Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. Под ред. Н.В.Ефимова (13-е изд., 1980), страница 4

82. Определить координаты точки Ма, симметричной точке М1(1; 2) относительно прямой, проходящей через точки А(1; О) и В( — 1; — 2). 83. Даны две противоположные вершины квадрата А(3; О) и С( — 4; 1). Найти две его другие вершины. 84. Ланы две смежные вершины квадрата А(2; — 1) и В( — 1; 3). Определить две его другие вершины. 85.

Даны вершины треугольника Мг( — 3; 6), Мз(9; — 1О) и Мз( — 5; 4). Определить центр С и радиус гт описанного около этого треугольника круга. 5 5. Деление отрезка в данном отношении Если точка М(х;у) лежит на прямой, проходящей через две М~М данные точки М~(хп у~), Мз(хн уз), и дано отношение А= —, в котором точка М делит отрезок М~Мр, то координаты точки М 16 определяются по формулам х! + Ххр у~ + Ъ,~~ 1+~ '= 1+к Если точка М является серединой отрезка М~Мь, то ее координаты определяются по формулам х~+х~ У~ + Уя х= 2 1 У* 2 86.

Даны концы А(3; — 5) и В( — 1'; 1) однородного стержня. Определить координаты его центра тяжести. 87. Центр тяжести однородного стержня накодится в точке Л4(1; 4), один из его концов в точке Р( — 2; 2). Определить координаты точки Я другого конца этого стержня 88. Даны вершины треугольника А(1; — 3), В(3; — 5) и С( — 5; 7), Определить середины его сторон. 89.

Даны две точки А(3; — 1) и В(2; 1). Определить: 1) координаты точки М, симметричной точке А относительно точки В; 2) координаты точки Ж, симметричной точке В относительно точки А. 90. Точки Л1(2; — 1), й( — 1; 4) и Р( — 2; 2)' являются серединами сторон треугольника. Определить его вершины. 91. Даны три вершины параллелограмма А(3; — 5), В(5; — 3), С( — 1; 3). Определить четвертую вершину О, противоположную В. 92. Даны две смежные вершины параллелограмма А( — 3; 5), В(1; 7) и точка пересечения его диагоналей М(1; 1). Определить две другие вершины, 93. Даны три вершины А(2; 3), В(4; — 1) и С(0; 5) параллелограмма АВСВ, Найти его четвертую вершину П.

94. Даны вершины треугольника А(1; 4), В(3; — 9), С( — 5; 2). Определить длину его медианы, проведенной из вершины В. 95. Отрезок, ограниченный точками А (1; — 3) и В(4; 3), разделен на три равные части. Определить координаты точек деления. 96. Даны вершины треугольника А (2; — 5), В(1; — 2), С(4; 7). Найти точку пересечения со стороной АС биссектрисы его внутреннего угла при вершине В. 17 97.

Даны вершины треугольника А(3,' — 5), В( — 3; 3) и С( — 1; — 2). Определить длину биссектрисы его внутреннего угла при вершине А. 98. Даны вершины треугольника А( — 1; — 1), В(3; 5), С ( — 4; 1) . Найти точку пересечения с продолжением стороны ВС биссектрисы его внешнего угла при вершине А. 99. Даны вершины треугольника А(3; — 5), В(1; — 3), С(2; — 2), Определить длину биссектрисы его внешнего угла при вершине В.

100. Даны три точки А(1, — 1), В(3; 3) и С(41 5), лежащие на одной прямой. Определить отношение Х, в котором каждая из них делит отрезок, ограниченный двумя другими. 101. Определить координаты концов А и В отрезка, который точками Р(2; 2) и Я(1', 5) разделен на три равные части. 102. Прямая проходит через точки М~( — 12; — 13) и Мз( — 2; — 5). На этой прямой найти точку, абсцисса которой равна 3.

103. Прямая проходит через точки М(2; — 3) и Ф( — 6; 5). На этой прямой найти точку, ордината которой равна — 5. 104. Прямая проходит через точки А (7, — 3) и В(23;. — 6). Найти точку пересечения этой прямой с осью абсцисс, 105. Прямая проходит через точки А (5; 2) и В( — 4; — 7). Найти точку пересечения этой прямой с осью ординат, 106. Даны вершины четырехугольника А ( — 3; 12), В(3; — 4), С(5; — 4) и Р(5; 8). Определить, в каком отношении его диагональ АС делит диагональ ВР. 107. Даны вершины четырехугольника А ( — 2; 14), В(4; — 2), С(6; — 2) и Р(6; 1О).

