Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. Под ред. Н.В.Ефимова (13-е изд., 1980), страница 8

Найти проекцию точки Р( — 8; 12) на прямую, проходящую через точки А (2; — 3) и В ( — 5; 1). 248, Найти точку М1, симметричную точке М~(8; — 9) о1носительно прямой, проходящей через точки А(3; — 4) иВ( — 1; 2), 39 249. На оси абсцисс найти такую точку Р, чтобы сумма ее расстояний до точек М(1; 2) и Ф(З; 4) была наименьшей. 250. На оси ординат найти такую точку Р, чтобь, разность расстояний ее до точек М( — 3; 2) и Л'(2; 5) была наибольшей.

251. На прямой 2х — у — 5=0 найтитакуюточкуР, сумма расстояний которой до точек А( — 7; 1), В( — 5; 5) была бы наименьшей. ° 252. На прямой Зх — у — 1 = 0 найти такую точку Р, разность расстояний которой до точек А (4; 1) и В(О; 4) была бы наиболыпей. 253. Определить угол ~р между двумя прямыми: 1) Бх — у+7=0, Зх+2у=О; 2) Зх — 2у+7 О, 2х+ Зу — 3 =.О; 3) х — 2у — 4 = О, 2х — 4у+ 3 = 0; 4) Зх+2у — 1=0, бх — 2у+ 3=0. 254.

Дана прямая 2х+Зу+4=,0. Составить уравнение прямой, проходящей через точку Мо(2; 1) под углом 4Г к данной прямой. 255. Точка А( — 4; 5) является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на прямой 7х — у+8=0, Составить уравнения сторон и второй диагонали этого квадрата, 256. Даны две противоположные вершины квадрата А( — 1; 3) и С(6; 2). Составить уравнения его сторон. 257, Точка Е (1; — 1) является центром квадрата, одна нз сторон которого лежит на -прямой х — 2у+, + 12 = О. Составить уравнения прямых, на которых лежат остальные стороны этого квадрата. 258. Из точки Мю( — 2; 3) под углом и к оси Ох направлен луч света, Известно, что 1д я = 3. Дойдя до оси Ох, луч от нее отразился. Составить уравнения прямых, на которых лежат лучи падающий и отраженный.

259. Луч света направлен по прямой х — 2У+5= О. Дойдя до прямой Зх — 2у+ 7 = О, луч от нее отразился. Составить уравнение прямой, на которой лежит отраженный луч. 260. Даны уравнения сторон треугольника Зх+ 4у— — 1 = О, х — 7д — 17 = О, 7х+ д+ 31 = О. Доказать, что этот треугольник равнобедренный. Решить задачу при помощи сравнения углов треугольника. 4а 261. Доказать, что уравнение прямой, проходящей через точку М1(х1, у1) параллельно прямой Ах+ Ву+ + С =- О, может быть записано в виде А (х — х,) + +В® — д,)=0.

262. Составить уравнение прямой, проходящей через тачку М1(2; — 3) параллельно прямой: !) Зх — 7у+ 3 = = 0; 2) х+ 9у — 11 = 0; 3) 16х — 24у — 7 = 0; 4) 2х + +3=0; 5) Зу — 1=0. Решиуь задачу, не вычисляя угловых коэффициентов данных прямых. У к а з а н н е. Воспользоваться результатом предыдущей задачи.

263. Доказать, что условие перпендикулярности пря- мых А~х+ В1у+ С1 = О, Азх+ Вгу+ Сз= 0 может быть записано в следующем виде: А1Аз+ В1Вз = О. 264. Установить, какие из следующих пар прямых перпендикулярны: 1) Зх — у + 5 = О, 2) Зх — 4у+ 1 = О, х+Зу — 1=0; 4х — Зу+ 7=0; 3) 6х — 15у+7=0, 4) 9х — 12д+5=0, 10х + 4у — 3 = 0; 8х + 6у — 13 = 0; 5) 7х — 2у+ 1=0, 6) 5х — 7у+ 3=0, 4х+ 6д+ 17 = 0; Зх+ 2д — 5 = О. Решить задачу, не вычисляя угловых коэффициентов да нных пр я м ых. У к а з а н н е.

