XVIII Волков И.К., Зуев СМ., Цветкова Г.М. Случайные процессы (Зарубин В.С., Крищенко А.П. - Комплекс учебников из 21 выпуска)

И.К. Волков, С.М. Зуев, Г.М. Цветкова СЛ У'ЧАИНЫЕ ПРОЦЕССЫ Под редакцией д-ра техн. наук.,профессора В.С. Зарубина и д-ра физ.-мат. наук, профессора А.П. Крищенко Рекомендовано Министерством общего и про4ессионального образования Российской Федераиии в качестве учебника для студентов высших технических учебных заведений Москва Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана ]999 УДК 517.1 ББК 22.171 В67 Рецензенпзьс проф.

В.Н. Новосельцев, проф. И.Б. Погожев В67 Волков И.К., Зуев С.М., Цветкова Г.М. Случайные процессы: Учеб. для вузов / Под ред. В,С. Зарубина, А.П. Крищенко. — Мз Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999. — 448 с. (Сер. Математика в техническом университете; Вып. ХУП1). 1ЯВ(з! 5-7038-1267-4 (Вып. ХУП!) 1БВХ 5-7038-1270-4 Книга является восемнадцатым выпуском учебного комплекса „Математика в техническом университете", состоящего иэ двадцати выпусков, и знакомит читателя с основными понятиями теории случайных процессов и некоторыми из ее многочисленных приложений.

Но замыслу авторов, данный учебник должен явиться связующим звеном между строгими математическими исследованиями, с одной стороны, и практическими задачами — с другой. Он должен помочь читателю овладеть прикладными методами теории случайных процессов. Содержание учебника соответствует курсу лекций, который авторы читают в МГТУ им. Н.З. Баумана.

Для студентов технических университетов. Может быть полезен преподавателям и аспирантам. Ил. 34. Библиогр. 39 наив. Вмиуск книги ринансирооал Москооский государстосннмй технический униесрсисиссн «м. Н.Э. Баумана УДК 317.1 ББК 22.111 © И.К. Балков, С.М. Зуев, Г.М, Цветкова, 1999 © Московский гасударственный технический университет им. Н.З. Баумана, 1999 !ЯВг! 5-7038-1267-4 (Вып.

ХЪ'П1) !ЯВ(ч 5-7038-1270-4 Е Издательство МГТУ им. Н.З. Баумана, 1999 ПРЕДИСЛОВИЕ Теория случайных процессов — интенсивно развивающийся раздел теории вероятностей, имеющий многочисленные приложения в физике, технике, биологии, медицине, экономике и других областях знаний. Для овладения методами этой теории нужны знания не только в объеме базового курса высшей математики и традиционных разделов курсов теории вероятностей и математической статистики, но и ряда специальных курсов. В частности, мы предполагаем, что читатель может оперировать основными понятиями теории дифференциальных уравнений математической физики, а также владеет методами теории интегральных преобразований. Ориентируясь на студентов технических вузов, инженеров и научных сотрудников прикладных специальностей, мы старались вести изложение на доступном уровне, отступая иногда от строгого математического стиля. В основном, этот подход использован при анализе различных задач прикладного характера, если содержательный смысл их решений интуитивно ясен.

Естественно, что в одной книге невозможно охватить все основные разделы теории случайных процессов и, тем более, все ее приложения. По замыслу авторов, данный учебник должен помочь читателю овладеть прикладными методами теории случайных процессов и явиться связующим звеном между строгими математическими исследованиями, с одной стороны, и практическими задачами — с другой. Надеемся, что книга будет полезна студентам, аспирантам, научным сотрудникам н не только технических специальностей. В начале книги (после предисловия и введения) помещен список основных обозначений, содержащих расшифровку часто встречающихся в тексте символов.

В большинстве математи- Предисловие ческих символов использованы буквы латинского и греческого алфавитов, написание и произношение которых представлены после списка основных обозначений. В конце книги приведен список рекомендуемой литературы и предметный указатель, в который входят в алфавитном порядке (по существительному в именительном падеже) все выделенные в тексте полужирным иурсивом термины, Для каждого термина указан номер страницы книги, на которой ои определен и выделен полужирным курсивом, или номер выпуска, в котором дано его объяснение.

Выделение термина светлым курсивом означает, что в данном параграфе ои является одним из ключевых слов и читателю должно быть знакомо значение этого термина. Читатель может уточнить зто значение, найдя при помощи предметного указателя необходимую страницу. Ссылки на другие источники даны либо путем указания номера выпуска, либо путем упоминания фамилий авторов, по которым можно определить полные данные этих источников, обратившись к списку рекомендуемой литературы. Ссылки в тексте на номера формул и рисунков набраны обычным шрифтом (например, (10.4) — четвертая формула в десятой главе, (П2.9) — девятая формула во втором приложении, (рис. 9.2) — второй рисунок в девятой главе). Прежде чем приступать к изучению теории случайных процессов, мы предлагаем читателю ответить на вопросы для самопроверки и убедиться в том, что он готов к усвоению излагаемого материала.

В конце каждого вопроса римскими цифрами обозначен содержащий соответствующий материал номер выпуска комплекса учебников „Математика в техническом университете". Задания для самопроверки 1. Что понимают под множеством? Какие множества называют: а) конечными; б) счетными; в) несчетными? Что называют диаметром множества в метрическом простраи- стве? Что называют: а) объединением множеств; б) пересечением множеств; в) разностью множеств; г) дополнением множества? [Ц 2.

