Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. Под ред. Н.В.Ефимова (13-е изд., 1980), страница 5

137. Две системы координатных осей Ох, Од и Ох', Од' имеют общее начало О и преобразуются одна в другую поворотом на некоторый угол. Координаты точки А(3; -4) определены относительно первой из них. Вывести формулы преобразования координат, зная, что положительное направление оси Ох' определено отрезком ОА, 22 138. Начало координат перенесено в точку О'( — 1; 2), 5 осн координат повернуты на угол а = агс1а —. Координаты точек М)(З; 2), М~(2; — 3) и Мз(13; — 13) определены в новой системе. Вычислить координаты этих же точек в старой системе координат. 139. Даны три точки: А (5; 5), В (2; — 1) и С(12; — 6) . Найти их координаты в новой системе, если начало координат перенесено в точку В, а оси координат поверз путы на угол а = агс1д —.

4' 140. Определить старые координаты нового начала и угол а, на который повернуты оси, если формулы преобразования координат заданы следующими равенствами: 1) х — у'+3, у = х' — 2; 2) х = — х' — 1, у = = — у'+3; 3) х= 2 х'+ 2 у'+5, у= — 2 х'+ г' 2, 1~2 ~ 1~2 + — у — 3. ~2 2 141. Даны две точки: М)(9; — 3) и Мз( — 6; 5). Начало координат перенесено в точку Мь а оси координат повернуты так, что положительное направление новой оси абсцисс совпадает с направлением отрезка М~М~. Вывести формулы преобразования координат. 142. Полярная ось полярной системы координат параллельна оси абсцисс декартовой прямоугольной системы и направлена одинаково с нею. Даны декартовы прямоугольные координаты полюса 0(1; 2) и полярные воориииаты точек тт),')7, "-), Л)а)З; 0), Ма)Б; — -1, М4 2; — я~ и М ~2; — — ~.

Определить координаты этих точек в декартовой прямоугольной системе. 143. Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось направлена по биссектрисе первого координатного угла. Даны полярные координаты точек М) 5; 4 ™ 3т 4 ™ 1~ 4 ~ ™ 6~ — 4 л н М, 2; — — . Определить декартовы прямоугольнькс ординаты этих точек. 144.

Полярная ось полярной системы координат параллельна оси абсцисс декартовой прямоугольной си- 23 стемы и одинаково с нею направлена. Даны декартовы прямоугольные координаты полюса 0(3; 2) и точек М~(5; 2), ЩЗ; 1), Мз(3; 5), М4(3+ )/2; 2 — ф~2) и М~(З+ 3/3; З).Определить полярные координаты этих точек. 145. Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, полярная ось направлена по биссектрисе первого координатного угла. Даны декартовы прямоугольные координаты точек М~( — 1; 1),М~(~/2; — ф~2), Мз(1; ~/3), М~( — ~/ 3; 1) и М~(2 ~3; -2). Определить полярные координаты этих точек.

ГЛАВА 2 УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ ф 8. Функция двух переменных Если указано правило, согласно которому с каждой точкой М плоскости (или какой-нибудь части плоскости) сопоставляется некоторое число и, то говорят, что на плоскости (или на части плоскости, «задана функция точки»; задание функции символически выражают равенством вида и = ~(М). Число и, сопоставляемое с точкой М, называется значением данной функции в точке М.

Например, если А — фиксированная точка плоскости, М вЂ” произвольная точка, то расстояние от А до М есть функция точки М. В данном случае ~(М) = АМ. Пусть дана некоторая функция и = Г(М) и вместе с тем введена система координат. Тогда произвольная точка М определяется координатами х, у. Соответственно этому н значение данной функции в точке М определяется координатами х, у, или, как еще говорят, и = г(М) есть функция двух переменных х и у.

