Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. Под ред. Н.В.Ефимова (13-е изд., 1980), страница 3

39. Одна из вершин треугольника ОАВ находится в полюсе, две другие суть точки А(р~; О~) и В(о2, О2). Вычислить площадь этого треугольника. 40. Одна из вершин треугольника ОАВ находится в полюсе О, две другие суть точки А 5; — и В 4; !2 Вычислить площадь этого треугольника. 41. Вычислить площадь треугольника, вершины которого А 3; — я, В 8; 2! я и С 6; — я заданы в полярных координатах. !! 42.

Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадаетс положительной полуосью абсцисс. В полярной системе координат даны точки М, 6;— М,(6; О), Мв(2; — '), М,(10; — — ), М,(8,' — п), М~(12; — — Определить декартовы координаты этих точек. 6~' 43. Полюс полярной системы координат совпадае г с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс. В декартовой прямоугольной системе координат даны точкиМг(О; 5), М,( — 3; О), Мз(у'3; Ц, М,( — у' 2; — у' 2), Ма(1; — у" 3). Определить'полярные координаты этих точек.

5 4. Направленный отрезок. Проекция отрезка на произвольную ось. Проекции отрезка на оси координат. Длина и полярный угол отрезка. Расстояние между двумя точками Прямолинейный отрезок называется направленным, если указано, какая нз ограничивающих его точек считается началом, какая— койцом. Направленный отрезок, имеюгдий точку А своим началом и точку В копцом (рис.

3), обозначается символом АВ (т. е. так же, как отрезок оси: см. э 1). Длина направленного отрезка АВ (при заданном масштабе) обозначается символом )АВ) (или АВ; см. сноску на стр. 13) .. Проекцией отрезка АВ на ось и называется число, равное величине отрезка А В оси и, где точка А~ является проек- Ф цией на ось и точки А, а В~ — проекцией на зту же ось точки. В.

Рис. 3. Проекция отрезка АВ на ось и обозна- чается символом пр АВ. Если на плоскости задана система декартовых прямоугольных координат, то прот екция отрезка на ось Ох обозначается символом Х, его проекция на ось Оу — символом У. Если известны координаты точек М~ (хп у~) и Ме(хи уа), то проекции Х н У на оси координат направленного отрезка М~Мр могут быть вычислены по формулам Х=ха-хь У=у,— у, Таким образом, чтобы найти нроекцин направленного отрезка на оси координат нужно от координат его конца отнять соответствующие координаты начала. 12 Угол О, иа который нужно повернуть положительную полу-' ось Ох так, чтобы ее направление совпало с направлением отрезка М!Мь называется полярным углом отрезка М~Мр.

Угол О понимается, как в тригонометрии. Соответственно атому 0 имеет бесконечно много возможных значений, которые отличаются друг от друга на величину вида ~2пп (где и — целое положительное число). Главным значением полярного угла назы. ьается то из его значений, которое удовлетворяет неравенствам -я (О <+я. Формулы Х=!1 ° созО, У=И ° з!пО выражают проекции произвольного отрезка на координатные оси через его длину и полярный угол. Отсюда же вытекают формулы !1=1' Х~+ У2, созО= „, з!пО= Х, У Ух +у ' р'х которые выражают длину и полярный угол отрезка через его проекции на оси координат.

Если на плоскости даны две точки М!(х!',у!) и Ме(хь'дз)> то расстояние д между ними определяется формулой !1 г (х2 х!) + (ае р!) ° 44. Вычислить проекцию отрезка на ось и, если даны его длина И и угол ф наклона к оси: 1) д=6, ф=ф1 2) И=б, ф= з ' 3) И=7, ф= ~ ', 4) 0=5, ф=01 5) !~=5 ф= ' 6) а=4 ф= з. 45. Построить иа чертеже отрезки, исходящие из начала координат, зная их проекции на координатные оси: 1) Х= 3, У=2; 2) Х=2, У= — 5; 3) Х= 5, У=О; 4) Х= — 2, У=З; 5) Х=О, У=З; 6) Х=-5, У= = — 1 46. Построить на чертеже отрезки, имеющие началом точку М(2; — 1), зная их проекции на координатные оси: 1) Х=4, У=3; 2) Х=2, У=О; 3) Х= — 3, У= =1;4) Х= — — 4, У= — 2;5) Х=О, У= — 3;6) Х =1, У= — 3.

47. Даны точки Мг(1; — 2), Мз(2; 1), Мз(5; 0), М4( — 1; 4) и Мз(0; — 3), Найти проекции на координатные оси следующих отрезков: 1) М!Мз, 2) МзМ» 3) Л1;М~, 4) МзМз. 48. Даны проекции отрезка М!Мз на оси координат Х = 5, У = — 4; зная, что его начало в точке Мт( — 2; 3), найти координаты его конца.

13 49. Даны проекции отрезка 'АВ на' оси координат Х = 4, У = — 5; зная, что его конец в точке 8(1» — 3), найти координаты его начала. 50. Построить на чертеже отрезки, исходящие из начала координат, зная длину д и полярный угол О каждого из них: 1) И = 5, О = —; 2) д = 3, О = — »т; 3) д = 4, О з' 4)д 3 О з»т я.