Воспользоваться условием перпендикулярностн прямых, выведенных в задаче 263. 265. Доказать, что формула для определения угла д между прямыми А1х+ В1у+ С1 — — О, Азх+ Вяу+ Ся= О может быть записана в следующем виде: А1Вз — АаВ, А1А'„+ В1Вз ' 266. Определить угол у, образованный двумя пря- мыми: 1) Зх — у+5=0, 2х+д †7; 2)х~/2 — у3/3 †5, (3 + ~/ 2) х + (~ 6 — ~ 3) у + 7 = О; 3) х р'3+у ф'2 — 2=0, х ~6 — Зу+ 3=0.

Решить задачу, не вычисляя угловых коэффициентов данных прямых. Ука лап не. Воспользоваться формулой для определения угла между двумя' прямыми, полученной в задаче 266. 267. Даны две вершины треугольника М1(-10; 2) и Мз(6; 4), 'его высоты пересекаются в точке Ф(5; 2).

Определить координаты третьей вершины Ма. 268. Даны две вершины А(31 — 1) и В(5; 7) треугольника АВС и точка У(41 -1), пересечения его высот. Составить уравнения сторон этого треугольника. 269. В треугольнике АВС даны; уравнение стороны 'АВ 5х — Зу+ 2 = О, уравнения высот АМ 4х — Зу+.' ;+1 =0 и ВУ 7х+2у — 22 —" О.

Составить уравнения двух других сторон и третьей высоты этого треугольника. 270. Составить уравнения сторон треугольника АВС, если даны одна из его вершин А (1; 3) и уравнения двух медиан х — 2у+1 =О и у — 1 О. 271. Составить уравнения сторон треугольника, если даны одна из его вершин В( — 4; — 5) и уравнения двух высот 5х+ Зу — 4 = 0 и Зх+8у+13 =О.

272. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин А(4; — 1) и уравнения двух биссектрис х — 1 =0 и х — у — 1 =О. 273. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину В(2; 6), а также уравнения высоты х — 7у'+'15 = 0 и биссектрисы 7х+ у+ 5 = О, проведенных ~р одной вершины. 274. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его. вершину В(2; — 1), а также уравнения высоты Зх — 4у+'27 =0 и биссектрисы х+2у — 5=0, проведенных из различных вершин.

275. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину С(4; — 1), а также уравнения высоты 2х — Зу+12 = О и медианы 2х+ Зу = О, проведенных из одной вершины. 276. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину В(2, — 7), а также уравнения высоты Эх+у+11=О и медианы х+2у+7,=0, проведенных из различных вершин.

277. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину С(4; 3), а также уравыения биссек- 42 трисы х+ 2у — 5 = 0 и медианы 4х+13у — 10 = О, проведенных из одной вершины. 278. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину А(3; — 1), а также уравнения биссектрисы х — 4у+ 10 = 0 и медианы бх+ 10у — 59 = О, проведенных из различных вершин.

279. Составить уравнение прямой, которая проходит через начало координат и вместе с прямыми х — у+ '+ 12 = О, 2х+ у+ 9 = 0 образует треугольник с площадью, равной 1,5 кв. ед. 280. Среди прямых, проходящих через точку Р(3; 0), найти такую, отрезок которой, заключенный между прямымн 2х — у — 2 = О, х+ у+ 3 = О, делится в точке Р пополам. 281. Через точку Р( — 3; — 1) проведены всевозможные прямые. Доказать, что отрезок каждой из них, заключенный между прямыми х — 2у — 3 = О, х — 2у+ ~+ 5 = О, делится в точке Р пополам. 282.

Через точку Р(0; 1) проведены всевозможные прямые, Доказать, что среди них нет прямой, отрезок которой, заключенный между прямыми х — 2д — 3 = О, х — 2у+ 17 = О, делился бы в точке Р пополам. 283. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат, зная, что длина ее отрезка, заключенного между прямыми 2х — у+5=0, 2х — у'+ 10 = .= О, равна ~10, 284. Составить уравнение прямой, проходящей через точку С( — 5; 4), зная что длина ее отрезка, заключенного между прямыми х+2у+1 =О, х+2у — 1 =0, равна 5.