Дайте определение отображения (функции). Что называют: а) образом множества Х при отображении 7'; б) прообразом множества при отображении 7? [Ц 3. Какие функции называют: а) четными; б) нечетными; в) периодическими; г) тригонометрическими? Запишите формулы Эйлера и докажите основные свойства тригонометрических функций.

[Ц, [1Х] 4. Что называют: а) скалярной функцией векторного аргумента; б) вектор-функцией; в) векторной функцией векторного аргумента; г) координатной функцией; д) бесконечно малой функцией? Как сравнивают бесконечно малые функции? [Ц, [1Ц, [Ч] 5. Дайте определение предела: а) последовательности; б) функции. Сформулируйте признаки существования предела. Перечислите свойства функций, имеющих конечный предел. [Ц, [Ч] б. Какую функцию называют непрерывной: а) в точке; б) на множестве? Перечислите основные свойства функций, непрерывных: а) в точке; б) на множестве.

[Ц, [Ч] 7. Дайте определение дифференцируемой функции: а) в точке; б) в области. Что называют частной производной от скалярной функции векторного аргумента? Приведите формулировку теоремы о равенстве смешанных производных. [1Ц, [Ъ'] 8. Для скалярной функции векторного аргумента запишите формулу Тейлора и сформулируйте условия ее применимости. [Ч] 9. Дайте определение локального экстремума (максимума и минимума) скалярной функции векторного аргумента. Сформулируйте необходимые и достаточные условия его существования.

[Ъ'] Предисловие 10. Дайте определение касательной плоскости к поверхности в заданной точке. При каких условиях касательная плоскость существует? [Ч] 11. Что называют определенным интегралом и какой геометрический смысл он имеет? Запишите формулу интегрирования по частям. Дайте определение о-кратного интеграла. [Ъ'1], [ЧП] 12. Что называют матрицей и что понимают под размером матрицы? Какую матрицу называют: а) квадратной; б) единичной; в) нулевой или нуль-матрицей; г) симметрической; д) диагональной; е) трехдиагональной; ж) не- вырожденной; з) блочной; и) положительно определенной; к) неотрицательно определенной; л) ортогональной? [П1], [ГЧ] 13.

Сформулируйте основные свойства следующих операций над матрицами: а) сложение матриц; б) умножение матрицы на число; в) умножение матриц; г) транспонирование матрицы. Дайте определение обратной матрицы и укажите ее основные свойства. Какие матрицы называют коммутирующими [перестановочными)? [П1] 14. Что понимают под следом Бр А матрицы А? Докажите следующие равенства, полагая, что все указанные матрицы квадратные одного порядка, а матрица Р невырождениая симметрическая и имеет собственные числа Ля (к = 1, и): а) Бр[А+ В) = Бр[А) +Бр[В); б) Яр[АС) = Бр[СА); в) Бр[Р ) = и = 2 ' Лл, т Е Я; г) Бр(Р ) = 2, Л~, . [П1], [1к] /с=1 ь=! 15.

Дайте определение системы линейных алгебраических уравнений. Какую систему линейных алгебраических уравнений называют совместной? Сформулируйте условия существования и единственности решения системы линейных алгебраических уравнений. [П1] 16. Дайте определение линеиного пространства. Что называют: а) линейной оболочкой системы векторов линейного пространства; б) линейно (не)зависимой системой векторов линейного пространства; в) базисом линейного пространства; г) размерностью линейного пространства? [1Ч] 17.

Что понимают под скалярным произведением в линейном пространстве и что называют евклидовым пространством? Можно ли утверждать, что любое линейное пространство со скалярным произведением является нормированным пространством? Дайте определение ортонормированного базиса евклидова пространства и запишите формулу для скалярного произведения в этом базисе. [1У] 18. Запишите неравенство Коши — Буняковского. В каких случаях это неравенство обращается в равенство? [!'я'] 19.

Что называют квадратичной формой? В каких случаях квадратичную форму называют: а) положительно определенной; б) отрицательно определенной; в) неположительно определенной; г) неотрицательно определенной? Изложите принципиальную схему приведения квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования. [1Ч] 20. Дайте определение линейного оператора. Какая связь существует между линейными операторами и матрицами? Дайте определение собственного вектора и собственного значения линейного оператора.

Изложите общую схему их нахождения. [! я'] 21. Что называют линейным дифференциальным оператором и обыкновенным линейным дифференциальным уравнением? Дайте определение фундаментальной системы решений обыкновенного линейного дифференциального уравнения. [Ъ'И1] 22. Сформулируйте задачу Коши для: а) обыкновенного дифференциального уравнения и-го порядка; б) системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка; в) системы уравнений в частных производных параболического типа. Сформулируй- Предисловие те теоремы существования и единственности решения этих задач. [ЧПЦ, [Х!Ц 23.

Что называют дифференциальным уравнением в частных производных: а) параболического типа; б) эллиптического типа; в) гиперболического типа? [Х1Ц 24. Что понимают под смешанной задачей для уравнения в частных производных параболического типа? Изложите идею метода Фурье разделения переменных для решения смешанных задач. Сформулируйте задачу Штурма— Лиувилля, [ХЦ, [Х1Ц 25. Дайте определение устойчивости и асимптотической устойчивости решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. [ЧПЦ 26.