4 51, Построить на чертеже отрезки, имеющие началом точку М(21 3), зная длину и полярный угол каждого из них» 1) И = 2, 6 = — 1о; 2) И = 1, О = ф 3) И = 5, 6= — — (координаты точки М вЂ” декартовы). 52. Вычислить проекции на координатные оси отрезков, зная длину д и полярный угол О каждого из них» 1) И=12, О= — д; 2) 0=6, О= — —; 3) 0=2, 6= — —" 4' 53. Даны проекции отрезков на координатные оси; 1) Х=З, У = — 4;2) Х=12, У=5;3) Х= — 8, У= = 6. Вычислить длину каждого из них.

54. Даны проекции отрезков на координатные оси,' 1) Х 1, У=~3, '2) Х=3~2, У= — 3~2, "3) Х= — 2~/3, У 2. Вычислить длину д и полярный угол О каждого из них. 55. Даны точки М»(2; — 3), М2(1; — 4), Мз(-1; — 7) н М»( — 4; 8). Вычислить длину и полярный угол следующих отрезков: 1) М»М2, 2) /~~Мз, 3) М~М», 4) М~Мз. 56. Длина И отрезка равна 5, его проекция на ось абсцисс равна 4, Найти проекцию этого отрезка на ось ординат при условии, что он образует с осью ординат» 1) острый угол, 2) тупой угол. 57, Длина отрезка МЛ~ равна 13; его начало в точ.

ке М(3, — 2), проекция на ось абсцисс равна — 12. Найти координаты конца этого отрезка при условии, что он образует с осью ординат: 1) острый угол, 2) тупой угол. 14 58. Длина отрезка МФ равна 1?, его конец в точке У( — 7; 3), проекция на ось ординат равна 15. Найти координаты начала этого отрезка при условии, что он образует с осью абсцисс', 1) острый угол, 2) тупой угол. 59. Зная проекции отрезка на координатные осн Х = 1, У= — 1'3, найти его проекцию на ось, которая 2 составляет с осью Ох угол 0= — я. з 60. Даны две точки М~(1; — 5) и М~(4; — 1). Найти проекцию отрезка М М, на ось, которая составляет с осью О~ угол 6 = — ~, 61.

Даны две точки Р( — 5; 2) и Я(3; 1). Найти проекцию отрезка РЯ на ось, которая составляет с осью Ох 4 угол 9 = агс1д —. з' 62. Даны две точки М~(2; -2) и М~(7; — 3). Найти проекцию отрезка Л4~М~ на ось, проходящую через точки А(5; — 4), В( — 7; 1) и 'направленную: 1) от А к В, 2) отВкА. 63. Даны точки А (О; О), В (3; — 4), С(-3; 4), В( — 2; 2) и Е(10; — 3). Определить расстояние д между точками: 1)А и В; 2) В и С; 3) А и С; 4) С и 0; 5) А и0;6) ВиЕ. 64. Даны две смежные вершины квадрата А(3; — 7) и В( — 1; 4).

Вычислить его площадь. 65. Даны две противоположные вершины квадрата Р(3; 5) и Я(1; — 3), Вычислить его площадь. 66. Вычислить площадь правильного треугольника, две вершины которого суть А(-3; 2) и В(1; 6). 67. Даны три вершины А(3; — 7), В(5; — 7), С(=2; 5) параллелограмма АВС0, четвертая вершина которого 0 противоположна В. Определить длину диагоналей этого параллелограмма. 68.

Сторона ромба равна 5 ~/10, две его противоположные вершины суть точки Р(4; 9) н Я( — 2„1), Вычислить площадь этого ромба. 69. Сторона ромба равна 5 1'2, две его противоположные вершины суть точки Р(3; — 4) и Я(1; 2). Вычислить длину высоты этого ромба. 70. Доказать, что точки А(3; — 5), В( — 2; — 7) и С(18; 1) лежат на одной прямой. 15 71.

Локазать, что треугольник с вертпинами Аг(1; 1), А2(2; 3) и Аз(5; — 1) прямоугольный. 72. Доказать, что точки А(2; 2), В( — 1; 6), С( — 5; 3) и В( — 2', — 1) являются вершинами квадрата. 73. Определить, есть ли среди внутренних углов треугольника с вершинами М~(1; 1), Мз(0; 2) и Мз(2; — 1) тупой угол.

74. Доказать, что все внутренние углы треугольника с вершинами М( — 1; 3), Ж(11 2) и Р(0; 4) острые. 75. Вершины треугольника суть точки А (5; О), В(0; 1) и С(3; 3). Вычислить его внутренние углы. 76. Вершины треугольника суть точки А( — у'3; 1), В(0; 2) и С(-2)/3; 2). Вычислить его внешний угол при вершине А. 77, На оси абсцисс найти такую точку М, расстояние которой до точки Ж(2; — 3) равнялось бы 5.

78. На оси ординат найти такую точку М, расстояние которой до точки М ( — 8; 13) равнялось бы 17 79. Даны две точки М(2; 2) и Л'(5; — 2); на осн абсцисс найти такую точку Р, чтобы угол МРИ был прямым. 80; Через точку А(4; 2) проведена окружность, касающаяся обеих координатных осей. Определить ее центр С и радиус гт. 81. Через точку Мг(1; — 2) проведена окружность радиуса 5, каса|ощаяся оси Ох, Определить центр С окружности.