Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. Под ред. Н.В.Ефимова (13-е изд., 1980), страница 9

291, Определить, при каких значениях а и Ь две прямые ах — 2у — 1 =О, бх — 4у — Ь =-0 1) имеют одну общую точку;2) параллельны~ 3) совпадают 292. Определить; при каких значениях т и п две прямые тх+ 8у+ и =О, . 2х+ ту — 1 0 1) параллельны, 2) совпадают; 3) перпендикулярны, 293. Определить, при каком значении т два прямые (т — 1) х+ ту — 5 О, тх+(2т — 1) у+Уа О пересекаются в точке, лежащей на оси абсцисс, 294. Определить, при каком значении т две прямые тх+ (2т+ 3)у+ т+6=0, (2т + 1) х+ (т — 1) у+ т — 2 = 0 пересекаются в точке, лежащей на оси ординат. 295. Установить, йересекаются ли в одной точкетрн прямые в следующих случаях: 1) 2х+Зу — 1= О, 4х — бу+5= О, Зх — у+2=0; 2) Зх- у+3=0, бх+Зу — 7=0, х — 2у — 4=01 3) 2х — у+1=0, х+2у — 17=0, х+2у — 3=0.

296. Доказать, что если три прямые А1х + В1д+', ,+ С| — — О, Азх+Взу+ Сз —— О, Азх+ Взу+ Сз — — Опере- секаются в одной точке, то А, В~ С| Аз Вз Сз =О. 29?. Доказать, что если А, В, С, Аз Вз Сз Аз Вз Сз го трн прямыв А1х+В,у+,С~ ~ О, Азх+Взу+С,=О, Азх+ Взу.+ Сз = О пересекаются в одной точке или параллельны. '~ 298. Определить, при каком значении а три прямые 2х — д+Зз О, Х+у+3 О, ах+у —,13=*0 будут пересекаться в одной точке. 299. Даны прямые: 1) 2х+Зу — 6=0; 2) 4х — Зу+~ юг+24=0; 3) 2х+Зу — 9=0; 4) Зх — Бу — 2ьО, Б) 5х+2у — 1 О. Составить для них уравнения «вотрезках» и построить эти прямые на чертеже.

300. Вычислить площадь треугольника, отсекаемого прямой Зх — 4у — 12 = 0 от координатного угла. 301. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку М1(3; — 7) и отсекает на координатных осях отличные от нуля отрезки одинаковой величины (считая каждый отрезок направленным от начала координат). 302, Составить уравнение прямой, которая проходит через точку Р(2; 3) и отсекает на координатных осях 46 отрезки равной длины, считая каждый отрезок от начала координат. 303. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку С(1; 1) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 2 кв. ед, ~~ 304. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку В (5; — 5) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 50 кв. ед.

305. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку Р (8; 6) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 12 кв. ед, 306. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку Р(12; 6) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 150 кв. ед, 307. Через точку М(4; 3) проведена прямая, отсекающая от координатного угла треугольник, площадь которого равна 3 кв, ед. Определить точки пересечения этой прямой с осями координат.

308. Через точку М1(х1, р1), где х1у1> О, проведена прямая х ф а б отсекающая от координатного угла треугольник, площадь которого равна 8. Определить, при каком соотношении между величинами хь у1 и Я отрезки а и Ь будут иметь одинаковые знаки. % 14. Нормальное уравнение прямой. Задача определения расстояния от точки до прямой Пусть на плоскости хОд дана прямая. Проведем через начало Координзт перпендикуляр к денной прямой и назовем его нормалью, Обозначим через Р точку пересечения нормали е данной прямой и установим положительное направление нормали от точки 0 и точке Р. Бели а есть полярный угол нормали, р — длина отрезка ОР (рис, 10), то уравнение данной прямой может быть записано в виде х сова+у з1па — р=О~ уравнение этого вида называется нормальным.