Определить точку пересечения его диагоналей АС и ВР. 108. Даны вершины однородной треугольной пластинки А(хб у~), В(хз, уа) и С(хз', уз) Определить координаты ее центра тяжести. Ук а з а н и е. Центр тяжести находится в точке пересечения медиан. 109. Точка М пересечения медиан треугольника лежит на оси абсцисс, две вершины его — точки А (2; — 3) и В( — 5;- 1), третья вершина С лежит на оси ординат. Определить координаты точек М и С, 18 110. Даны вершины однородной треугольной пластинки А(х~, д1), В(хз; уз) и С(хз', рз) Если соединить середины ее сторон, то образуется новая однородная треугольная пластинка. Доказать, что центры тяжести обеих пластинок совпадают.

У к а з а и и е. Воспользоваться результатом задачи 108. 1!1. Однородная пластинка имеет форму квадрата со стороной, равной 12, в которой сделан квадратный вырез, прямые разреза проходят через центр квадрата, оси Рис. 4. Рис. Б.

координат направлены тю ребрам пластинки (рис. 4), Определить центр тяжести этой пластинки. 112. Однородная пластинка имеет форму прямоугольника со сторонами, равными а и Ь, в котором сделан прямоугольный вырез; прямые разреза проходят через центр, оси координат направлены по ребрам пластинки (рис.

5). Определить центр тяжести этой пластинки. !13. Однородная пластинка имеет форму квадрата со стороной, равной 2а, от которого отрезан тре- р-- угольник; прямая разреза соединяет середины двух смежных сто- Рис. 6. рон, оси координат направлены по ребрам пластинки (рис. 6), Определить центр тяжести пластинки.

114. В следующих ч очках А (х~, у~), В (хз', 9з) и С(хз', уз) сосредоточены массы т, а и р. Определить координаты центра тяжести этой системы трех масс. 115. Точки А(4; 2), В(7; — 2) и С(1; 6) являются вершинами треугольника, сделанного из однородной проволоки. Определить центр тяжести этого треугольника, 19 5 6 Йлощадь треугольника Каковы бы ни были тРи точки А(хи У~), В(хз', Уз), С(хз' Уз)з площадь Я треугольника АВС дается формулой 1 1 хз — х~ уз — у~ 2 1 хз — х1 уз — у1 Правая часть атой формулы равна +5 в том случае, когда крат» чайший поворот отрезка АВ к отрезку АС положителен, и — Я в том случае, когда такой поворот отрицателен.

116. Вычислить площадь треугольника, вершинами которого являются точки: 1) А (2; — 3), В (3; 2) и С( — 2; 5); 2) Мз( — 3; 2), Мз(5; — 2) и Мз(1' 3)1 3) М(3', — 4), Ф( — 2; 3) и Р(4; 5), 117. Вершины треугольника суть точки А (3; 6), В( — 1; 3) и С(2; — 1). Вычислить длину его высоты, проведенной из вершины С. 118. Определить площадь параллелограмма, три вершины которого суть точки А ( — 2; 3), В (4; — 5) и С( — 3; 1). 119. Три вершины параллелограмма суть точки А(3; 7), В(2; — 3) и С( — 1; 4).

Вычислить длину его высоты, опущенной из вершины В на сторону АС. 120. Даны последовательные вершины однородной четырехугольной пластинки А (2; 1), В(5; 3), С( — 1; 7) и з)( — 7; 5). Определить координаты ее центра тяжести. 121. Даны последовательные вершины однородной пятиугольной пластинки А(2; 3), В(01 6), С( — 1; 5), б(0; 1) и Е(1; 1), Определить координаты ее центра тя' жести. 122. Площадь треугольника 5 =3, две его вершины суть точки А (3; 1) и В(1; — 3), а третья вершина С лежит на оси Од.