Функция двух переменных х, у обозначается символом )'(х, у); если г(М) = =Цх, у), то формула и = Г(х, у) называется выражением данной функции в выбранной системе координат. Так, в предыдущем примере )(М) = АМ; если ввести декартову прямоугольную систему координат с началом в точке А, то получим выражение этой функции: и =Ух'+ у'. 146. Даны две точки Р и Я, расстояние между которыми равно а, и функция )'(М) =й — Й, где А = МР и 4 = МЯ. Определить выражение этой функции, если в качестве начала координат принята точка Р, а ось Ох направлена по отрезку Р0. 147. При условиях задачи 146 определить выражение функции ~(М) (непосредственно и при помощи преобразования координат, используя результат задачи 146), если: 1) начало координат выбрано в ссрсдине отрезка Р©, ось Ох направлена по отрезку РО, 2) начало координат выбрано в точке Р, а ось Ох направлена по отрезку ЦР.

148. Даны: квадрат АВСП со стороной а и функция М~) = ~!1 ~~ ~(2+ пЗ+ ~!4, где А = ~14А ~(2 = МВ, ~(З = = — Л4С и А = МР. Определить выражение этой функции, если за оси координат приняты диагонали квадрата (причем ось Ох направлена по отрезку АС, ось Оу — по отрезку В0). !49. Прн условиях задачи 148 определить выражение для ~(М) (непосредственно и при помоши преобразования координат, используя результат задачи 148), если начало координат выбрано в точке А, а оси координат направлены по его сторонам (ось Ох — по отрезку АВ, ось Оу — по отрезку А0). 150.

Дана функция !"(х,у) = х'+у' — бх+8у. Определить выражение этой функции в новой координатной системе, если начало координат перенесено (без изменения направления осей) в точку О'(3; — 4). 151. Дана функция ~(х, у) = х~ — у~ — 1б. Определить выражение этой функции в новой координатной системе, если оси координат повернуты на угол — 45', 152. Дана функция ~(х,у) = х'+у'. Определить выражение этой функции в новой координатной системе, если оси координат повернуты на некоторый угол а. 153.

Найти такую точку, чтобы при переносе в нее начала координат выражение функции ! (х, у) = х'— — 4у' — бх+ Зу+3 после преобразования не содержало .членов первой степени относительно новых переменных. 154. Найти такую точку, чтобы при переносе в нее начала координат выражение функции )'(х, у) = х'— — 4ху+4у'+2х'+у — 7 не содержало членов первой степени относительно новых переменных. 155. На какой угол нужно повернуть оси координат, чтобы выражение функции ~(х, у) = х' — 2ху+ у'— — бх +'3 после преобразования не содержало члена с произведением новых переменных? 156. На какой угол нужно повернуть оси координат, чтобы выражение функции ~(х, у) =ЗА+ 2 )/3 ху+у' после преобразования не содержало члена с произведением нбвы1~ переменйых? 26 ф 9.

Понятие уравнения линии. Задание линии при помощи уравнения Равенство вида г(х, у) = 0 называется уравнением с двумя переменными х, у, если оно справедливо не для всяких пар чисел х, у. Говорят, что два числа х = ха, у = у0 удовлетворяют некоторому уравнению вида Р(х,у) = О, если при подстановке этих чисел вместо перемеииык х и у в уравнеппе его левая часть обращается в нуль. Уравнением данной линии (в назначенной системе координат) называется такое уравнение с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на этой линии, и не удовлетворяют координаты каждой точки, не лежащей на ней.

В дальнейшем вместо выражения «дано уравнение линии Г(х, у) = 0» мы часто будем говорить короче: дана линия Е(х, у) =О. Если даны уравнения двух линий Г(х, у) = О и Ф(х, у) = О, то совместное решение системы Р(х, у) =О, Ф(х, у)=0 дает все точки их пересечения. Точнее, каждая пара чисел, являющаяся совместным решением этой системы, определяет одну пз течек пересечения, 157. Даны точки* ) М1(2; — 2), Мз(2; 2), Мз(2; — 1), М~(3; — 3), Мз(5; — 5), Ма(3;.

— 2), Установить, какие из данных точек лежат на линии, определенной уравнением х + у = О, и какие не лежат на ней. Какая линия определена данным уравнением? (Изобразить ее на чертеже.) 158. На линии, определенной уравнением х'+уа = = 25, найти точки, абсциссы которых равны следующим числам: 1) О, 2) — 3, 3) 5, 4) 7; на этой же линии найти точки, ординаты которых равны следующим числам: 5) 3, 6) — 5, 7) — 8. Какая линия определена данным уравнением? (Изобразить ее на чертеже.) 159. Установить, какие линии определяются следующими уравнениями (построить их на чертеже): 1) х — у=О; 2) х+ у=О; 3) х — 2=0; 4) х+3=0; 5) у — 5=0; 6) у+2=0; 7) х=О; 8) у=О; 9) хз — ху=О; 10) ху+.