Пусть дана какая-нибудь прямая и произвольная точка ЛР; обозначим через д расстояние точки М* от данной прямой, Отклонением о точки М' от прямой называется число +д, если данная точка и начало координат лежат по разные стороны от данной йрямой, и -д, если данная точка и начало координат расположены 47 по одну сторону от данной прямой. 1для точек, лежаших на самой прямой, б =* О.! Если даны координаты х*, у* точки М* и нор- мальное уравнение прямой х соз а + у з!и а — р = О, то отклонение б точки М* от этой прямой может быть вычислено по формуле б= х'соза+у*з!па — р. ~=!б!.

Если дано общее уравнение прямой Ах+ Ву+ С = О, то, чтобы привести Рис. 10, его к нормальному виду, нужно все члены этого уравнения умножитв на нормирующий множитель !х, определяемый формулой Знак порыируюшего множителя выбирается противоположным знаку свободного члена нормируемого уравнения. 300. Определить, какие из следующих уравнений прямых являются нормальными: 1) — х — -у — З=О 3 4 5 5 1 2) — х — — у — 1=0' 2 3 5 5 3) — х — — у+2 =О' 4) — — х+ — у — 2=0 5 12 5 12 13 И > 13 13 5) — х+ 2=0; 7)9+2=0; 6) х — 2=0; 8) — у — 2 =О.

310. Привести общее уравнение прямой к нормальному виду в каждом иа следующих случаев: 2) — х — — у+ 10=0! 4 3 5 5 1) 4х — Зу — 10=0; 3) 12х — 5у+13=0; 5) 2х — у — 1/'5 О, 4)х+2=0; Таким образом, чтобы найти отклонение какой-нибудь точки М* от данной ппямой, нужно в левую часть нормального уравнения этой прямой вместо текуших координат подставить координаты точки М'.

Полученное число будет равно искомому отклонению. Чтобы найти расстояние Н от точки до прямой, достаточно вычислить отклонение и взять его модуль: 311. Даны уравнения прямых: 1) х — 2 = 0; 2) х+ 2 = 0; 4) д + 3 = 0; 5) х ф~З + у — 6 = 0; 7) х+ д~/3+ 2=0; 8) хсозр — дз1пр — д=О, д)0; 9) х соз Д + д з(п Д + д = О, д > О; З)д †3; 6)х — д+2=0; р — острый угол; р — острый угол. Определить полярный угол нормали а и отрезок р для каждой из данных прямых; по полученным значениям параметров и и р построить эти прямые на чертеже (в последних двух случаях построение прямой выполнить, считая 6 = ЗО и и = 2).

312. Вычислить величину отклонения 6 и расстояние д точки от прямой в каждом из следующих случаев: 1) А(2; — 1), 4х+Зд+ 10 = О; 2) В(0; — 3), 5х — 12д — 23 = 0; 3) Р( — 2; 3), Зх — 4д — 2 = 0; 4) Я(1; — 2), х — 2д — 5= 0. 313. Установить, лежат ли точка М(1; — 3) и начало координат по одну или по разные стороны каждой из следующих прямых; 1) 2х — д+ 5 = 0; 2) х — Зд — 5 = = 0; 3) Зх+ 2д — 1 = 0; 4) х — Зд+2 = 0; 5) 10х+ '+24д+ 15 = О. 314. Точка А(2; — 5) является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой х — 2д — 7 = = О.

Вычислить площадь этого квадрата. 315. Даны уравнения двух сторон прямоугольника Зх — 2д — 5=0, 2х+Зд+? =0 и одна из его вершин А ( — 2; 1), Вычислить площадь этого прямоугольника. 316, Доказать, что прямая 2х+ д+ 3 = 0 пересекает отрезок, ограниченный точками А ( — 5; 1) и В(3; 7). 317.

Доказать, что прямая 2х — Зд+6 = 0 не пересекает отрезка, ограниченного точками М~( — 2; — 3) и Мг (1: — 2) . 318. Последовательные вершины четырехугольника суть точки А( — 3; 5), В( — 1; — 4), С(7; — 1) и 0(2, 9). Установить, является ли этот четырехугольник выпуклым. 319. Последовательные вершины четырехугольника суть точки А( — 1,' 6), В(1; — 3), С(4; 10) и 0(9, 0).

