Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. Под ред. Н.В.Ефимова (13-е изд., 1980), страница 7

Траекторией точки М является гипербола, уравХ2 у2 Ф нение которой —,— —,=1 (см. задачу 191). Вывести а2 параметрические уравнения траектории точки М, принимая в качестве параметра ~ угол наклона отрезка ОМ к оси Ох. 207. Траекторией точки М является парабола, уравнение которой у'= 2рх (см. задачу 192).

Вывести пара. метрические уравнения траектории точки М, принимая в качестве параметра 1; 1) ординату точки М; 2) угол наклона отрезка ОМ к оси Ох; 3) угол наклона отрезка РЛ4 к осн Ох, где точка Р фокус параболы. 208. Даны полярные уравнения следующих линий) 1) р = 2Р соз 0; 2) р = 2Я з1п 0; 3) р = 2р — '.

', Составить параметрические уравнения этих линий в декартовых прямоугольных координатах, совмещая по- ложительную полуось абсцисс с полярной осью и выби- рая в качестве параметра полярный угол. 209. Даны параметрические уравнения линий 1) х=Р— 21+1, 2) х=асоз~, 8) х=азес1, у=~ — 1 у=аз1п1; у= ~1д1; 4) х — (В+-), 6) х=2ЛсоввВ, 6) х=Рв!п2), у = 2 ~~ — я1 у = ~ з1п 2~~ Ь/ 11, у = 2Я 31п' 1; 7) х 2рс1д2~, у=2рс1д~; исключив параметр 1, найти уравнения этих линий в виде Г(х, у)=0. ГЛАВА 3 ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА В декартовых координатах каждая прямая определяется уравнением первой степени и, обратно, каждое уравнение первой степени определяет прямую. У авнение вида р Ах+ Ву+ С = О (О называется общим уравнением прямой.

Угол а, определяемый, как показано на рис, 9, называется углом наклона прямой к оси Ох. Тангенс угла йаклонк' прямой к осн Ох называется угловым коэффициентом прямой; его обычно обозначают буквой я: й 1д а. Уравнение у = ах+6 называется уравнением прямой с угловым коэффициентом; Й вЂ” угловой коэффициент, Ь вЂ” величина отрезка, который отсекает прямая на оси Оу, считая от начала координат, Если прямая задана общим уравнением Ах+ Ву+С =О, то ее угловой коэффициент определяется по формуле А Й =- —, В' Рис, 9. Уравнение у — у, = й(х — хг) является уравнением прямой, которая проходит через точку Ма(хо', уо) и имеет угловой коэффициент й.

Если прямая проходит через точки М1(хп у~) н Мг(хг, уг) то ее угловой коэффициент определяется по формуле я= Уг У1 хг — х1 ' $ 12. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми, Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых х-х1 у-у~ хр-х, у,— у, является уравнением прямой, проходящей через две точки М1 (х~,' у~) и Мз(хр', уз). Если известны угловые коэффициенты двух прямых Й~ и Йг, то один из углов <р между этими прямымн определяется по формуле ~К% 1+й~йз ' Признаком параллельности двух прямых является равенство нх угловых коэфф~щиентов й1 =Аз. Признаком перпендикулярности двух прямых является соотно- шение 1 Й~йа — — — 1 или я, = — —.

й,' Иначе говоря, угловые коэффициенты перпендикулярных прямых обратны по абсолютной величине н противоположны по знаку. 210. Определить, какие иэ точек М~(3; 1), Л(з(2; 3), Мз(6; 3), М4( — 3; — 3), Мз(З; — 1), Ма( — 2; 1) лежат на прямой 2х — Зу — 3 = 0 и какие не лежат на ней. 211. Точки Рь Рз, Рз, Р~ и Рз расположены на прямой Зх — 2у — 6 = 0; их абсциссы соответственно равны чис- лам; 4, О, 2, — 2 и — 6, Определить ординаты этих точек.

212. Точки Я~, Яз, Яз, Я~ и ® расположены на пря- мой х — Зу+ 2 = 0; их ординаты соответственно равны числам; !, О, 2, — 1, 3. Определить абсциссы этих точек. 213. Определить точки пересечения прямой 2х — Зу— — 12 = 0 с координатными осями и построить эту пря- мую на чертеже. 214. Найти точку пересечения двух прямых Зх — 4у— — ' 29 = О, 2х + 5у + 19 = О. 215. Стороны АВ, ВС и АС треугольника АВС даны соответственно уравнениями *) 4х+ Зу — 5 = О, х — Зу+ + 10= 0, х — 2 =О, Определить координаты его вер- шин.

216. Даны уравнения двух сторон параллелограмма 8х+Зу+! О, 2х+у — 1 =0 и уравнение одной нэ *) Здесь и везде в дальнейшем под уравнением сторон мы будем понимать уравнения прямых, Иа которых лежат стороны, 36 его диагоналей Зх+ 2у+ 3 = О. Определить координа- ты вершин этого параллелограмма. 217.

Стороны треугольника лежат на прямых х+ ( 5у — 7 = О, Зх — 2у — 4 = О, 7х+ у+ 19 = О, Вычис- лить его площадь 5. 218. Площадь треугольника 5 = 8 кв. ед.; две его вершины суть точки А (1; — 2) и В (2; 3), а третья вер- шина С лежит на прямой 2х+у — 2=0. Определить координаты вершины С, 219. Площадь треугольника 5 = 1,5 кв. ед., две его вершины суть точки Л(2; — 3) и В(3; — 2); центр тяже- сти этого треугольника лежит на прямой Зх — у — 8=0. Определить координаты третьей вершины С. 220.

