VI Зарубин В.С. и др. Интегральное исчисление функций одного переменного (Зарубин В.С., Крищенко А.П. - Комплекс учебников из 21 выпуска)

Комплекс учебников из 20 выпусков Под редахцией В. С. Зарубина и А. П. Крищенко 1. Введение в анализ П. Дифференциальное исчисление функций одного переменного П1. Аналитическая геометрия 1Ч. Линейная алгебра Ч. Дифференциальное исчисление функций многих переменных Ч1.

Интегральное исчисление функций одного переменного ЧП. Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля ЧП1. Дифференциальные уравнения 1Х. Ряды Х. Теория функций комплексного переменного Х1. Интегральные преобразования и операционное исчисление ХП. Дифференциальные уравнения математической физики ХП1. Приближенные методы математической физики ХГЧ. Методы оптимизации ХЧ. Вариационное исчисление и оптимальное управление ХЧ1. Теория вероятностей ХЧП.Математическая статистика ХЧП1. Случайные процессы Х1Х.

Дискретная математика ХХ. Исследование операций В.С. Зарубин, Е.Е. Иванова, Г.Н. Кувыркин ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО Под редакцией д-ра техн. наук., профессора В.С. Зарубина и д-ра физ.-мат. наук, профессора А.П. Крищенко Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших технических учебных заведений Москва Издательство МГТУ им. Н. Э.

Баумана 1999 УДК 517.3 ББК 22.161.1 3-35 Федеральная целевая программа книгоиздания России Рецензенты: доц. Н.В. Копченова, проф. В.И. Оселедец 18ВХ 5-7038-1336-6 (Вып. Ч1) 1БВМ 5-7038-1270-4 Книга является шестым выпуском комплекса учебников „Математика в техническом университете". Знакомит читателя с понятиями неопределенного и определенного интегралов и методами их вычисления. Уделено внимание приложениям определенного интеграла, приведены примеры и задачи физического, механического и технического содержания. Содержание учебника соответствует курсу лекций, который авторы читают в МГТУ им.

Н,Э. Баумана. Для студентов технических вузов. Может быть полезен преподавателям и аспирантам. Ил. 86. Табл. 3. Библиогр. 48 назв. Выпуск книеи финансировал Московский еосуоарспъоенный технический униеерсиюпетп им. Н.Э. Баумана 'УДК 61Т.З ВВК 22.161.1 © В.С. Зарубин, Е,Е, Иванова, Г.Н.

Кувыркин, 1999 ф Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, 1999 БВХ 5-7038-1336-6 (Вып. Ч1) БВХ 5-7038-1270-4 © Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999 3-35 Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного: Учеб. для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999. — 528 с. (Сер. Математика в техническом университете; Вып. Ч1). ПРЕДИСЛОВИЕ Наряду с поиском по заданной функции ее производной (и производных высших порядков), что является задачей дифференциального исчисления, часто возникает необходимость в обратной операции — восстановлении функции по ее производной.

Эта операция составляет предмет изучения другого важного раздела математического анализа — интегрального исчисления. В этой книге, являющейся шестым выпуском серии учебников „Математика в техническом университете", вопросы интегрального исчисления рассмотрены применительно к действительным функциям одного действительного переменного, что и определило ее название.

Дифференциальное и интегральное исчисления как разделы математического анализа оформились в ХИ1 в. главным образом благодаря трудам И. Ньютона и Г. Лейбница. В современном изложении теоретической основой этих разделов является теория пределов. Поэтому данный выпуск серии тесно связан не только со вторым выпуском „Дифференциальное исчисление функций одного переменного" [1Ц, но и с первым выпуском „Введение в анализ" [Ц, в котором изложена теория пределов. При ссылке в тексте на конкретный выпуск серии „Математика в техническом университете" указывается номер этого выпуска (а для первого выпуска и соответствующий раздел).

Например, ссылка (см. 1.2) указывает на второй параграф первой главы в данном выпуске, (см. Д.4.1) отсылает к первому дополнению четвертой главы, в то время как [1-7.5~ указывает на пятый параграф седьмой главы в первом выпуске серии. Ссылки в тексте на номера формул и рисунков набраны обычным шрифтом (например, (2.1) — первая формула в главе 2, (рис. 1.5)— пятый рисунок в главе 1).