Установить, является ли этот четырехугольник выпуклым. 320. Даны вершины треугольника! А ( — 10; — 13), В( — 2; 3) и С(2; 1), Вычислить длину перпендикуляра, опущенного из вершины В на медиану, проведенную из вершины С. 321. Стороны АВ, ВС и СА треугольника АВС соответственно даны уравнениями х+21у — 22= О, 5х— — 12у+ 7 = О, 4х — ЗЗу+ 146 = О, Вычислить расстоя. иие от центра тяжести этого треугольника до стороны ВС. 322. Вычислить расстояние д между параллельными прямыми в каждом из следующих случаев: 1) Зх — 4у — 10=0, 2) 5х — 12у+26=0, бх — 8у+ 5=0; . 5х-12у — 13 = 0; 3) 4х — Зу+ 15=0, ч'4) 24х — 10у+39= О, 8х — бу+ 25= 0', 12х — 5у — 26 =О. 323.

Две стороны квадрата лежат на прямых 5х— — 12у — 65 = О, 5х — 12у+ 26 = О. Вычислить его площадь. 324. Доказать, что прямая 5х — 2у — 1 = 0 парал лельна прямым 5х — 2у+7 = О, 5х — 2у — 9= 0 и делит расстояние между ними пополам. 325. Даны три параллельные прямые: 10х+15у— — 3 = О, 2х+ Зу+ 5 = О, 2х+ Зу — 9 = О. Установить, что первая из них лежит между двумя другими, и вы числить отношение, в котором она делит расстояние между ними. 326. Доказать, что через точку Р(2; 7) можно провести две прямые так, чтобы их расстояния от точки (~(1, '2) были равны 5.

Составить уравнения этих прямых. 327. Доказать, что через точку Р(2; 5) можно провести две прямые так, чтобы их расстояния от точки Я(5; 1) были равны 3. Составить уравнения этих прямых. 328. Доказать, что через точку С(7; .2) можнопровести только одну прямую так, чтобы расстояние ее от точки А(4; — 6) было равно 5. Составить ее уравнение„ 329. Доказать, что через точку В(4; — 5) невозможно провести прямую так, чтобы расстояние ее от точки С( — 2; 3) было равно 12. 330. Вывести уравнение геометрического места точек, отклонение которых от прямой 8х — 15у — 25= 0 рав~ но — 2.

50 1) Зх — у+ 7=0, Зх †у †; 3) 5х — 2у — 6=0, 10х — 4у+ 3 =О. 2) х — 2у+ 3=0, х — 2у+ 7=0; 339. Составить уравнения биссектрис углов, образованных двумя пересекающимися прямыми: 1) х — Зу+ 5 =О, 2) х — 2у — 3 =О, Зх — у — 2=0; 2х+4у+7=0,' 3) Зх+ 4у — 1=0, 5х+ 12у — 2=0. 340. Составить уравнения прямых, которые проходят через точку Р(2; — 1) и вместе с прямыми 2х — у+.

,-~- 5 = О, Зх+ бу — 1 = 0 образуют равнобедренные треугольники. 331. Составить уравнение прямых, параллельных прямой Зх — 4у — 10 = 0 и отстоящих от нее на расстоянии д = 3. 332. Даны две смежные вершины квадрата А(2; О) и В( — 1; 4). Составить уравнения его сторон. 333. Точка А(5; — 1) является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой 4х — Зу— — 7 = О. Составить уравнения прямых, на которых лежат остальные стороны этого квадрата. 334. Даны уравнения двух сторон квадрата 4х— — Зу+ 3 = О, 4х — Зу — 17 = 0 и одна из его вершин А (2; — 3).

Составить уравнения двух других сторон этого квадрата. 335. Даны уравнения двух сторон квадрата 5х+,' (+ 12у — 10 =О, 5х+ 12у+29 = О. Составить уравнения двух других его сторон при условии, что точка М~( — 3; 5) лежит на стороне этого квадрата. 336. Отклонения точки М от прямых 5х — 12д — 13= ,= 0 и Зх — 4у — 19 = 0 равны соответственно — 3 и — 5. Определить координаты точки М. 337. Составить уравнение прямой, проходящей через точку Р( — 2; 3) на одинаковых расстояниях от точек А (5; — 1) и В (3; ?).