+уз=О; 11) гз — у'=О; 12) ху=О; 13) уз — 9=0; 14) хз — 8х+15=0; 15) у'+5у+4=0; 16) х'у — 7ху+ + 10у=0; 17) у=~ х~; 18) х=1у1; 19) у+! х!=0; 20) х+~у~ =0; 21) у =~х — 1~; 22) у=~х+21; 23) ха+ уа = 16; 24) (х — 2)'+ (у — 1)' = 16; 25 (х+ 5)'+ *) В гек случаях, когда система координат ие названа, подразумевается, что она — декартова прямоугольная. +(у — 1)-'=9; 26) (х — 1)'+ у'=4; 27) х'+ (у+ 3)~=1; 28) (х — 3)-'+у'=0; 29) х'+2д'=0; 30) 2х2+Зу~+ + 5 = 0; 31) (х — 2)2+ (у + З)2+ 1 = О. 160.

Даны линии: 1) х + у = 0; 2) х — у = 0; 3) х'+ +у'- — 36=0; 4) х2+ у- '— 2х+ у=О; 5) х~+у~+4х— — 6у — 1 =О. Определить, какие из них проходят через начало координат. 161, Даны линии: 1) х~+ у2 49; 2) (х — 3)'+ +(у+ 4)2=25; 3) (х+ 6)'-+(у — 3)'=25; 4) (х+ 5)'+ +(у — 4)'=9; 5) х2+у' — 12х+ 16у=О; 6) х~+у~— — 2х+ Яу+ 7=0; 7) х>+ у2 — Ох+4у+ 12=0. Найти точки их пересечения: а) с осью Ох; б) с осью Оу. 162.

Найти точки пересечения двух линий: 1) х~+у~=8; х — д=О; 2) х2+ у~ — 16х+4у+ 18=0; х+ у=О; 3) х2 + у> — 2х + 4у — 3 = О; х2 + д2 = 25; 4) х~ + у2 — 8х + 10у + 40 = 0; х~ + д~ = 4. 163. В полярной системе координат даны точки м, )1; -),и~(2, О), м,(2; -„), м,(УВ; -) и м.-(1; — л). Установить, какие из этих точек лежат на линии, определенной в полярных координатах уравнением р = =2соэО, и какие не лежат на ней.

Какая линия определяется данным уравнением? (Изобразить ее на чертеже.) 3 164. На линии, определенной уравнением р= —, найти точки, полярные углы которых равны следующим числам: а) —, б) — —, в) О, г) — '. Какая линия определена данным уравнением? (Построить ее на чертеже.) ! 165. На линии, определенной уравнением р= —,, найти точки, полярные радиусы которых рвань! следующим числам. а) 1, б) 2, в) 1'2. Какая линия определена данным уравнением? (Построить ее на чертеже.) 166. Установить, какие линии определяются в полярных координатах следующими уравнениями (построить их на чертеже): 1) р=5; 2) 8= —; 3) 8= — ф 4) р сов 8=2; 5) рз1п8 =1;,6) р=бсозО; 7) р=10з1пО; ! .

1 8) з!пО= 2', 9) з1пр= 2-. 167. Построить на чертейе следующие спирали Архи- меда) 1) р =20; 2) р =50', 3) р= — ' 4) р = — — ° о, в 168. Построить иа чертеже следующие гиперболиче- 1, 5, л, тг ские спирали. '1) р= —; 2) р= —; 3) р= — ', 4) р= — -и-. 169. Построить на чертеже следующие логарифми- ~)~в ческие спирали: 1) р=2в; 2) р=~ — ~ . 170. Определить длины отрезков, на которые рассе- кает спираль Архимеда р = 30 луч, выходящий из по- люса и наклоненный к полярной оси под углом 0 = — '.