Большинство используемых в этой книге обозначений введено в Щ. Они помещены в перечне основных обозначений, где Предисловие наряду с их краткой расшифровкой указаны глава и параграф, в которых можно найти их более подробное объяснение. После этого перечня приведены написание и русское произношение входящих в формулы букв латинского и греческого алфавитов.

В конце книги помещены список рекомендуемой литературы и предметный указатель, в который входят в алфавитном порядке (по существительному в именительном падеже) все выделенные в тексте вомужирмым курсивом термины с указанием страницы, где они строго определены или описаны. Выделение термина светлым курсивом означает, что в данном параграфе он отнесен к ключевым словам и читателю должно быть известно значение этого термина.

Читатель может уточнить это значение, найдя при помощи предметного указателя необходимую страницу, на которой используемый термин определен или описан. Если термин введен в другом выпуске, то в предметном указателе дан номер выпуска римской цифрой (и страница для первого выпуска: например, ~1-217]). Место, где определен термин, следует искать при помощи предметного указателя данного выпуска.

В предметном указателе курсивом приводится ссылка на место в этой книге или другом выпуске, где о термине дана дополнительная информация. Перед чтением этой книги предлагаем в целях самоконтроля выполнить следующие несложные задания. В конце каждого задания дана ссылка на тот выпуск, в котором при возникновении затруднений можно найти все необходимые сведения. Значения терминов, выделенных в тексте этих заданий прямым полужирным шрифтом, далее будем считать известными (в основном тексте книги эти термины не выделены и не входят в предметный указатель). Задания для самопроверки 1. Запишите представления множеств целых Е и рациональных Я чисел при помощи множества И натуральных чисел. Как выразить множество иррациональных чисел рез Я и множество й действительных чисел? Какое иожество называют бесконечным? Что такое объединение, пересечение и разность множеств? [1) 2.

Перечислите свойства абсолютной величины (модуц) числа. Запишите неравенство треугольника. [1) 3. Каков ход доказательства по методу математической индукции? Что понимают под рекуррентным соотношением? [1) 4. Запишите с помощью неравенств условия принадлежности точки т промежуткам числовой прямой: отрезку [а, Ь), интервалу (а, Ь), полуинтервалу (а, Ь), бесконечному интервалу (-оо, Ь) и бесконечному полуинтервалу [а, +оо). [1) 5. Изобразите на числовой прямой окрестности конечной и бесконечной точек расширенной числовой прямой. В чем отличие этих окрестностей от проколотых окрестностей и полуокрестностей? Какую точку промежутка иазывают внутренней? [1) 6.

Укажите области определения (существования) и значений и постройте графики однозначных ветвей многозначной действительной функции у~ = 1~х одного действительного переменного ж. [1) 7. Охарактеризуйте явный и неявный аналитические, параметрический, графический, табличный, алгоритмический и описательный способы задания функции.

Приведите примеры составной и периодической функций. Как расположены относительно начала координат графики четной и нечетной функций? [1) 8. Является ли сходящаяся последовательность ограниченной? В чем различие между монотонной и строго монотонной последовательностями? Сформулируйте признак Вейерштрасса сходимости последовательности. [1) 9 Сформулируйте и запишите в символическом виде определеиия (по Гейне и по Коши) конечного предела функции в Предисловие точке а Е Е.

Выполните это задание, когда аргумент функции стремится к бесконечной точке расширенной числовой прямой. [Ц 10. Приведите пример функции, ограниченной в некоторой проколотой окрестности точки а, но не имеющей предела в этой точке. [Ц 11. Сформулируйте теорему о связи предела функции в точке с односторонними пределами функции в этой точке (с левым и правым пределами функции в точке). [Ц 12. Определенали функция 2х~/япх вточке х=О? Существует ли в этой точке предел рассматриваемой функции? [Ц 13. При каком изменении аргумента функции в1пх, 1/х являются бесконечно малыми (б.м.), а функции х~, с~~х— бесконечно большими (б.б.)? [Ц 14. Какова связь между приращением функции и приращением ее аргумента для функции, непрерывной в точке и непрерывной в этой точке только слева? [Ц 15. При выполнении каких условий сложная функция (суперпозиция функций) непрерывна в точке? Сформулируйте правило дифференцирования сложной функции.