$13. Неполные уравнения прямой. Совместное исследование уравнений двух и трех прямых. Уравнение прямой «в отрезках» Если в общем уравнении прямой Ах+ Ву+ С =0 (1) один или два из трех козффициентов (счнтая и свободный член) обращаются в нуль, то уравнение называется неполным. Возможны следующие случаи: 1) С 0; уравнение имеет вид Ах+ Ву = 0 и определяет прямую, проходящую через начало координат. 2) В= О (А Ф 0); уравнение имеет вид Ах+ С = О й определяет прямую, перпендикулярную к оси Ок, Это уравнение может Я С быть записано в виде х = а, где а= — — является величиной отрезка, который отсекает прямая иа оси Ох, считая от начала координат. 3) В = О, С = О (А Ф О); уравнение может быть записано в виде х О и определяет ось ординат.

4) А 0 (В Ф 0); уравнение имеет вид Ву + С = 0 и определяет прямую, перпендикулярную к оси Оу. Это уравнение может С быть записано в виде у = Ь где Ь вЂ” — является величиной В отрезка, который отсекает прямая на оси Оу, считая от начала ко. ординат.

5) А = О, С = 0 (В чФ 0); уравнение может быть записано в виде у ° 0 и определяет ось абсцисс. Если ни один из коэффициентов уравнения (1) не равен нулю, то его можно преобразовать к виду — + — 1$ х у а Ь С С где а=- — — и Ь вЂ” — суть величины отрезков, которые отсе- А В кает прямая иа координатных осях.

Уравнение (2) называется уравнением прямой «в отрезках». Если две прямые даны уравнениями А~х+ В~у+ С~ = О н Азх+ В,у+ Сз О, то могут представиться три случая: А, В, а) — чь — — прямые имеют одну общую точку; Аз Вз А, В, С, б) — = — Ф вЂ” — прямые параллельны; Аз Вз Сг А~ В1 С1 в) — = †= — прямые сливаются, т. е. оба уравнения Аз Вз Сз определяют одну и' ту же прямую.. 285. Определить, при каком значении а прямая, (а + 2) х+ (а' — 9) у+ За' — 8а + 5 = 0 1) параллельна оси абсцисс; 2) параллельна оси ординат; 3) проходит через начало координат.. В каждом случае написать уравнение прямой, 286. Определить, при каких значениях т и а прямая (т+ 2п — 3) х+ (2т — и+ 1) у+ 6т+ 9=0 параллельна оси абсцисс и отсекает на оси ординат от- резок, равный — 3 (считая от начала координат), Напи- сать уравнение этой прямой, Я 287.

Определить, при каких значениях т и и прямая (2т — и+ 5) х+ (т+ Зп — 2) у+ 2т+7п+ 19 0 параллельна оси ординат и отсекает на оси абсцисс отрезок, равный +5 (считая от начала координат) Написать уравнение этой прямой. 288. Доказать, что в следующих случаях две данные прямые пересекаются, и найти точку их пересечения! 1) х+5у — 35 О, Зх+2у — 27=0; 2) 14х — 9у — 24 = О, 7х — 2у — 17 0„' 3) 12х+15у — 8=0, 16х+9у — 7=0; 4) 8х — 33у — 19 = О, 12х + 55у — 19 = 0; 5) Зх + 5 = О, у — 2 = О. 289.

Доказать, что в следующих случаях две данные прямые параллельны; 1) Зх+5у — 4=0, бх+10у+7=0; 2) 2х — 4у + 3 = О, х — 2у = 0; 3) 2х — 1 О, х+3 =0; 4) у+3= О, 5у — 7=0. 290, Доказать, что в следующих случаях две данные прямые совпадают: 1) Зх + 5у — 4 = О, бх+ 10у — 8 = О; 2) х — уT2=0, х~/2 — 2у=О; 3) х~З вЂ” 1=0, Зх — ~/3 =О.