Составить уравнение прямой и построить пря- мую на чертеже, зная ее угловой коэффициент Ф и от- резок Ь, отсекаемый ею на оси Оу: 1) й = —, Ь = 3; 2) й = 3, Ь = 0; 3) й =-О, Ь= — 2; 4) й= — —, Ь=З; 5) й= — 2, Ь= — 5; 3 1 2 6) А= — —, Ь= —. 3' 3' 221. Определить угловой коэффициент й и отрезок Ь, отсекаемый на оси Оу, для каждой из прямых: 1) 5х — у+ 3 = 0; 2) 2х+ Зу — 6 = 0; 3) 5х+Зу+2=0; 4) Зх+2у=О; 5) у — 3=0„ 222.

Дана прямая 5х+Зу — 3 = О. Определить угло- вой коэффициент й прямой: 1) параллельной данной прямой; 2) перпендикулярной к данной прямой. 223. Дана прямая 2х+Зу+4 = 0. Составить урав- нение прямой, проходящей чере3 точку М0(2; 1): 1) параллельно данной прямой; 2) перпендикулярно к данной прямой; 224. Даны уравнения двух сторон прямоугольника 2х — Зу+ 5 = О, Зх+ 2у — 7 = 0 и одна из его вершин А (2; 3). Составить уравнения двух других сторон этого прямоугольника. 225. Даны уравнения двух сторон прямоугольника х — 2у = О, х — 2у+ 15 = 0 и уравнение одной из его диагоналей 7х+ у — 15 = О. Найти вершины прямо- угольника. 226. Найти проекцию точки Р( — 6; 4) на прямую 4х — 5у -~-„3 = О. 37 227.

Найти точку Я, симметричную точке Р( — 5; 13) относительно прямой 2х — Зу — 3 = О. 228. В каждом из следующих случаев составить уравнение прямой, параллельной двум данным прямым и проходящей посередине между ними. 1) Зх — 2у — 1 = О, 2) Бх+ у+ 3 = О, Зх — 2ц — 13 = О; 5х+ у — 17 = 01 3) 2х+Зу — 6=0, 4х+ 6у+ 17=0; 4) 5х+Уу+15=0, 5) Зх — 15у — 1=0, 5х+ 7у+ 3=0; х — 5у — 2=0. 229.

Вычислить угловой коэффициент А прямой, проходящей через две данные точки: а) М~(2; — 5), М.(3; 2); б) Р( — 3; 1), Я (7; 8); в) А (5; — 3), В ( — 1; 6). 230. Составить уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника А (5; — 4), В ( — 1; 3), С( — 3; — 2) параллельно противоположным сторонам. 231, Даны середины сторон треугольника: М~(2; 1), Мг(5, 3) и М~(3„— 4), Составить уравнение его сторон. 232. Даны две точки: Р(2; 3) и Я( — 1; 0). Составить уравнение прямой, проходящей через точку Я перпендикулярно к отрезку РЯ. 233. Составить уравнение прямой, если точка Р(2;3) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту прямую. 234. Даны вершины треугольника М~ (2; 1) „- Л~( — 1; — 1) и Мз(3; 2).

Составить уравнения его высот: 235. Стороны треугольника даны уравнениями 4х— . у — 7 = О, х + Зу — 31 = О, х + 5у — 7 = О. Опреде« лить точку пересечения его высот. 236, Даны вершины треугольника А (1; — 1), В ( — 2; 1)' н С(3; 5). Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины А на медиану, проведенную из вер1пины В. 237. Даны вершины треугольника А(2; — 2), В(3; — 5) н С(5; 7). Составить уравнение перпендикуляра, опу. щенного из вершины С на биссектрису внутренне~оугла при вершине А. 238.

Составить уравнения сторон и медиан треуголь. ника с вершинами А(3: 2), В(5; — 2), С(1; О), зз 239. Через точки М1( — 1; 2) и М~(2; 3) проведена прямая. Определить точки пересечения этой прямой с осями координат. 249. Доказать, что условие, при котором три точки М~(х1, у1) Мз(х2', у2) и Мз(хз, уз) лежат на одной пря мой, может быть записано в следующем виде: х| у~ 1 у, 1 =О. уз 241.

Доказать, что уравнение прямой, проходящей через две данные точки М~(х1,' у~) и М~(х~„у~), может быть записано в следующем виде: х у 1 1 у, 1 242. Даны последовательные вершины выпуклого четырехугольника А( — 3; 1), В(3; 9), С(7; 6) и 0( — 2; — 6). Определить точку пересечения его диагоналей. 243. Даны две смежные вершины А ( — 3; — 1) и В(2; 2) параллелограмма АВС0 и точка Я(3; О) пересечения его диагоналей Составить уравнения сторон этого параллелограмма.

. 244. Даны уравнения двух сторон прямоугольника 5х+ 2у — 7 = О, 5х+ 2у — 36 = 0 и уравнение его диагонали Зх+7у — 10 =-О. Составить уравнения остальных сторон и второй диагонали этого прямоугольника, 245. Даны вершины треугольника А(1; — 2), В(5; 4) и С( — 2; 0). Составить уравнения биссектрис его внутреннего и внешнего углов при вершине А. 246. Составить уравнение прямой, проходящей через точку Р(3; 5) на одинаковых расстояниях от точек А ( — 7; 3) и В (11; — 15). 247.