Определить координаты вершины С. 123. Площадь треугольника 5 = 4, две его вершины суть точки А (2, 1) и В(3; — 2), а третья вершина С лежит на оси Ох. Определить координаты вершины С. 124. Площадь треугольника 5 = 3, две его вершины суть точки А (3, 1) и В(1; — 3), центр тяжести этого треугольника лежит на оси Ох, Определить координаты третьей вершины С.

125. Площадь параллелограмма 5 = 12 кв. ед,; две его вершины суть точки А( — 1; 3) и В( — 2; 4), Найти две другие вершины этого параллелограмма при условии, что точка пересечения его диагоналей лежит на осн абсцисс. 20 126. Плошадь параллелограмма Я = 17 кв. ед.;. две его вершины суть точки А(2; 1) и В(5; — 3). Найти две другие вершины этого параллелограмма при условии, что точка пересечения его диагоналей лежит на оси ординат.

ф 7. Преобразование координат Преобразование декартовых прямоугольных координат при параллельном сдвиге осей определяется формулами х=х'+а, у=у'+ Ь, Здесь х, у суть координаты произвольной точки М плоскости относительно старых осей, х', у' — координаты той же точки относительно новых осей, а, Ь вЂ” координаты нового начала О' относитель. но старых осей (говорят также, что а есть величина сдвига в направлении оси абсцисс, Ь вЂ” величина сдвига в направлении оси ординат). Преобразование декартовых прямоугольных координат при повороте осей на угол а (который надо понимать, как в тригонометрии) определяется формулами х = х' соз а — у' Мп а, у = х'з!и а+ у'соз а. Здесь х, у суть координаты произвольной точки М плоскости относительно старых осей, х', у' — координаты той же гочки относительно новых осей.

Формулы х х'сова — д'Мп а+ а, у =х'з!и а+ у'сова+ Ь опредечяют преобразование координат при параллельном сдвиге системы осей на величину а в направлении Ох, на величину Ь в направлении Оу и последующем повороте осси на угол а Все укйзанные формулы соответствуют преобразованию координат при неизменном масштабе. Неизменйость масштаба предполагается так. же и нижеприводимых задачах. 127. Написать формулы преобразования координат, если начало координат (без изменения направления осей) перенесено в точку: 1) А (3; 4): 2) В ( — 2; 1); 3) С( — 3; 8). 128. Начало координат перенесено (без изменения'направления осей) в точку О'(3; — 4). Координаты точск 4(1; 3), В( — 3; 0) ч С( — 1; 4) определены в новой системе Вычислить координаты этик же точек в старой системе координат. 129.

Даны точки А(2; 1), В( — 1; 3) и С( — 2," 5). Найти их координаты в новой системе, если начало координат перенесено (без изменения направления осей): 1) в точку А; 2) в точку В, 3) в точку С. 130. Определить старые координаты начала О' новой системы, если формулы преобразования координат заданы следующими равенствами: 1) х=х'+3, у=у'+ +5; 2) х=х' — 2, у=у'+1; 3) х=-х', у=у' — 1; 4) х=х' — 5, у=у'.

131. Написать формулы преобразования координат, если оси координат повернуты на один из следующих углов: 1) 60', 2) — 45', 3) 90', 4) — 90', 5) 180'. 132. Оси координат повернуты на угол я = 60'. Координаты точек А(2 $~3; — 4), В(~~3; О) и С(0; — 2 $/3) определены в новой системе. Вычислить координаты этих же точек в старой системе координат.

133. Даны точки М(31 1), Ф( — 1; 5) и Р( — 3; — 1)' Найти их координаты в новой системе, если оси ко. ординат повернуты на угол; 1) — 45', 2) 90', 3) — 90'1 4) 180'. 134. Определить угол и, на который повернуты оси, если формулы преобразования координат заданы сле- 1/3, )/з дующими равенствами: 1) х = — х' — — у', у = — х'+ 2 2 +2У1 2) х= 2 х+2У У= "+ 2 у 2 ' 2 135. Определить координаты точки О' нового начала координат, если точка А (3; — 4) лежит на новой оси абсцисс, а точка В(213) лежит иа новой оси ординат, причем оси старой и новой систем координат имеют соответственно одинаковые направления. 136. Написать формулы преобразования координат, если точка М~(2; -3) лежит на новой оси абсцисс, а точка М~(11 — 7) лежит на новой оси ординат, причем оси старой и новой систем координат имеют соответственно одинаковые направления.