6) угол между плоскостями ВРР> и АСС>, 7) угол между прямой СА> и плоскостьн> РСС>.

6.77. Найти необходимые и достаточные условия для того, чтобы тот из четырех двугранных углов, образованных двумя пересекающимися не перпендикулярными плоскостями А>х+ В>у+ С>л+ Р> = 0 и А2х+ В2у+ Стл+ Ла = О, который содержит точку Ие(хе,уе,се), был: 1) острым; 2) тупым. 6.78 (р).

Даны две плоскости х+ 2у+2л = 0 и 7х+4у+ > 4с = О. Третья плоскость >и проходит через начало координат О так,что конец ее нормального вектора, отложенного из точки О,лежит в тупом двугранном угле, образованном данными плоскостями. Косинусы острых двугранных углов между ги и данными плоскостями равны 2>>15 и 4>45 соответственно. Составить уравнение плоскости т. 6.79. Рассматривается тот двугранный угол между плоскостями х — 2у + л + 3 = 0 и х + у + 2 л = 1, внутри которого лежит точка А( — 1,0,0). Доказать, что множеством точек, лежащих внутри этого угла и удаленных от данных плоско- ,~ б.

Плоскость и 'прямая в простраиства 53 стой соответственно на расстояния ъ'6 и 2у'6, является прямая. Составить уравнения этой прямой. 6.80. Составить уравнение биссскторной плоскости того двугранного угла между плоскостями х — с — 5 = 0 и Зх+ 5у+ +4с = О, внутри которого лежит точка А(1,1,1). 6.81. Составить уравнение биссекторной плоскости острого двугранного угла между плоскостями х — г — 5 = 0 и Зх+ + 5у + 4х = О. 6.82. Грани тетраэдра заданы уравнениями х+ 2у — 2с+ +3 = О, 4х — 4у+ 7с — 9 = О, 8х+4у+с — 3 = О, у — х = О. Составить уравнения: 1) биссекторной плоскости внутреннего двугранного угла между первыми двумя гранями; 2) прямой, лежащей во внутреннем трехгранном угле между первыми тремя гранями, все точки которой равноудалены от этих трех граней.

6.83. Вершинами тетраэдра являются точки А(1, 2, 3), В ( — 2, 8, 9), С(5, О, 7), Р(3, 4, 2). Найти радиусы и координаты центров вписанной и описанной сфер. 6.84. Найти радиус и координаты центра сферы, проходящей через точку А(0,1,0) и касающейся плоскостей х+ у = О, х — у=О, х+у+4с=О.

6.85. Найти координаты центра О и радиус г сферы, касающейся плоскостей 5х — у+ с — 17 = 0 и х+ у — с+ Г1 = 0 и проходящей через точки А( — 7, — 1, — 1) и В(1,1,1). 6.86. Найти координаты центра О и радиус г сферы, касающейся плоскости х+ 5у+ с — 33 = 0 и проходящей через точки А(2,3,— 2), В( — 2,3,4) и С(0,— 1,2). 6.87. Вершинами трсугольника являются точки А(1,2,3), В(1,5, — 1), С(5,3, — 5).

Найти радиусы и координаты центров вписанной и описанной окружностей. 6.88. Доказать, что три плоскости х — 2у+ 2с+ 3 = О, 2х+ 2у+ х — 6 = О, 5х+14у — 2с — 21 = 0 не имеют общих точек, но три прямые, образованные при пересечении каждой пары этих плоскостей, параллельны, т.е. плоскости образуют призму. Найти радиус и уравнения оси прямой круговой цилиндрической поверхности: 1) вписанной в эту призму; 2) описанной около нее. 6.89. В правильной четырехугольной пирамиде ЯМКРЯ (Я . вершина) точки Н и Р " середины ребер МХ и г7Р со- 54 Гл.

я. Прямая и плоскость ответственно. Точка Е лежит на отрезке БН, причем ~ ЯН~ = 3, ~ЯЕ~ = 9,14. Расстояние от точки В до прямой ЕР равно ~'5. Найти объем пирамиды. 6.90. В основании прямой призмы АВСРАзВзС.Рз лежит ромб АВСР с углом ~А = 60'. Длина стороны основания призмы равна а, длина бокового ребра равна ъ'За. Точка Е является ортогональной проекцией вершины С~ на плоскость АВзРм а точка Р - ортогональной проекцией точки Е на плоскость ААзР~Р. Найти объем пирамиды АРЕР. 6.91. В правильной призме АВСА~ВзСз длина бокового ребра равна 3.

Точка М вЂ” середина ребра АС, точка Х лежит на ребре Вз Сы а точка Р принадлежит грани ААз Вз В и удалена от плоскости АВС на расстояние 1. Известно, что угол в 30' образуют каждая из прямых РМ и РМ с плоскостью ААзВзВ и прямая РХ с плоскостью ВВзСзС. Найти объем призмы. 6.92. В правильной призме АВСАзВзСз длина стороны основания равна 2а, длина бокового ребра равна а.

Через вершину А проведена плоскость перпендикулярно прямой АВы через вершину В плоскость перпендикулярно прямой ВСз и через вершину С . плоскость перпендикулярно прямой САь Найти объем многогранника, ограниченного этими тремя плоскостями и плоскостью АзВзСь Замена системы координат (6.93 — 6.97) 6.93. Даны две системы координат О., ез, ез, ез и О', е~, е~з, ез. Начало второй системы координат имеет в первой системе координаты ащ, азе, азо, а базисные векторы второй системы имеют в базисе первой системы координаты (азз,аш,азз), (авь азз, азз), (азз, азз, азз) соответственно.

В первой системе координат плоскость задана уравнением Ах+ Ву+Сх+Р = О. Составить уравнение этой плоскости во второй системе. 6.94. В пространстве даны четыре точки А(1, 2, 1), В( — 1,3,0), С(2,5,3), Р( — 2,3,4) и плоскость 2х+ у — 3з+ 2 = О. Составить уравнение этой плоскости в новой системе координат А, АВ, АС, АР. 6.95. Плоскости х — 2у+ Зх — 6 = О, 2х+ у — х = О, 4х + х— — 5 = 0 являются соответственно плоскостями О'у'х', О'х'х', О'х'у' новой системы координат, а точка А(2, О, 1) имеет в новой системе координаты 1, 1, 1.